量场梯度。此情形,即为基于曲面的半正交基展开张量场梯度,可直接按完整基的理论 行计算。然而,实际应用中可能是基于其它曲线坐标系获得张量场梯度,此时可利用不同 基下张量场分量的坐标转换关系获得张量场梯度基于曲面的半正交基的展开。③曲面上的 张量场。基于曲面上切空间中的协变基或逆变基以及法向量所构成的全空间中的基,所有 基向量均以曲面参数为自变量,由此可定义曲面上的张量场。进一步,可基于曲面标架及 其运动方程,获得曲面上的张量场相对于曲面参数的偏导数,亦即曲面上沿坐标曲线的变 化率 第12周、第13周 第四部分张量赋范线性空间上的微分学 本部分知识源于一般赋范线性空间上的微分学在张量赋范线性空间上的具体实践 张量赋范线性空间①张量线性空间上的范数。②不同阶张量赋范线性空间之间的映照, 简称为张量映照。③张量映照的极限。 张量映照的导数①若干种张量映照的一阶导数。基于张量映照的自身特点,其一阶导数 可由对应的更高阶张量表示。⑨张量映照的二阶及高阶导数。基于张量值映照的无隈小增 量公式,研究高阶导数一般可获得更高精度的近似。③张量值映照的隐映照定理及逆映照 定理。由于张量赋范空间具有完备性,故成立有张量值映照的隐映照及逆映照定理。可开 拓相关理论的实际应用 第14周、第15周 第五部分二阶张量(仿射量)的代数性质 仿射量的特征问题①仿射量特征问题的提法。包括:特征值,左、右特征向量,特征多 项式。②仿射量的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变 量的外积表示。⑨ Hamil ton- Cayle定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由 直至r阶的矩所。⑥矩以及主不变量关于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数; 再由主不变量同矩之间的关系,获得主不变量关于仿射量的导数。 仿射量的代数分解①平均分解。②极分解。 第16周、第17周 第六部分有限维 Euclid空间中张量场的积分学(张量场场论的积分学部分) 广义 Gauss-0 strogradskii公式基于微积分中 Gauss-0 strogradskii公式的指标形式, 获得一般张量场面积分一体积分间恒等式的推演方法 第7页共8页第 7 页 共 8 页 量场梯度。此情形，即为基于曲面的半正交基展开张量场梯度，可直接按完整基的理论进 行计算。然而，实际应用中可能是基于其它曲线坐标系获得张量场梯度，此时可利用不同 基下张量场分量的坐标转换关系获得张量场梯度基于曲面的半正交基的展开。⑤曲面上的 张量场。基于曲面上切空间中的协变基或逆变基以及法向量所构成的全空间中的基，所有 基向量均以曲面参数为自变量，由此可定义曲面上的张量场。进一步，可基于曲面标架及 其运动方程，获得曲面上的张量场相对于曲面参数的偏导数，亦即曲面上沿坐标曲线的变 化率。 ——第 12 周、第 13 周 第四部分 张量赋范线性空间上的微分学 本部分知识源于一般赋范线性空间上的微分学在张量赋范线性空间上的具体实践。 1. 张量赋范线性空间 ①张量线性空间上的范数。②不同阶张量赋范线性空间之间的映照， 简称为张量映照。③张量映照的极限。 2. 张量映照的导数 ①若干种张量映照的一阶导数。基于张量映照的自身特点，其一阶导数 可由对应的更高阶张量表示。②张量映照的二阶及高阶导数。基于张量值映照的无限小增 量公式，研究高阶导数一般可获得更高精度的近似。③张量值映照的隐映照定理及逆映照 定理。由于张量赋范空间具有完备性，故成立有张量值映照的隐映照及逆映照定理。可开 拓相关理论的实际应用。 ——第 14 周、第 15 周 第五部分 二阶张量（仿射量）的代数性质 1. 仿射量的特征问题 ①仿射量特征问题的提法。包括：特征值，左、右特征向量，特征多 项式。②仿射量的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变 量的外积表示。④Hamilton－Cayle 定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由 直至 r 阶的矩所。⑥矩以及主不变量关于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数； 再由主不变量同矩之间的关系，获得主不变量关于仿射量的导数。 2. 仿射量的代数分解 ①平均分解。②极分解。 ——第 16 周、第 17 周 第六部分 有限维 Euclid 空间中张量场的积分学（张量场场论的积分学部分） 1. 广义 Gauss－Ostrogradskii 公式 基于微积分中 Gauss－Ostrogradskii 公式的指标形式， 获得一般张量场面积分－体积分间恒等式的推演方法