层一号一号时，肠爱取得极大值一品 例0在第卦限内作精球面++1的切平面，使该平面与三坐标平面所 成的四面体的体积最小，求此切平面与椭球面的切点，并求最小体积。 分析这是一个条件极值问题，应先求出四面体的体积表达式，然后求出其最小值。 解设切点为P(x,以，)，椭球面在该点的切平面方程为 三(X-x)+(X-)+三(X-)=0, 即三X+二Y+三Z=1,它与三个坐标平面围成的四面体的体积为 要求r的最小值，等价于求一在条件手+苦号-1下的最大值。 求山=在条件若+卡+号=1下的最大值有两种解法 -+2-0 得+20 图=w+2号=0 得=乐少，-后r再由号长+号1，解得x=后行：后即所求的可 点为后 由问题的实际意义可知唯一可能的极值点便是取得最值的点，因此“=在 (后后号局动处取得是大黄，即少在该取最小值。且最小黄为 心圆9 解法2利用条件极值的方法可以证明许多常用的不等式：反过来，也可以利用已知不 等式来求条件极值.由不等式≤(x2+y+3)可得 -周调间as周+目j] , 6 a x = , 3 a y = 2 a z = 时，函数取得极大值 6 432 a u = ． 例 40 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 的切平面，使该平面与三坐标平面所围 成的四面体的体积最小，求此切平面与椭球面的切点，并求最小体积． 分析 这是一个条件极值问题，应先求出四面体的体积表达式， 然后求出其最小值． 解 设切点为 P x y z ( , , ) ，椭球面在该点的切平面方程为 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 x y z X x X y X z a b c − + − + − = ， 即 2 2 2 1 x y z X Y Z a b c + + = ，它与三个坐标平面围成的四面体的体积为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 6 a b c a b c V x y z xyz   =  =     ， 要求 V 的最小值，等价于求 u xyz = 在条件 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 下的最大值． 求 u xyz = 在条件 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 下的最大值有两种解法． 解法 1 作拉格朗日函数 2 2 2 2 2 2 ( , , ) 1 x y z F x y z xyz a b c    = + + + −     ．由 2 2 2 2 0 2 0 2 0 F x yz x a F y xz y b F z xy z c     = + =      = + =     = + =   得 2 2 2 2 2 2 2 2 , a c x y z y b b = = 再由 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = ，解得 , , 3 3 3 a b c x y z = = = ，即所求的切 点为 ( , , ) 333 a b c ． 由问题的实际意义可知唯一可能的极值点便是取得最值的点，因此 u xyz = 在 , , 333   a b c     处取得最大值，即 V 在该点取最小值，且最小值为 ( ) 3 2 2 2 min 3 3 6 2 abc V abc abc = = ． 解法 2 利用条件极值的方法可以证明许多常用的不等式；反过来，也可以利用已知不 等式来求条件极值．由不等式 1 2 2 2 ( ) 3 xyz x y z  + + 可得 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 3 x y z x y z xyz abc abc a b c a b c               =   + +                              