2)代数解法 由[问=i 有H 2m+2m03 方+二h 2h mo 定义新算符 mo 则 H -m0 H=laa+na 2m2 [,p=i 显然,a不是厄米算符,a≠a。但ata是厄米算符,(ata)=a'a。 问题:aa是什么力学量? [a=0,∴与i共同本征态,只要求解了首的本征方程,就求解了 的本征方程。 a'an=nn) 则)=|n+5oln) E,=n+hoo 问题是:本征值n=?坐标表象本征态(xm)是什么? 21)设am)=|b), yu ( nat=(b,( na'an=bb, n(nn)=(bb) (b|b)20,(nn)≥0, n≥0。 22)(ata)aln)=(ai-1)an)=a(aa-1))=(n-1)i (aa)a|n)=at|n)=a(aa+1)n)=(n+1)a|n) 如果|n)是aa的本征态,则ln),a|n)也是ata的本征态,并有下列关系2）代数解法 由 [ xˆ ˆ , p] = i=， 有 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 p m i i H m x x p x p m m m ω ω ω ω ω ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ − ⎜ + ⎟ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = = ω 定义新算符 ˆ ˆ 2 m i a x m ω ω ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ pˆ ， ˆ ˆ 2 m i a x m ω ω + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ pˆ ， 则 [ ] 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 ˆ ˆ , ˆ ˆ , 1 H m p H a a x m x p i a a ω ω + + ⎧ ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = + ⎪ = + ⎜ ⎟ ⎨ ⎨ → ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ = ⎡ ⎤ = ⎩ ⎣ ⎦ = = 。 显然，aˆ 不是厄米算符，aˆ + ≠ aˆ 。但aˆ + aˆ 是厄米算符，( ) a a ˆ ˆ aˆ aˆ 。 + + + = 问题：aˆ + aˆ 是什么力学量？ ˆ ˆ a a ˆ ˆ, H 0 H a a ˆ ˆ + + ⎡ ⎤ = ∴ ⎣ ⎦ ∵ ， 与 有共同本征态, 只要求解了aˆ + aˆ 的本征方程，就求解了 Hˆ 的本征方程。 设 a a ˆ ˆ n n n + = ， 则 1 ˆ 2 H n n ω n ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ， 1 2 E n n ω ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 。 问题是：本征值n = ? 坐标表象本征态 x n 是什么？ 2.1） 设 a n ˆ = b ， 则 n aˆ b + = ， n aˆ ˆa n b b + = ，n n n = b b ∵ b b ≥ ≥ 0, n n 0 ， ∴ ≥ n 0。 2.2） ( ) a a ˆ ˆ aˆ n ( ) aˆaˆ 1 1 aˆ n aˆ( ) aˆ aˆ n ( ) n aˆ n + + + ∵ = − = − = −1 ( ) a a ˆ ˆ aˆ n a a ˆ ˆaˆ n aˆ ( ) aˆ aˆ 1 1 n ( ) n aˆ n + + + + + + + = = + = + ∴如果 n 是aˆ + aˆ 的本征态，则a n ˆ ，aˆ n + 也是aˆ + aˆ 的本征态，并有下列关系： 1