高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 综上所述,则有: e。0(x0+△x)=6o0(xo)+De((xo)·D(x0)△x+o(△akm)∈R,△x∈B1(0)<Rmn 如果g为向量值映射 gly 则g和∫复合成向量值映射 (go f)( gof:Rmn→→R →(gof)(x)= 按复合向量值映照的可微性定量,复合映照(g°∫)(x)的 Jacobi矩阵为 D(go f)(a)= Dg(f(e)). Df(a), 亦即为 9 afn f a(go f) af arl a fl 对于上述向量值映射的每个分量,即为多元函数 (gof)P(x)=gP(f(x)=gP(f(x2,…,xm),…,f(a2,…,xm)vp=1,…l, 向量值映射的每个分量遵循以下链式求导法则 a(go f)p 0f7 (f() axk 如有f(x)=f(m1(a),…,m(x)∈R式中1(x)∈R1,…,们2(x)∈Rv;∈Rm,则有 Df(x)=Dnf(m1(x)…;n(x)Dn1(x)+…+Dnf(m1(x),…,n(x)Dn(x)∈Rx(m++n) 分析 f(a):Rm3x→f(x)全∫(m1(x),…,n(m)=fon(x)∈R 此处 1(x) RehNa= ∈Rn++nq微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 综上所述，则有： Θ ◦ θ(x0 + △x) = Θ ◦ θ(x0) + DΘ(θ(x0)) · Dθ(x0)△x + o(|△x|Rm) ∈ R l , ∀△x ∈ ◦ Bλ(0) ⊂ R m 如果 g 为向量值映射 g : R n −→ R l ; y =     y 1 . . . y n     7−→ g(y) =     g 1 (y 1 , · · · , yn ) . . . g l (y 1 , · · · , yn )     则 g 和 f 复合成向量值映射 g ◦ f : R m −→ R l ; x =     x 1 . . . x m     7−→ (g ◦ f)(x) =     (g ◦ f) 1 (x 1 , · · · , xm) . . . (g ◦ f) l (x 1 , · · · , xm)     . 按复合向量值映照的可微性定量, 复合映照 (g ◦ f)(x) 的 Jacobi 矩阵为 D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) · Df(x), 亦即为       ∂(g ◦ f) 1 ∂x1 · · · ∂(g◦f) 1 ∂xm . . . · · · . . . ∂(g ◦ f) l ∂x1 · · · ∂(g ◦ f) l ∂xm       l×m =        ∂g1 ∂f 1 · · · ∂g1 ∂fn . . . · · · . . . ∂gl ∂fl · · · ∂gl ∂fn        l×n ·       ∂f 1 ∂x1 · · · ∂f 1 ∂xm . . . · · · . . . ∂fn ∂x1 · · · ∂fn ∂xm       n×m . 对于上述向量值映射的每个分量，即为多元函数 (g ◦ f) p (x) = g p (f(x)) = g p (f 1 (x 1 , · · · , xm), · · · , fn (x 1 , · · · , xm)) ∀ p = 1, · · · l, 向量值映射的每个分量遵循以下链式求导法则： ∂(g ◦ f) p ∂xk (x) = ∑n j=1 ∂gp ∂fj (f(x)) · ∂fj ∂xk ∀ k = 1, · · · m; ∀ p = 1, · · · l. (1) 如有 fˆ(x) = f(η1 (x), · · · , ηq (x)) ∈ R l 式中 η1 (x) ∈ R n1 , · · · , ηq (x) ∈ R nq ; x ∈ R m，则有 Dfˆ(x) = Dη1 f(η1 (x), · · · , ηq (x))Dη1 (x)+· · ·+Dηq f(η1 (x), · · · , ηq (x))Dηq (x) ∈ R l×(n1+···+nq) 分析： fˆ(x) : R m ∋ x 7→ fˆ(x) , f(η1 (x), · · · , ηq (x)) ≡ f ◦ η(x) ∈ R l 此处 R m ∋ x 7→ η(x) =     η1 (x) . . . ηq (x)     ∈ R n1+···+nq 5