im argz= arg 2 同理可得 lim arg==arg -o 3证明:设函数∫(二-)在〓连续且∫(=0)≠0,那么可以找到二0的一个小邻域,在这个邻域内 z)≠0 f(=)=f(=0), inf()=f(0) 对vE>0,彐6当|-=0kd f()|-1f(=0) 成立 当取E=|f(=0)>0时,彐61,当|z--0kδ1时, f(-)|-1f(=0)4f(=0)l 成立 0<|f(=)k2|f(二0) 当|z--0k61时,f()≠0 故结论成立 4.证明:f(=)在二0处可导的必要与充分条件是:f(=0+A)-f(=0)=A·A+0(△=D),其中 A=a+ib,0(|A|)为比A-|高阶的无穷小 证:必要条件 设f()在二0处的导数为厂(二0),则 f(=0+△)-f(=0) =f"(=0) 对vE>0,30>0,当044kδ时, ∫(=+A)-f(=0) ∫(=。)<E, f(=0+A-)-f(=0)-f(二0) )-f(=0)-f(-0A lim即 0 argarglim0 zz zz = → . 当 π z ≤<− 0arg 时， 22 arg arccos yx x z + −= , 同理可得： 0 argarglim0 zz zz = → . 3 证明：设函数 zf )( 在 z0 连续且 0)(zf 0 ≠ ，那么可以找到 的一个小邻域，在这个邻域内 . 0 z zf ≠ 0)( 证： )()(lim 0 0 zfzf zz = → Q , |)(|)(lim 0 0 zfzf zz ∴ = → , ∴ 对 ε ,0 ∃>∀ δ 当 − zz 0 || < δ 时 |)(||)(| <− ε 0 zfzf 成立. ∴ 当取ε zf 0 >= 0|)(| 时,∃δ 1 ,当 10 − zz || < δ 时, |)(||)(||)(| 0 0 <− zfzfzf , 成立, 即 |)(|2|)(| 0 , 0 << zfzf ∴ 当 10 − zz || < δ 时, zf ≠ 0)( . 故结论成立. 4. 证 明 : zf )( 在 z0 处可导的必要与充分条件是： 0 + Δ − 0 )()( Δ+Δ⋅= zzAzfzzf |),(| 0 其中 Δ+= zbaA ) || ( 0 ,i 为比 Δz || 高阶的无穷小. 证：必要条件 设 zf )( 在 处的导数为 ，则 0 z )(' 0 zf )(' )()( lim 0 0 0 0 zf z zfzzf z = Δ −Δ+ →Δ . ∴ 对 ε δ >∃>∀ ,0 ,0 当 < Δz ||0 < δ 时, <− ε Δ −Δ+ )(' )()( 0 0 0 zf z zfzzf , < ε Δ Δ−−Δ+ ∴ || )(')()( 0 0 0 z zzfzfzzf ∴ 0 || )(')()( lim 0 0 0 0 = Δ Δ−−Δ+ →Δ z zzfzfzzf z