分离量法( 第5页 ★波动在两端固定弦上的传播过 形 为了简单起见,仍,单纯由初位移引起的波动为例 当t>0足,初位移也太在无a弦上分别左右传画,不同数处水到 0=1 这由两端 定这样的王份条件决是的“上任一在个是的位移雨言, 位移在两个 样求而叠加出的结果对于初此在上面的波动,当然也可 然 ★弦的总相量 在任一足刻t,弦的动能_,位能分别 对 应能,为 E()=2 将解式代入,利用本征改的正交归一性,就容易求得 nn2[n(+Dn小 E()=- 等式右端显然类又其与t无关,即弦的应能方第贾 ★的的唯一考 如果此定解问题有两个解,n1(x,t)u2(x,t),那么,m(x,1)≡1(x,t)-m2(x,1)就一定均时 定解问题 对 a2u=0 0<x<l,t>0 x=0 u==0.t≥0 ot I 只要能够小明v(xD)=0即可从物理上可续判断,这肯定地正确的从能方第页的要求来,当 t=0足弦的应能为0,因此后的任一刻t,E()满为0“这问题一定有 du 即v(x,t)为以 又其 由初始条件征于仍条作盖能定出此 又其 的办法是仿就136的作法,直接推出dE/dt=0,而不依赖于具体的求解法(例如,分离变量法)Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 5 ➪ F ③④⑤⑥⑦⑧✕⑨⑩✖❶❷❸❂ ✜ ✃❹ Ù í❺✭ î ▲ Ù❻ ✪á❼❽❾í✧❿✬ ✜ ür ➀ t > 0 ❋✭á❼❽Ò➁➡ ➒ ❑★➢✾✴ ➂➃➄➅➆✭Ý✞➇➈◗ Ô➉ ✤➊ x = 0 ➋ x = l ❋✭ ➌➍➎➏ ➐Ø ✭➘➑ ➑➒➓✧ ➩ ❼➔→ π(ã ➡✤➊ x = 0 ■ x = l ➌➍➣↔↕➙✭ ➍ ◗ ✪✣✤ ✥✦➍➎✧❏❑✲✳➛✦✧) r Ó★➢Û➜✵ ➊➡ Û➜✵→❋➝✧❼❽✠➞✭➣Ó◗á❼❽➡✣→ ✤➊✷➔ ❙ ➎➟➎➏✠ëìÑ ✧➥➦r ❰Ïá➠➡➢➤✧❿✬✭➀ï Ò↕▲◗➥➦➧❍r F ⑨✖➨➩✻ ➡ Û✵❋➝ t ✭★✧✬Þ■❼Þ✾✴◗ 1 2 Z l 0 ρ  ∂u ∂t 2 dx ■ 1 2 Z l 0 T  ∂u ∂x2 dx, ➫ Þ❁✜ E(t) = 1 2 Z l 0 ρ  ∂u ∂t 2 dx + 1 2 Z l 0 T  ∂u ∂x2 dx. ❇✱❃➭➯✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳➵✵ û✭Ó➸➺➏➐ E(t) = mπ 2a 2 4l 2 X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 . ➻ ❃➄✤➼ ï ◗●❉✭➽ t ➒➾ ✭ ã ★✧➫ Þ❁➚➪ ❚ r F ✖✖➶➮✙ ý➦➠✦✱❐❒➑✣ → ✱✭ u1(x, t) ■ u2(x, t) ✭✂✄✭ v(x, t) ≡ u1(x, t) − u2(x, t) Ó ✵ ✦❊❋ ✦✱❐❒ ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, v   x=0 = 0, v   x=l = 0, t ≥ 0, v   t=0 = 0, ∂v ∂t    t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ôõÞø✸ ✹ v(x, t) = 0 ã ↕r➹➘➴➢↕▲➷➬✭ ➍➮ ✦◗➛➱✧r➹ Þ❁➚➪✧ õ➏Ø✃ ✭ ➀ t = 0 ❋★✧➫ Þ❁✜ 0 ✭➟➠▲❮ ✧ Û✵❋➝ t ✭ E(t) ❊ ✜ 0 r➍➜❐❒✵ ✦ ➑ ∂v ∂x = 0, ∂v ∂t = 0, ã v(x, t) ✜ ●❉r ✪áâ✲✳➋❏❑✲✳✭PÞ✦Ñ ➠●❉✜ 0 r ❚ ❮❰Ï❯ÐÑ❢ÒÓ 13.6 Ô❯ÕÑ♦Ö×ØÙ dE/dt = 0 ♦ÚÛÜÝÞßà❯áâãÑ (äå♦æçèéÑ) ❞