第10期 王健安等：具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 。1375 推论3如果网络(1)和(2)的节点数目相同 N 4d- 且具有相同的节点动态、拓扑结构、内部耦合矩阵和 耦合时滞，用下面的简单控制器可使这两个网络实 现同步： 1-(1(七1()9(-(9)- 2(1-e1)台 4=-k9k=5‖e川2 (13) )(t2()(-(9)+ 注1推论3亦可运用于两个网络的拓扑结构 2(1-2) 和内部耦合未知的情况. 下面讨论驱动响应网络的节点数目相同但拓 扑结构未知的两个网络的同步问题.与推论1的不 宫(-9Ⅱs+宫空 gI9(T(9)+ 同在于C和D是未知的.与推论3的不同在于不 NN 需要假设C=D而直接运用自适应技术估计C和 白名 dS(七(9)- D进而设计控制器以获得同步. 1-(9时 定理2如果网络(1)和(2)具有相同的节点 21-e,名 (+x,()(上(9)- 数目但拓扑结构未知，运用下面的自适应控制器可 使这两个网络获得同步， 1-(9时 2(1-2)台 (:2()(-(9)十 4=)-9)+召 (1(9)- 21-E s2 ∑d奶Y()-9 (14) 余下的证明过程类似于定理1略. c=-h(-x1(9, 3数值仿真 d=h3(←x2(),k=5‖ell2(15) 例1假设驱动网络含有八个节点，其第个节 式中，9(=(9一（方拥来估计9拥来估 点动态是Lorenz混沌系统，即X=f(x)= 计5h和（长，i实y为任意的正常数. (X-,--XX-b战十)，当 证明在控制器(14)的作用下的误差动态方 =10=8/3=28时，Lon孫统具有混沌吸引 程为 N 子.响应网络含有5个节点，其第个节点动态是 9=f)-f)+会s-(9)+ Chm混沌系统即y=)=((￥一是，(S- 宫s(- 4)X十F-￥一b+),当4=35 )4I2X(-2(9)+ h=3S=28时，Chen系统具有混沌吸引子.假设 氵49-)-5 C和D是己知的，且 (16) -5 11 0 0 11 1 式中，=-d=-d 1 -4 1 0 0 1 1 0 选择如下的Lyapunov-K rasovskip函数： 0 一4 1 0 1 0 2s宫+ 0 0 0 -2 1 C 0 0 1 1 0 -4 0 0 容号宫{4+ 1 0 0 0 -5 0 0 0 0 0 -3 0 1 1 1 1 21-62) ,)) (17) 将船式(16)求导，并将式(15代入得 D -2 2召+日古k-9k+ -3 1 1 0 0 -2第 10期 王健安等:具有时变时滞耦合的两个不同复杂网络的自适应同步 推论 3 如果网络 ( 1)和 ( 2)的节点数目相同 且具有相同的节点动态 、拓扑结构 、内部耦合矩阵和 耦合时滞, 用下面的简单控制器可使这两个网络实 现同步: ui=-kiei, k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 13) 注 1 推论 3亦可运用于两个网络的拓扑结构 和内部耦合未知的情况 . 下面讨论驱动 --响应网络的节点数目相同但拓 扑结构未知的两个网络的同步问题 .与推论 1的不 同在于 C和 D是未知的.与推论 3 的不同在于不 需要假设 C=D而直接运用自适应技术估计 C和 D, 进而设计控制器以获得同步. 定理 2 如果网络 ( 1)和 ( 2)具有相同的节点 数目但拓扑结构未知, 运用下面的自适应控制器可 使这两个网络获得同步, ui=f(yi) -g(yi) +∑ N j=1 c ijΓ1 yj(t-τ1 (t) ) - ∑ N j=1 d ijΓ2 xj( t-τ2 ( t) ) -kiei ( 14) c · ij=-hije T iΓ1yj( t-τ1 ( t) ), d · ij=lije T iΓ2 xj( t-τ2 ( t) ), k · i=ri‖ ei‖ 2 ( 15) 式中, ei( t) =yi(t) -xi( t), c ij用来估计 cij, d ij用来估 计 dij, ri、hij和 lij( 1≤i, j≤N)为任意的正常数. 证明 在控制器 ( 14)的作用下的误差动态方 程为 e · i=f(yi) -f( xi) +∑ N j=1 cijΓ1 yj(t-τ1 (t) ) + ∑ N j=1 cijΓ1ej( t-τ1 ( t) ) -∑ N j=1 dijΓ2xj(t-τ2 (t) ) + ∑ N j=1 dijΓ2 ej( t-τ2 (t) ) -kiei ( 16) 式中, cij=c ij-cij, dij=d ij-dij. 选择如下的 Lyapunov--Krasovskii函数: V= 1 2 ∑ N i=1 e T iei+ 1 2 ∑ N i=1 1 ki ( ki-k) 2 + 1 2 ∑ N i=1 ∑ N j=1 1 hij c 2 ij+ 1 2 ∑ N i=1 ∑ N j=1 1 lij d 2 ij+ ∑ N2 i=1 1 2( 1 -ε1 ) ∫ t t-τ1 ( t) e T i(α) ei( α) dα+ 1 2( 1 -ε2 ) ∫ t t-τ2 ( t) e T i( β) ei( β)dβ ( 17) 将 V沿式 ( 16)求导, 并将式 ( 15)代入, 得 V · =∑ N i=1 e T ie · i+∑ N i=1 1 ki ( ki-k) k · i+ ∑ N i=1 ∑ N j=1 cijc · ij+∑ N i=1 ∑ N j=1 dijd · ij- 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T iei + 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T iei≤ ∑ N i=1 ( L-k) ‖ ei‖ 2 +∑ N i=1 ∑ N j=1 e T icijΓ1 ej(t-τ1 ( t) ) + ∑ N i=1 ∑ N j=1 e T idijΓ2 ej(t-τ2 ( t) ) - 1 -τ · 1 ( t) 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ1 ( t) ) ei( t-τ1 ( t) ) - 1 -τ · 2 ( t) 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T i( t-τ2 ( t) ) ei( t-τ2 ( t) ) + 1 2( 1 -ε1 ) ∑ N i=1 e T iei+ 1 2( 1 -ε2 ) ∑ N i=1 e T iei. 余下的证明过程类似于定理 1, 略 . 3 数值仿真 例 1 假设驱动网络含有八个节点, 其第 i个节 点动 态 是 Lorenz混 沌 系 统, 即 x · i =f( xi) = ( a(xi1 -xi2 ), cxi1 -xi2 -xi1 xi3, -bxi3 +xi1xi2 ) T , 当 a=10, b=8/3, c=28 时, Lorenz系统具有混沌吸引 子 .响应网络含有 5个节点, 其第 i个节点动态是 Chen混沌系统, 即 y · i=g( yi) =(a1 ( yi1 -yi2 ), ( c1 - a1 ) yi1 +c1 yi2 -yi1 yi3, -b1 yi3 +yi1 yi2 ) T , 当 a1 =35, b1 =3, c1 =28时, Chen系统具有混沌吸引子.假设 C和 D是已知的, 且 C= -5 1 1 0 0 1 1 1 1 -4 1 0 0 1 1 0 0 1 -4 1 0 1 0 1 0 0 0 -2 1 0 0 1 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 1 0 0 -5 0 0 0 1 0 1 0 1 -3 0 1 1 1 1 1 1 1 -7 , D= -1 0 0 0 1 1 -3 1 1 0 0 0 -2 1 1 1 0 1 -3 1 1 1 0 0 -2 . · 1375·