§151两端固定弦的自由振动(续 第6页 利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤 1.第一步,分离变量 这一步之所以能够实现,先决条件是偏微分方程和边界条件都是齐次的.而分离变量 的结果,是得到了(一个或多个)含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件,即 个或多个)本征值问题 2.第二步,求解本征值问题 3.第三步,求出全部的特解,并进一步叠加出一般解. 显然事先没有任何理由弃去其中的任何一个特解 4.第四步,利用本征函数的正交性定叠加系数 严格说来,上面得到的还只是形式解,对于具体问题,还必须验证 1.这样得到的α(x,刂)是否满足偏微分方程,换勺话说,级数解是否可以逐顼求二阶偏微商 2.这样得到的α(x,t)是否满足边界条件,换句话说、级数解的和函数是否连续 3.在定叠加糸数时,逐项积分是否合法 关于这三个问题,都涉及到级数解的收敛性.由于系数Cn和Dn是由以(x)和v(x)决定的 因而o(x)和v(x)的性质就决定了对这三个问题的回答 从理论上说,分离变量法的成功,要取决于下列几个条件: 1.本征值问题有解 2.定解问題的解一定可以按照本征函数展开,换句话说,本征函数的全体是完备的 3.本征函数一定具有正交性 以后将在适当时候回答这几个问题一Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 6 ➪ F ✔✕✸✹✺✻ê➉✖ë❀✸❁❂✕✖✗✘✖ì➁íî 1. ✴✵✶✭✾✿❀❁r s❧ ïðñ òóô õ❚ ✭ö÷❥❦❡ø❬❭❪❫✒ ♣q❥❦⑦ ❡♥♦❲rù❭ úûü ❲ýþ✭ ❡ÿ￾ ✁ (❧✂✄ ☎✂) ❣❤✐❴❩❨❲♥♦❩❬❭❪❫✒ ♥♦♣q❥❦✭✆ (❧✂✄ ☎✂) ✝✞② ❛❜r 2. ✴➈✶✭ ➏ ✱ ➊➋➌❐❒r 3. ✴➶✶✭ ➏Ñòó✧Õ✱✭➘✟ ✵✶ëìÑ✵Ö✱r ✠✡☛ö☞❤⑤⑥✌ ✍✎✏✑ ❢❲⑤⑥❧✂❝❵r 4. ✴✓✶ ✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳û✦ëì✒❉r ✓✔×Ø✭➢➤➐Ô✧✕ ô ◗❂❃✱r ❰Ï÷✻ ❐❒✭✕ ➌➍✖ ✸ ✷ 1. stÿ￾❲ u(x, t) ❡✗⑨⑩ø❬❭❪❫✭ ✘ ✙✚✛✭✜❨❵❡✗✢ ò✣✤✥✦✧ø❬★✩ 2. stÿ￾❲ u(x, t) ❡✗⑨⑩♣q❥❦✭ ✘ ✙✚✛✭✜❨❵❲✒ ❳❨❡✗✪✫✩ 3. ❯❴ ✎✏ ✑❨❽✭ ✣✤✬❭❡✗✭✮✯ ➾✰✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁✯❂✰❃✼ Cn ❄ Dn ❅ ❂ φ(x) ❄ ψ(x) ❆❇✾✶ ❈❉ φ(x) ❄ ψ(x) ✾❁❊❋❆❇●❍✱✲✳✴✵✾ ■❏✯ ❑▲▼◆❖✶P◗❘❙❚✾❯❱✶❲❳❆ ✰❨❩❬✳❭❪❫ 1. ❴❵❛ ❜❝❞❡❢ 2. ❣❡ ❜❝❤❡✐❣❥ ❦❧♠❴❵♥♦♣q✶r st✉✶❴❵♥♦❤✈✇① ②③❤❢ 3. ❴❵♥♦✐❣④❞⑤⑥⑦✯ ⑧⑨⑩❶❷❸❹❺ ■❏✱❬✳✴✵✯