高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 以下研究微分Df(xo)(h)的表达式由Df(xo)∈(Rmn;Rn)可有 Df(xoh)=Df(xo)(h2i1+…+h"im)=∑Df(xo)ai)h [Df(ao)(i1),., Df(eco)(im) 按可微性定义,特取h=λi∈Rm,有 f(ao+ Aii)-f(ao)=ADf(eo(ii)+O()ER 亦即,有 彐lim f(xo+Ai)-∫(xo) =Df(c0)(i)∈R 再由存在向量值映照极限等价于存在各分量的极限,则有 入→0∈R 入→0∈R 尸(xo+Ai1)-fn(xo) 定义向量值映照∫(x)在xo点相对于自变量第i个分量x2的变化率 0 全lim f(ao+ Aii)-f(ao) 入 以及∫(c)的第a个分量f(x)相对于x2的变化率 dzi(zo)4 lim fa(ao+xi)-foao eR, af 即有 「af1 Co= af Dnr(ao)∈ af 综上所述,有 0f1 0f1 a xm D f(ao) (x0) 0尸n axm微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 以下研究微分 Df(x0)(h) 的表达式. 由 Df(x0) ∈ L (R m; R n ) 可有 Df(x0)(h) = Df(x0)(h 1 i1 + · · · + h mim) = ∑m i=1 Df(x0)(ii)h i = [Df(x0)(i1), · · · , Df(x0)(im)]     h 1 . . . h m     . 按可微性定义, 特取 h = λii ∈ R m, 有 f(x0 + λii) − f(x0) = λDf(x0)(ii) + o(λ) ∈ R n . 亦即, 有 ∃ lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ = Df(x0)(ii) ∈ R n . 再由存在向量值映照极限等价于存在各分量的极限, 则有 lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ =              lim λ→0∈R f 1 (x0 + λii) − f 1 (x0) λ . . . lim λ→0∈R f α(x0 + λii) − f α(x0) λ . . . lim λ→0∈R f n (x0 + λii) − f n (x0) λ              定义向量值映照 f(x) 在 x0 点相对于自变量第 i 个分量 x i 的变化率 ∂f ∂xi (x0) , lim λ→0∈R f(x0 + λii) − f(x0) λ ∈ R n , 以及 f(x) 的第 α 个分量 f α(x) 相对于 x i 的变化率 ∂fα ∂xi (x0) , lim λ→0∈R f α(x0 + λii) − f α(x0) λ ∈ R, 即有 ∂f ∂xi (x0) =             ∂f 1 ∂xi (x0) . . . ∂fα ∂xi (x0) . . . ∂fn ∂xi (x0)             ∈ R n . 综上所述，有 Df(x0) = [ ∂f ∂x1 , · · · , ∂f ∂xm ] (x0) =         ∂f 1 ∂x1 · · · ∂f 1 ∂xm . . . . . . . . . ∂fn ∂x1 · · · ∂fn ∂xm         (x0) 2