现在根据B函数和r函数的关系式 B(p, q) T(p)r(a) T(p+q) 补证r函数的两个性质,即互余宗量定理 r(2)r(1-2) 和倍乘公式 r(2)=2-4x1217 先证明互余宗量定理,在(★)式中令p=2,q=1-z r(z)r(1-z) r(1) r(2)r(1-z) 另一方面 B(z,1-2) t)di 令x=t/(1-t),上式即可化为 B(z,1-z) 这个积分在第76节中已经计算过,这样就证得 (z)r(1-2)=B(2,1-2) 这个证明当然是在0<Rez<1的条件下得到的,但是,由于等式的两端在全平面都解析,因此, 这个等式在全平面均成立.口 再证明倍乘公式,这可以通过积分 (1-x2)2-dx,Rez>0 的计算得到.令x2=t,则得 B r(2)r(1/2 (z+1/2) 若作变换1+x=2t,1-x=2(1-t),则有另一种形式的结果 (1-x2) t2-1(1-t)2-1dt=22-B(2,2)=22 1I(2)r(x) r(22) 于是 r(+123-1(2)I(2)即倍乘公式r(2)=2-x/r(a)r(21) r(z)r(1/2) r(2z) 这里的证明仍然是在Rez>0的条件下进行的.但是,正如前面多次论证过的,这个结果在 全平面都成立.口Wu Chong-shi ￾✁✂✄ Γ ☎ ✆ ✝ 9 ✞ ⑩ ❋ ☛☞ B ✕✖➡ Γ ✕✖✗➅➫ ➾ B(p, q) = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) . (F) ➶❥ Γ ✕✖✗◗✤➈♥ ✬ ➶✐❥❦✰ ✛✳ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz ➡ ➄ ❤❧➾ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ  z + 1 2  . ❲❥ ❦✐❥❦✰ ✛✳✬ ❋ (F) ➾ ✮➵ p = z, q = 1 − z ✬ B(z, 1 − z) = Γ (z) Γ (1 − z) Γ (1) = Γ (z) Γ (1 − z). ➸❆➽❡✬ B(z, 1 − z) = Z 1 0 t z−1 (1 − t) −zdt. ➵ x = t/(1 − t) ✬④➾➶❤➹ ★ B(z, 1 − z) = Z ∞ 0 x z−1 1 + x dx. ✣✤✥✦❋ ✩ 7.6 ♠ ✮➘➴➷➬➮✬✣❻♥❥ ➂ Γ (z) Γ (1 − z) = B(z, 1 − z) = π sin πz . ✣✤❥ ❦❬❩ ✢❋ 0 < Re z < 1 ✗øùú➂➏✗✵û✢✬ ❣ ✉ ü➾✗◗ ●❋❝❞❡➌✴❢✬❅ ⑧ ✬ ✣✤ü➾❋❝❞❡❶P➱ ✵ ✃❥ ❦➄ ❤❧➾✵✣ ❤ ▲ ➞ ➮✥✦ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1 dx, Re z > 0 ✗ ➷➬➂➏✵➵ x 2 = t ✬s ➂ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1 dx = 2 Z 1 0 (1 − x 2 ) z−1 dx = Z 1 0 (1 − t) z−1 t −1/2 dt = B  z, 1 2  = Γ (z) Γ (1/2) Γ (z + 1/2) . ❐❜✯➺ 1 + x = 2t ✬ 1 − x = 2(1 − t) ✬s❷ ➸❆❒⑥➾✗➭÷➳ Z 1 −1 (1 − x 2 ) z−1dx = 22z−1 Z 1 0 t z−1 (1 − t) z−1dt = 22z−1B(z, z) = 22z−1 Γ (z) Γ (z) Γ (2z) . ✉ ✢ Γ (z) Γ (1/2) Γ (z + 1/2) = 22z−1Γ (z) Γ (z) Γ (2z) ➶➄ ❤❧➾ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ  z + 1 2  . ✣❮ ✗ ❥ ❦❰❩ ✢❋ Re z > 0 ✗øùú➯Ï✗✵û✢✬① ➧Ð ❡ ➢➥❱❥➮ ✗ ✬✣✤➭÷❋ ❝❞❡➌ P➱ ✵