§12.4 第8页 8124B函数 B函数是由第一类 Euler积分定义的: (P,q) 1 令t=sin20,还可以得到B函数的另一个表达式 B(p, q) m2p-10 c0s2q-10 de 在B函数的定义中作变换s=1-t,就可以得到 B 即B(P,q)对于p和q是对称的 B(p, =B(, p) B函数可以用r函数表示出来 B(p, q) T(Pr(a) q) 证在Rep>0,Req>0的条件下,显然有 e-ttP-Idt T(a 于是 r(p)r(q)=4 θ,得 r(p)r(q)=4 e-p(rsin 0)2p-(rcos 0)2q-Irdrde 2(p+q)-Idr/ sin2p-lBcos2q-1ade q)B(P,q).口 利用这个关糸式,可把B函数解析延拓到p和q的全平面 从这个关糸式,也可以清楚地看出B(p,q)对于p和q是对称的Wu Chong-shi §12.4 B ☎ ✆ ✝ 8 ✞ §12.4 B ✍ ✎ B ✕✖✢ ❣✩ ❆ ✫ Euler ✥✦✛✜✗➳ B(p, q) = Z 1 0 t p−1 (1 − t) q−1dt, Re p > 0, Re q > 0. ➵ t = sin2 θ ✬ ➯❤ ▲ ➂➏ B ✕✖✗➸❆ ✤♠￾ ➾ B(p, q) = 2 Z π/2 0 sin2p−1 θ cos2q−1 θ dθ. ❋ B ✕✖✗✛✜ ✮❜✯➺ s = 1 − t ✬♥❤ ▲ ➂➏ B(p, q) = Z 1 0 t p−1 (1 − t) q−1 dt = Z 0 1 (1 − s) p−1 s q−1 (−ds) = Z 1 0 s q−1 (1 − s) p−1 ds, ➶ B (p, q) t✉ p ➡ q ✢ t✧ ✗➳ B (p, q) = B (q, p). B ✕✖❤▲ ✚ Γ ✕✖♠➻ ➟ ❙✬ B(p, q) = Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) . ✡ ❋ Re p > 0 ✬ Re q > 0 ✗øùú✬❨❩❷ Γ (p) = Z ∞ 0 e −t t p−1dt = 2 Z ∞ 0 e −x 2 x 2p−1dx, Γ (q) = 2 Z ∞ 0 e −y 2 y 2q−1dy. ✉ ✢ Γ (p) Γ (q) = 4 Z ∞ 0 Z ∞ 0 e −(x 2+y 2 )x 2p−1 y 2q−1dxdy. ➵ x = r sin θ ✬ y = r cos θ ✬ ➂ Γ (p) Γ (q) = 4 Z ∞ 0 Z π/2 0 e −r 2 (r sin θ) 2p−1 (r cos θ) 2q−1 rdrdθ = 4 Z ∞ 0 e −r 2 r 2(p+q)−1 dr Z π/2 0 sin2p−1 θcos2q−1 θdθ = Γ (p + q) B(p, q). ➼Ð✍✎ ✳✴❁✬í◆ B ✃❐ÝÞãäå p ✩ q ➱ÛÜ ➷ ✵ ✓✍✎ ✳✴❁✬✹í ✒➽ ➾➚❚ ➪ B (p, q) ✌Ñ p ✩ q Ù✌↕➱ ✵