高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 矩阵Df(x0)∈Rn×m称为 Jacobi矩阵 可定义在向量值映照在某点沿某方向的变化率 e)垒,imJ(x0+xe)-f(m0)∈R,vem=1. f 入→0∈R 按可微性的定义,易见当∫(c)在xo∈Rm点可微,有 (ao)=Df(eo)e, vleRm= 1 1.2复合向量值映照的可微性定理 定理1.1(复合向量值映照的可微性定理).向量值映射 R"2 e(c)∈R 在xo∈int%CRm点可微;向量值映射 e(y):Rn293y→6(y)∈ 在v0=0(x0)∈ inte CR"点可微.则有 1.在c0点局部存在向量值的复合eo(x) 2.白。0(c)在xo点可微,且有 e。θ(∞0+△x)=。0(co)+De((xo)·Dθ(xo)△x+o(|△xlam 证明证明复合向量值映照的局部存在性。由于,考虑到co∈int%和yo∈inte,以及 可微性保证连续性,则有 入,μ∈ e(B(Eo))CBu(yo) 且BA(x0)cm和B(v)c。由此可构造: oθ(x):Bx(xo)3 6(m)≡e(6(a)∈ 证明可微性。基于6(y)∈R4在yo=6(x0)∈Rn点的可微性,即有: 3o+△y)=6(o)+De(3o)△y+o(△ylRn) 引入 △y≠0∈R B(0) R △y=0∈R 则有 6(90+△y)=6(3)+Dev0)△y+重(△y)·|△y,,△y∈B(0)CRn微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 矩阵 Df(x0) ∈ R n×m 称为 Jacobi 矩阵。 可定义在向量值映照在某点沿某方向的变化率 ∂f ∂e (x0) , lim λ→0∈R f(x0 + λe) − f(x0) λ ∈ R n , ∀ |e|Rm = 1. 按可微性的定义，易见当 f(x) 在 x0 ∈ R m 点可微, 有 ∃ ∂f ∂e (x0) = Df(x0) e, ∀ |e|Rm = 1 1.2 复合向量值映照的可微性定理 定理 1.1 (复合向量值映照的可微性定理). 向量值映射 θ(x) : R m ⊃ Dθ ∋ x 7→ θ(x) ∈ R n 在 x0 ∈ intDθ ⊂ R m 点可微; 向量值映射 Θ(y) : R n ⊃ DΘ ∋ y 7→ Θ(y) ∈ R l 在 y0 = θ(x0) ∈ intDΘ ⊂ R n 点可微. 则有 1. 在 x0 点局部存在向量值的复合 Θ ◦ θ(x); 2. Θ ◦ θ(x) 在 x0 点可微，且有 Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(θ(x0)) · Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) 证明 证明复合向量值映照的局部存在性。由于，考虑到 x0 ∈ intDθ 和 y0 ∈ intDΘ，以及 可微性保证连续性，则有： ∃λ, µ ∈ R +, s.t. θ(Bλ(x0)) ⊂ Bµ(y0) 且 Bλ(x0) ⊂ Dθ 和 Bµ(y0) ⊂ DΘ。由此可构造： Θ ◦ θ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ Θ ◦ θ(x) ≡ Θ(θ(x)) ∈ R l 证明可微性。基于 Θ(y) ∈ R l 在 y0 = θ(x0) ∈ R n 点的可微性，即有： Θ(y0 + △y) = Θ(y0) + DΘ(y0)△y + o(|△y|Rn ) 引入 Φ(△y) : R n ⊃ Bµ(0) ∋ △y 7→ Φ(△y) , { o(|△y|Rn ) |△y|Rn △y ̸= 0 ∈ R n 0 △y = 0 ∈ R n ∈ R l 则有 Θ(y0 + △y) = Θ(y0) + DΘ(y0)△y + Φ(△y) · |△y|Rn , , ∀△y ∈ Bµ(0) ⊂ R n 3