整基下的形式协变导数,基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel符号。③ 完整基为正交基,非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下,获得非 整基下张量场梯度分量的形式运算变得十分简便。由此,为我们获得力学、物理上的各种 张量场在单位正交基(源于正交完整基的单位正交非完整基)下的分量表示提供了切实的 方法。④应用事例:张量场方程中典型项在常用单位正交基下的分量表示。典型项,如散 度项、对流导数项、源项( Laplace算子项)等;单位正交基,如柱坐标基、球坐标基 抛物双曲基等,都为非完整基 第10周 第三部分有限维 Euclid空间中张量场的微分学Ⅱ 此部分有限维 Euclid空间中张量场的微分学,主要涉及微分几何中的曲线论、曲面论基 本理论,并应用于张量场场论 基于曲线上标架的张量场场论① Frenet标架及其运动方程。基于有限维 Euclid空间之间 向量值映照的微分学以及相关张量恒等式,获得曲线上 Frenet标架及其运动方程;涉及 空间曲线曲率及挠率等。②对连续介质某时刻所占的空间位置(当前构型)中某曲线 Frenet标架展开张量场梯庋。此情形,完整基自然可为定义张量场梯度的基,而 Frenet 标架为非完整基,由此可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frene 标架的分量形式。⑧对某空间曲线上有定义的张量场(可以曲线参数为自变量),可计算 其对应曲线参数的导数(可认识为沿曲线的变化率)此情形,需利用 Frenet标架及其标 架运动方程。 第11周 基于曲面上标架的张量场场论①曲面的几何性质刻画。(a)曲面上的第一、第二类张量, (b) Gauss曲率及平均曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结 论。(c)曲面之斜截线及其曲率。(d)曲面之法截线、主法截线及其曲率。②曲面上标架 及其运动方程。基于有限维 Euclid空间之间向量值映照的微分学,类比于一般曲线坐标 系的概念建立,获得曲面上 Frenet标架及其运动方程。③曲面的半正交基。m维 Euclid 空间中某m-1维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向量(基于线性代数中齐次 线性方程组理论);籍此可定义基于曲面的半正交基,隶属完整基。上述基于曲面的半 交基的建立需要曲面是非褪化的,且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存 在,④对连续介质某时刻所占的空间位置(当前构型)中某曲面之标架协同法向量展开张 第6页共8页第 6 页 共 8 页 整基下的形式协变导数，基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel 符号。③ 完整基为正交基，非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下，获得非完 整基下张量场梯度分量的形式运算变得十分简便。由此，为我们获得力学、物理上的各种 张量场在单位正交基（源于正交完整基的单位正交非完整基）下的分量表示提供了切实的 方法。④应用事例：张量场方程中典型项在常用单位正交基下的分量表示。典型项，如散 度项、对流导数项、源项（Laplace 算子项）等；单位正交基，如柱坐标基、球坐标基、 抛物双曲基等，都为非完整基。 ——第 10 周 第三部分 有限维 Euclid 空间中张量场的微分学Ⅱ 此部分有限维 Euclid 空间中张量场的微分学，主要涉及微分几何中的曲线论、曲面论基 本理论，并应用于张量场场论。 1. 基于曲线上标架的张量场场论 ①Frenet 标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间 向量值映照的微分学以及相关张量恒等式，获得曲线上 Frenet 标架及其运动方程；涉及 空间曲线曲率及挠率等。②对连续介质某时刻所占的空间位置（当前构型）中某曲线之 Frenet 标架展开张量场梯度。此情形，完整基自然可为定义张量场梯度的基，而 Frenet 标架为非完整基，由此可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frenet 标架的分量形式。③对某空间曲线上有定义的张量场（可以曲线参数为自变量），可计算 其对应曲线参数的导数（可认识为沿曲线的变化率）。此情形，需利用 Frenet 标架及其标 架运动方程。 ——第 11 周 2. 基于曲面上标架的张量场场论 ①曲面的几何性质刻画。（a）曲面上的第一、第二类张量。 （b）Gauss 曲率及平均曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结 论。（c）曲面之斜截线及其曲率。（d）曲面之法截线、主法截线及其曲率。②曲面上标架 及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的微分学，类比于一般曲线坐标 系的概念建立，获得曲面上 Frenet 标架及其运动方程。③曲面的半正交基。m 维 Euclid 空间中某 m－1 维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向量（基于线性代数中齐次 线性方程组理论）；籍此可定义基于曲面的半正交基，隶属完整基。上述基于曲面的半正 交基的建立需要曲面是非褪化的，且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存 在。④对连续介质某时刻所占的空间位置（当前构型）中某曲面之标架协同法向量展开张