一第5周 张量场的微分学Ⅰ①张量场梯度。引入张量空间的范数,以此获得张量场的可微性定义」 张量场的导数可表现张量场的梯度(左梯度、右梯度)②张量场的协变导数。张量场梯 度的分量即为协变导数;逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场(整体形式) 的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴下可按极限进行定义;基于张量场的可微性定义, 易于获得具体计算式(基于协变导数)进一步,可按上述途径定义张量场的方向导数及 其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数,按形式定义的思想 以定义张量场的各种场论微分运算,包括: Euclid空间中张量场的左、右梯度、散度以 及旋转,星算子等。⑤应用事例:连续介质力学中的应力张量,介质中某点某方向(对应 以其为法向量的平面上)的受力,由应力张量(二阶张量,以曲线坐标为自变量)点乘法 向量确定;应力张量的引出及相关结论基于四面体微元的受力分析。 第6周、第7周 张量场的微分学Ⅱ EDdington张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论 有:(a)有限维 Euclid空间中 Eddington张量、度量张量的偏导数都为零,对应 Eddington 张量及度量张量的所有分量其所有的协变导数均为零;相关结论又称为 Ricci引理。(b Euclid空间中协变导数可以交换次序;涉及 Riemann- Christoffel张量。④张量场的各 种场论恒等式。此处,我们直接在一般曲线坐标系下获得或者证明各种场论恒等式,此知 识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用,其知识要素包括:(a) Eddington 符号同 Kronecker符号之间的关系;(b) Ricci引理。注:此知识点所含知识要素很简要, 但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式,对理论及应用研究都 具有极其重要的作用。⑥应用事例:弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等 式的推演或证明 第8周、第9周 非完整基(一般文献常称为非完整系)理论①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度 的表达形式。当然此处的张量场梯度是在完整基(完整系)下定义的;现在要在非完整基 下获得张量场梯度(新的张量)的表达式,自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系 非完整基理论,实际提供了一种“形式运算”,以最终获得非完整基下张量场梯度的表达 式,其主要步骤,包括:(a)相对于非完整坐标的形式偏导数;(b)非完整基下的形式第 二类 Christoffel符号,形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定;(c)非完 第5页共8页第 5 页 共 8 页 ——第 5 周 2. 张量场的微分学Ⅰ ①张量场梯度。引入张量空间的范数，以此获得张量场的可微性定义， 张量场的导数可表现张量场的梯度（左梯度、右梯度）。②张量场的协变导数。张量场梯 度的分量即为协变导数；逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场（整体形式） 的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴下可按极限进行定义；基于张量场的可微性定义， 易于获得具体计算式（基于协变导数）。进一步，可按上述途径定义张量场的方向导数及 其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数，按形式定义的思想，可 以定义张量场的各种场论微分运算，包括：Euclid 空间中张量场的左、右梯度、散度以 及旋转，星算子等。⑤应用事例：连续介质力学中的应力张量，介质中某点某方向（对应 以其为法向量的平面上）的受力，由应力张量（二阶张量，以曲线坐标为自变量）点乘法 向量确定；应力张量的引出及相关结论基于四面体微元的受力分析。 ——第 6 周、第 7 周 3. 张量场的微分学Ⅱ ①Eddington 张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论 有：（a）有限维 Euclid 空间中 Eddington 张量、度量张量的偏导数都为零，对应 Eddington 张量及度量张量的所有分量其所有的协变导数均为零；相关结论又称为 Ricci 引理。（b） Euclid 空间中协变导数可以交换次序；涉及 Riemann－Christoffel 张量。④张量场的各 种场论恒等式。此处，我们直接在一般曲线坐标系下获得或者证明各种场论恒等式，此知 识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用，其知识要素包括：（a）Eddington 符号同 Kronecker 符号之间的关系；（b）Ricci 引理。注：此知识点所含知识要素很简要， 但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式，对理论及应用研究都 具有极其重要的作用。⑤应用事例：弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等 式的推演或证明。 ——第 8 周、第 9 周 4. 非完整基（一般文献常称为非完整系）理论 ①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度 的表达形式。当然此处的张量场梯度是在完整基（完整系）下定义的；现在要在非完整基 下获得张量场梯度（新的张量）的表达式，自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系。 非完整基理论，实际提供了一种“形式运算”，以最终获得非完整基下张量场梯度的表达 式，其主要步骤，包括：（a）相对于非完整坐标的形式偏导数；（b）非完整基下的形式第 二类 Christoffel 符号，形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定；（c）非完