本征态 的本征值 H的本征值 (a)) 2 n+二| n+1 jh (a)1) 故称a为下降算符,a为上升算符。结合n≥0的结论,ata的本征值为 ∫n…,n-1,n,n+1 ≥0 23)对于最小值n0,有 a no =nono 如果n>0,因为an)仍然是本征态, (aa)/no=(no-1)a/no 本征值n0-1<n0,与n为最小本征值的假设矛盾。 如果n0=0,由 aan)=0,an)=0,(aa)aln3)=0, 说明an)仍然是aa的本征态,且本征值为0=,与为最小本征值的假设不矛盾。故 结论 n=0.1.2 注意,到此仅仅用到了对易关系,没有进入具体表象。 24)由于a|n)对应本征值为n-1,考虑到一维束缚态无简并,有 )=an|n-1) 同理,a|n)=bn+1)。( ) † 2 ˆ ˆ ˆ 5 ˆ 2 2 3 ˆ 1 2 a a H a n n n a n n n n n ω ω + + ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ # # = = 本征态 的本征值 的本征值 ( )2 1 2 1 ˆ 1 2 3 ˆ 2 2 n a n n n a n n n ω ω ω ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = # 故称aˆ 为下降算符，aˆ + 为上升算符。结合n ≥ 0 的结论，aˆ + aˆ 的本征值为 0 0 , , 1, , 1, 0 n n n n n ⎧ − + ⎨ ⎩ ≥ " " 2.3）对于最小值n0，有 0 0 0 a a ˆ ˆ n n n + = 如果n0 > 0，因为 0 a n ˆ 仍然是本征态， ( ) a a ˆ ˆ aˆ n0 0 ( ) n 1 aˆ n + = − 0 本征值n0 0 − <1 n ，与n0为最小本征值的假设矛盾。 如果n0 = 0，由 0 a a ˆ ˆ n 0 + = ， 0 a n ˆ = 0，( ) 0 a a ˆ ˆ aˆ n 0 + = ， 说明 0 a n ˆ 仍然是 的本征态，且本征值为0 ，与 为最小本征值的假设不矛盾。故 。 aˆ aˆ + 0 = n 0 n 0 n = 0 结论： 1 2 0,1,2, E n n n ω ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ = + ⎜ ⎟ ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ ⎩ = = " ， 注意，到此仅仅用到了对易关系，没有进入具体表象。 2.4) 由于a n ˆ 对应本征值为n −1，考虑到一维束缚态无简并，有 ˆ 1 n a n = a n − ， 同理， ˆ 1 n a n b n + = + 。 2