高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 基于6(x)∈R在co∈Rm点的可微性,取 △y=0(xo+△x)-0(x0)=D0(x0)△x+0(△xgm),V△x∈B()cRm 带入上式,则有 e。θ(xo+△a)=6oθ(xo)+De(yo)·[D6(x0)△c+o(△ab 垂(D(x0)△x+04△mm)-D(x0)△x+0(△r)m,Y△x∈B2(O)cRm 考虑到 De):△rlg)∈Rl △x-0∈Rm △xlRm o2(△x|gm) =0∈R,a=1 △x-0∈Rm|△alRm o(△ lRm) 即有: D6(y0)·o(△xlm)=o(△x|gm)∈R 考虑到 lim De(xo)△x+o(|△rlm)=0∈R y)=0=亚(0)∈R4 以及包含性条件 D6(xo)△c+o(△ rm)∈B1(0)cRn,Vx∈Bx(0)cR 按复合向量值映照的极限定理有 △x+0∈R2(D(xo)△x+o(△xlm)=0∈R lim 考虑到 D6(x0)△x+o(△alkm)ln 1D(n)△a+lpa)lx< De(o)lxml△rkm+l△rln) △lRm △c|Rm △lRm ≤|D(x0)lnxm+1当:|△c|m≤1 此处D(xo) Rnm√/∑a=1∑m=1/2。故有: 分、MimD0(xo)△x+o(△akm)|D(x0)△x+o(|△am)Rn 0∈R 重(D(x0)△x+o(△lm)·|De(xo)△x+o(△xlgm)n=o(△cm)∈R微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 基于 θ(x) ∈ R n 在 x0 ∈ R m 点的可微性，取 △y := θ(x0 + △x) − θ(x0) = Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm), ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 带入上式，则有 Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(y0) · [Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)] + Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn , ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 考虑到： lim △x→0∈Rm DΘ(y0) · o(|△x|Rm) |△x|Rm ∈ R l ⇔ lim △x→0∈Rm 1 |△x|Rm · [ ∂Θα ∂y1 , · · · , ∂Θα ∂yn ] (y0) ·     o 1 (|△x|Rm) . . . o n (|△x|Rm)     = 0 ∈ R, α = 1, · · · , n 即有： DΘ(y0) · o(|△x|Rm) = o(|△x|Rm) ∈ R l 考虑到： lim △x→0∈Rm [Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)] = 0 ∈ R n , lim △y→0∈Rn Φ(△y) = 0 = Φ(0) ∈ R l 以及包含性条件： Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) ∈ Bµ(0) ⊂ R n , ∀ x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 按复合向量值映照的极限定理有 lim △x→0∈Rm Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) = 0 ∈ R l 考虑到： |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)△x|Rn |△x|Rm + |o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)|Rn×m · |△x|Rm |△x|Rm + |o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm ≤ |Dθ(x0)|Rn×m + 1 当：|△x|Rm ≪ 1 此处 |Dθ(x0)|Rn×m , √∑n α=1 ∑m j=1 |∂θ α /∂xj | 2。故有： lim △x→0∈Rm Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn |△x|Rm = 0 ∈ R l 即有： Φ(Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)) · |Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm)|Rn = o(|△x|Rm) ∈ R l 4