§4特征值与特征向量 、线性变换的特征值和特征向量的概念 定义4设是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数 ,存在一个非零向量,使得 A5=A05 (1) 那么λ称为理的一个特征值,而ξ叫做理的属于特征值的一个特征向量 从几何上来看,特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上,这 时或者方向不变(0>0)或者方向相反(0<0),至于(42=0)时,特征向量就被线 性变换变成0 如果ξ是线性变换A的属于特征值λ的特征向量,那么的任何一个非零倍 数κz也是的属于特征值λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯 决定的.相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的,因为,一个特征向量只能 属于一个特征值 、特征值与特征向量的求法 设V是数域P上n维线性空间,E1,E2,…En是它的一组基,线性变换A在这 组基下的矩阵是A.设λ是特征值,它的一个特征向量ξ在E1,E2,…,En下的坐标 是x012x2,…,xon,则的坐标是 45的坐标是§4 特征值与特征向量 一、线性变换的特征值和特征向量的概念 定义 4 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个线性变换,如果对于数域 P 中一数 0 ,存在一个非零向量  ,使得 A  = 0  . （1） 那么 0 称为 A 的一个特征值,而  叫做 A 的属于特征值 0 的一个特征向量. 从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这 时或者方向不变 ( 0) 0  或者方向相反 ( 0) 0  ,至于 ( 0) 0 = 时，特征向量就被线 性变换变成 0. 如果  是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征向量，那么  的任何一个非零倍 数 k 也是 A 的属于特征值 0 的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一 决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能 属于一个特征值. 二、特征值与特征向量的求法 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， n  , , , 1 2  是它的一组基，线性变换 A 在这 组基下的矩阵是 A .设 0 是特征值，它的一个特征向量  在 n  , , , 1 2  下的坐标 是 n x x x 01 02 0 , ,  , ,则 A  的坐标是               n x x x A 0 02 01  . 0 的坐标是               n x x x 0 02 01 0  