第九章 大学物理辅导 静电场 解：(1)带电棒的线电荷密度入=，选坐标轴如图91所示，棒上任一线元的电量 为dq=元dk,d▣在中点产生的场强为： I A.dx 则P点的总场强为 E=∫E= 15 10 -4a-- (2)取坐标轴如图92所示，任一线元dr所带电量dq在P点场强，由于对称故，dE的 分量的总和为0，所以仅有y分量 de,=dE·sina 1 Adx dx 4x+a+a4o2+a2)3 0 匹，地此F+d22是 例2、两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别 为R和R(R<R),单位长度上的电量为T。求离轴线 为r处的电场强度(1)r<R, 31 de 解：(1)在<R1时，作如图93所示的同轴圆柱面为高斯面， 由于场为柱面对称的，所以通过侧面的电通量为2m·1·E, a白 X 通过上下底面的电通量为零。根据 O x dx + -t 高斯定理，因为此高斯面没有包围 电荷，所以有2m.1E=0,即 E-0。 图9-2 2)对RR,类似（1①作高斯面，有21小E=红，故 E 图93 得E=2r (3)对于PR,作类似高斯面，有20-E=r-1日=0，故得E=0。 En 例3、均匀带电球面，半径为R,电荷面密度为，求离球心为r处的电势：(1)r<R:(2) 解：已知在球内任一点的场强E角=0（见图94），在球外任一点离球心的距离为r处的场 强 一48 第九章 大学物理辅导 静电场 ～48～ 解：（1）带电棒的线电荷密度  = Q L ，选坐标轴如图 9-1 所示，棒上任一线元 dx 的电量 为 dq=  dx，dq 在中点产生的场强为： dE dx a x =  − 1 4 0 2   ( ) 则 P 点的总场强为 E dE dx a x a x L L Q a L L L L = = − = − − = −   −    4 4  1 2 2 1 0 4 2 2 2 0 0 2 2 ( ) （2）取坐标轴如图 9-2 所示，任一线元 dx 所带电量 dq 在 P 点场强，由于对称故， dE  的 分量的总和为 0，所以仅有 y 分量 dE dE dx x a a x a a dx x a y =  = + + = + sin ( )      1 4 0 4 2 2 2 2 0 2 2 3 2 E dE a dx x a a x a x a L L L L a Q a L a y L L = = + = + − = + = +  −        4 4 2 2 2 0 4 2 4 2 2 3 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 ( ) 例 2、两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别 为 R1 和 R2 （R1 <R2 ），单位长度上的电量为  。求离轴线 为 r 处的电场强度（1）r<R1，（2）R1<r<R2，（3）r>R2。 解：（1）在 r<R1 时，作如图 9-3 所示的同轴圆柱面为高斯面， 由于场为柱面对称的，所以通过侧面的电通量为 2rl  E ， 通过上下底面的电通量为零。根据 高斯定理，因为此高斯面没有包围 电荷，所以有 2rl  E =0，即 E=0。 （2）对 R1<r<R2，类似（1）作高斯面，有 2 0    r l E l   = ，故 得 E r = 1 2 0  。 （3）对于 r>R2，作类似高斯面，有 2 0 0     r l E l l   = − = ( ) ，故得 E=0。 例 3、均匀带电球面，半径为 R，电荷面密度为  ，求离球心为 r 处的电势：（1）r<R；（2） r>R 解：已知在球内任一点的场强 E 内 =0（见图 9-4），在球外任一点离球心的距离为 r 处的场 强 L O x dx X a P 图 9-1 Y dE  dEy  dEx  P a  X O x dx L 图 9-2 R2 R1 + − r l 图 9-3