r函数的普遍表达 第10页 125r函数的普遍表达式 r函数的定义(第二类欧拉积分) r(2)=/e-t2-1d,Rez>0. 只适用于右半平面.为了弥补这一缺陷,本节不加证明地介绍T函数的另外几种表达式,方式包 括围道积分表示和无穷乘积表示,它们都在全平面成立(某些点可能例外)。有关证明见参考书目 12,第3章 1.T函数的围道积分表示 r(2) 其中的积分围道为:从上半平面挨近正实轴无穷远处出发,左行绕原点正向一周,再右行到下半 平面挨近正实轴无穷远处(见图12.4).此式在全z平面成立,但2=整数除外 图12. r函数的另一个围道积分表示是 (0+) T(2)=2ni etdt, large<π 积分围道从下半平面挨近负实轴无穷远处出发,右行绕原点正向一周,再左行到上半平面挨近负 实轴无穷远处(见图125),此式在全平面成立,包括z=整数 2.r函数的欧拉无穷乘积表示 T(a) n 此式对任何z均成立,但极点2=负整数除外 3.T函数的外尔斯特拉斯无穷乘积表示 r(2) Ⅱ[(+) n=1 其中 y=lim -lnn=0.5772156649 就是欧拉常数(123节.这个无穷乘积给出了任何2的r(2),同时指明了T(2)的奇点为一阶极 点z=0,-1,-2,…而无零点Wu Chong-shi ∗ §12.5 Γ ☎✆➉ÑÒÓÔÕ ✝ 10 ✞ ∗§12.5 Γ ✍✎✏Ö×ØÙÚ Γ ✕✖✗✛✜ (✩✪✫ÛÜ✥✦) Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ♦Ý ✚ ✉ ➃➄❞❡✵ ★ ⑤Þ➶✣ ❆ßà✬á ♠ ↔â❥ ❦⑨ãä Γ ✕✖✗➸ ➐å❒ ♠￾ ➾ ✬ ➽➾æ ç ➥➦✥✦♠➻➡■❏❤✥♠➻✬❈è ➌❋ ❝❞❡P➱ (é ➏ ⑩❤➫➲➐ ) ✵ ❷➅❥ ❦❸êëì í [12] ✬✩ 3 î✵ 1. Γ ❃❄➒ïð✶✷✾ñ Γ (z) = − 1 2i sin πz Z (0+) ∞ e −t (−t) z−1dt, |arg(−t)| < π, ✭ ✮ ✗ ✥✦ ➥➦★ ➳ ➞④➄ ❞❡ò ➆ ① ➙➛■❏➪ó ➟➠✬ ýÏô❢ ⑩ ① õ ❆ö ✬✃ ➃Ï➏ú➄ ❞❡ò ➆ ① ➙➛■❏➪ó (❸❹ 12.4) ✵⑧➾❋❝ z ❞❡P➱✬ û z = ② ✖ ➎➐ ✵ ❺ 12.4 ❺ 12.5 Γ ✕✖✗➸❆ ✤ ➥➦✥✦♠➻ ✢ Γ (z) = 1 2π i Z (0+) −∞ e t t −zdt, |arg t| < π, ✥✦ ➥➦➞ ú➄❞❡ò ➆÷➙➛■❏➪ó ➟➠✬ ➃Ïô❢ ⑩ ① õ ❆ö ✬✃ ýÏ➏ ④ ➄ ❞❡ò ➆÷ ➙➛■❏➪ó (❸❹ 12.5) ✵⑧➾❋❝ z ❞❡P➱✬ æ ç z = ② ✖✵ 2. Γ ❃❄➒øùúûü✶✾ñ Γ (z) = 1 z Y∞ n=1  1 + z n −1  1 + 1 n z , ⑧➾t✈ý z ❶P➱✬ û ➍ ⑩ z = ÷ ② ✖ ➎➐ ✵ 3. Γ ❃❄➒þÿ￾✁ù￾úûü✶✾ñ 1 Γ (z) = ze γz Y∞ n=1 h1 + z n  e −z/ni , ✭ ✮ γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # = 0.5772156649 · · · ♥ ✢ ÛÜ✙✖ (12.3 ♠) ✵ ✣✤■❏❤✥④ ➟⑤ ✈ý z ✗ Γ (z) ✬✂ ❭ô ❦ ⑤ Γ (z) ✗❸⑩ ★ ❆ ❣➍ ⑩ z = 0, −1, −2, · · · ➌■r ⑩✵