第九章 大学物理辅导 静电场 第九章静电场 一、教材的安排与教学目的 1、教材的安排 本章的教材安排，可按讲授顺序概括为以下六个方面 (1)真空中的库仑定律，电荷守恒定律： (2)电场强度，场强迭加原理： (3)电场强度通量，高斯定理及其应用： (4)静电场力所作的功、电势能、电势、电势差： （5)电势的迭加原理，电势的计算： (6)等势面，场强与电势的关系 2、教学目的 本章的教学目的是： (1)使学生理解真空中库仑定律，掌握它的计算公式： (2)使学生理解电场强度的概念，掌握场强迭加原理，并能用于解决中等程度的有关 习题： (3)理解并掌握真空中的高斯定理： (4)使学生理解电势的概念，掌握电势的选加原理： (5)使学生明确场强与电势的关系。 二、教学要求 1、理解电荷守恒定律，理解并掌握真空中的库仑定律，明确它是静电学的基本规律之 2、确切理解电场强度的概念，明确它的物理意义：理解并掌握场强迭加原理，明确它 也是静电学的基本规律之一，能用积分法计算几种情况下的场强： 3、理解电力线与电场强度通量的概念，在此基础上理解并掌握高斯定理，明确它表明 了静电场是有源场，并能应用高斯定理求出几种有对称情况下的场强： 4、理解电势能、电势与电势差的概念，明确静电场力作功与路径无关：由此才有电势 能概念的引入 明确静电场的环 由此可 静电场是无旋场 即电力线不 闭合 5、理解并掌握电势的迭加原理，并能应用积分方法计算几种情况下的电势： 6、了解场强与电势的微分关系与积分关系，明确在较复杂的情况下，首先求出电势， 再利用二者的关系求出电场是一种经常采用的方法。 三、内容提要 1、电荷的量子化，电荷守恒定律 (1)电荷的 子化 自然界中的电荷只能取分立的、不连续的数值的性质叫做电荷的 量子化：并且自然界中存在着最小的电荷，即一个电子所携带的电荷，叫基本电荷， e=1.6×10-19库仑，其他电荷均是基本电荷的倍数：q=me,n=士1，土2… (2)电荷守恒定律：自然界中正、负电荷的总数是不变的，或者说系统电量的代数和 治终保持不变 2、真空中的库仑定律 -45
第九章 大学物理辅导 静电场 ～45～ 第九章静电场 一、教材的安排与教学目的 1、教材的安排 本章的教材安排，可按讲授顺序概括为以下六个方面： （1）真空中的库仑定律，电荷守恒定律； （2）电场强度，场强迭加原理； （3）电场强度通量，高斯定理及其应用； （4）静电场力所作的功、电势能、电势、电势差； （5）电势的迭加原理，电势的计算； （6）等势面，场强与电势的关系 2、教学目的 本章的教学目的是： （1）使学生理解真空中库仑定律，掌握它的计算公式； （2）使学生理解电场强度的概念，掌握场强迭加原理，并能用于解决中等程度的有关 习题； （3）理解并掌握真空中的高斯定理； （4）使学生理解电势的概念，掌握电势的迭加原理； （5）使学生明确场强与电势的关系。 二、教学要求 1、理解电荷守恒定律，理解并掌握真空中的库仑定律，明确它是静电学的基本规律之 一； 2、确切理解电场强度的概念，明确它的物理意义；理解并掌握场强迭加原理，明确它 也是静电学的基本规律之一，能用积分法计算几种情况下的场强； 3、理解电力线与电场强度通量的概念，在此基础上理解并掌握高斯定理，明确它表明 了静电场是有源场，并能应用高斯定理求出几种有对称情况下的场强； 4、理解电势能、电势与电势差的概念，明确静电场力作功与路径无关；由此才有电势 能概念的引入；明确静电场的环流为零，由此可知静电场是无旋场，即电力线不闭合； 5、理解并掌握电势的迭加原理，并能应用积分方法计算几种情况下的电势； 6、了解场强与电势的微分关系与积分关系，明确在较复杂的情况下，首先求出电势， 再利用二者的关系求出电场是一种经常采用的方法。 三、内容提要 1、电荷的量子化，电荷守恒定律 （1）电荷的量子化：自然界中的电荷只能取分立的、不连续的数值的性质叫做电荷的 量子化；并且自然界中存在着最小的电荷，即一个电子所携带的电荷，叫基本电荷， e = − 1 6 10 19 . 库仑，其他电荷均是基本电荷的倍数：q=ne，n = 1， 2 …… （2）电荷守恒定律：自然界中正、负电荷的总数是不变的，或者说系统电量的代数和 始终保持不变。 2、真空中的库仑定律
第九章 大学物理辅导 静电场 1)公式F=,192万 4元E。r2 (2)说明：为单位矢量，它的方向是由q指向q。因此当q 、同号时，F为斥 力：反之为引力。60为真空的介电常数。注意定律只适用于真空中的点电荷。 3、电场强度 1)定义：E= ，q为点电荷 go (2)意义：表明了电场力的性质，为静电场本身的属性，在数值上等于单位正电荷在 该点所受的电场力。 (3)应用：在某些情况（例如匀强电场）下，可用于求出电场力。 4、场强迭加原理 E=19 460台 0→对于分立的点电荷系 (1)公式 E= 位一」户的3对于电肉连接分布的电有系货 (2)应用：应将d区分成线分布、面分布与体积分布三种情况并分别等于：d=dl dg=o、dg=p。同时注意将矢量公式分解成分量式。 5、电力线、电场强度通量 (1)电力线：假想的有向曲线族，曲线上每点的切线方向即是该点的场强方向： 公式中。=E· (2)电场强度通量意义：表明了通过该曲面的电力线条数 注意。有正负。不闭合面的心。一般无实际意义 6、高斯定理及其应用 ∑9：是电荷的代数和： (2)说明： 高斯面上的场强是空间所有电荷贡献的，即与面内外电荷均有关： 但穿过高斯面的通量却只与面内电荷有关，而与面外电荷无关。 (3)意义：说明静电场是有源场，电荷就是它的源。 (4)应用：注意必须是具有对称性的电场，才能应用高斯定理求出场强，其次要注意 洗搔合话的高斯面。 ?、电势、电势能、电势差、静电场环流定理 (1)静电场的环流定理：「E,=0一表明静电场是无旋场或保守场，说明静电力 是保守力。 -46
第九章 大学物理辅导 静电场 ～46～ （1）公式 F q q r = r 1 4 0 1 2 2 0 （2）说明： r0 为单位矢量，它的方向是由 q1 指向 q2。因此当 q1、q2 同号时， F 为斥 力；反之为引力。 0 为真空的介电常数。注意定律只适用于真空中的点电荷。 3、电场强度 （1）定义： E F q = 0 ，q0 为点电荷。 （2）意义：表明了电场力的性质，为静电场本身的属性，在数值上等于单位正电荷在 该点所受的电场力。 （3）应用：在某些情况（例如匀强电场）下，可用于求出电场力。 4、场强迭加原理 （1）公式 E Q r r E r r dq i i i i n = = = 1 4 1 4 0 2 0 1 0 0 2 对于分立的点电荷系 对于电荷连续分布的电荷系统 （2）应用：应将 dq 区分成线分布、面分布与体积分布三种情况并分别等于： dq = dl 、 dq = ds、 dq = dv 。同时注意将矢量公式分解成分量式。 5、电力线、电场强度通量 （1）电力线：假想的有向曲线族，曲线上每点的切线方向即是该点的场强方向； （2）电场强度通量 公式 意义：表明了通过该曲面的电力线条数 注意 有正负。不闭合面的 一般无实际意义。 e s e e = E ds 6、高斯定理及其应用 （1）公式 E ds qi = 1 0 （2）说明： qi 是电荷的代数和； 高斯面上的场强是空间所有电荷贡献的，即与面内外电荷均有关； 但穿过高斯面的通量却只与面内电荷有关，而与面外电荷无关。 （3）意义：说明静电场是有源场，电荷就是它的源。 （4）应用：注意必须是具有对称性的电场，才能应用高斯定理求出场强，其次要注意 选择合适的高斯面。 7、电势、电势能、电势差、静电场环流定理 （1）静电场的环流定理： E dl = 0 表明静电场是无旋场或保守场，说明静电力 是保守力
第九章 大学物理辅导 静电场 (2)电势差，--化-业=心Ed 上式中W、W,分别是静电场中a点和b点的电势能 定义：%=%-心E。 (3)电势： 参考点：一般取无限远处'。=0。 意义：表明了电场的性质，为电场本身的属性 [+g电场中各点电势均为正，反之一g电场中各点均为负。 8、电势达加原理 1了业一分立点电荷系统 V。-4 (1)公式 「本三线电荷 久空由二面电新 和三体电荷 (2)应用：可用于求出点电荷系电场中各点的电势，它只是一种标量积分，不必考虑 方向问题。 9、场强与电势的关系 微分关系：= 积分关系：儿。=E 四、解题要点 本章的解题重点在于求出场强与电势，应注意下面几点： 1、对于分立的点电荷系统，可利用迭加原理求出E或V,特别是在计算场强时，可先 画出矢量图形，求出矢量和，再与计算相结合，效果会更好，对于电势的计算，应注意其 正、负。 2、对于电荷连续分布的带电体，如果它所产生的电场具有对称性，则可应用真空中的 高斯定理求解，如果不具有对称性，就只能应用积分求出。 3、在利用积分方法求解电场时，一定要注意选好合适的坐标系，写出投影式。积分计 算的关键在于微元的选取，这方面只能通过多看书，多作习题，从实践中加深理解。 五、典型例题 例题1、若电量Q均匀地分布在长为L的细棒上，求证：(1)在棒的延长线上，离棒中心 为a处的场强为E= 西。40一P:(2)在棒的垂直平分线上，腐棒为a处的场强为 1 B=2iaNP+4a -47
第九章 大学物理辅导 静电场 ～47～ （2）电势差： V V W q W q E dl a b a b a b − = − = 0 0 。 上式中 Wa、Wb 分别是静电场中 a 点和 b 点的电势能。 （3）电势： 定义 参考点：一般取无限远处 意义：表明了电场的性质，为电场本身的属性。 电场中各点电势均为正，反之 电场中各点均为负。 ： 。 。 V W q E dl V a a a b b q q = = = + − 0 0 8、电势迭加原理 （1）公式 V q r V dq r dq a i i i n b dx ds dv = = = = 1 4 1 4 0 1 0 分立点电荷系统 线电荷 面电荷 体电荷 （2）应用：可用于求出点电荷系电场中各点的电势，它只是一种标量积分，不必考虑 方向问题。 9、场强与电势的关系 微分关系 积分关系 ： ： E dV dl V E dl l a a = = 四、解题要点 本章的解题重点在于求出场强与电势，应注意下面几点： 1、对于分立的点电荷系统，可利用迭加原理求出 E 或 V，特别是在计算场强时，可先 画出矢量图形，求出矢量和，再与计算相结合，效果会更好，对于电势的计算，应注意其 正、负。 2、对于电荷连续分布的带电体，如果它所产生的电场具有对称性，则可应用真空中的 高斯定理求解，如果不具有对称性，就只能应用积分求出。 3、在利用积分方法求解电场时，一定要注意选好合适的坐标系，写出投影式。积分计 算的关键在于微元的选取，这方面只能通过多看书，多作习题，从实践中加深理解。 五、典型例题 例题 1、若电量 Q 均匀地分布在长为 L 的细棒上，求证：（1）在棒的延长线上，离棒中心 为 a 处的场强为 E Q a L = − 1 0 4 2 2 ；（2）在棒的垂直平分线上，离棒为 a 处的场强为 E Q a L a = + 1 2 0 4 2 2
第九章 大学物理辅导 静电场 解：(1)带电棒的线电荷密度入=，选坐标轴如图91所示，棒上任一线元的电量 为dq=元dk,d▣在中点产生的场强为： I A.dx 则P点的总场强为 E=∫E= 15 10 -4a-- (2)取坐标轴如图92所示，任一线元dr所带电量dq在P点场强，由于对称故，dE的 分量的总和为0，所以仅有y分量 de,=dE·sina 1 Adx dx 4x+a+a4o2+a2)3 0 匹，地此F+d22是 例2、两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别 为R和R(R<R),单位长度上的电量为T。求离轴线 为r处的电场强度(1)r<R, 31 de 解：(1)在<R1时，作如图93所示的同轴圆柱面为高斯面， 由于场为柱面对称的，所以通过侧面的电通量为2m·1·E, a白 X 通过上下底面的电通量为零。根据 O x dx + -t 高斯定理，因为此高斯面没有包围 电荷，所以有2m.1E=0,即 E-0。 图9-2 2)对RR,类似（1①作高斯面，有21小E=红，故 E 图93 得E=2r (3)对于PR,作类似高斯面，有20-E=r-1日=0，故得E=0。 En 例3、均匀带电球面，半径为R,电荷面密度为，求离球心为r处的电势：(1)r<R:(2) 解：已知在球内任一点的场强E角=0（见图94），在球外任一点离球心的距离为r处的场 强 一48
第九章 大学物理辅导 静电场 ～48～ 解：（1）带电棒的线电荷密度 = Q L ，选坐标轴如图 9-1 所示，棒上任一线元 dx 的电量 为 dq= dx，dq 在中点产生的场强为： dE dx a x = − 1 4 0 2 ( ) 则 P 点的总场强为 E dE dx a x a x L L Q a L L L L = = − = − − = − − 4 4 1 2 2 1 0 4 2 2 2 0 0 2 2 ( ) （2）取坐标轴如图 9-2 所示，任一线元 dx 所带电量 dq 在 P 点场强，由于对称故， dE 的 分量的总和为 0，所以仅有 y 分量 dE dE dx x a a x a a dx x a y = = + + = + sin ( ) 1 4 0 4 2 2 2 2 0 2 2 3 2 E dE a dx x a a x a x a L L L L a Q a L a y L L = = + = + − = + = + − 4 4 2 2 2 0 4 2 4 2 2 3 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 ( ) 例 2、两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别 为 R1 和 R2 （R1 R2。 解：（1）在 rR2，作类似高斯面，有 2 0 0 r l E l l = − = ( ) ，故得 E=0。 例 3、均匀带电球面，半径为 R，电荷面密度为 ，求离球心为 r 处的电势：（1）rR 解：已知在球内任一点的场强 E 内 =0（见图 9-4），在球外任一点离球心的距离为 r 处的场 强 L O x dx X a P 图 9-1 Y dE dEy dEx P a X O x dx L 图 9-2 R2 R1 + − r l 图 9-3
第九章 大学物理铺导 静电场 E外=40r月 R2 场强的方向沿矢径方向 0 (1)对r<R的球内一点A 图94 ,-厂团+i--武食 80 80RE0 (2)对PR的球外一点B a=E外而==吹1 六、课堂练习题 1、判断题 (1)有两个带电量不相等的点电荷，它们相互作用时，电量大的电荷受力大，电量小 的电荷受力小。 (2)在某点电荷附近的任一点，如果没有在该点放置试验电荷，则该点的场强为零。 ( (3)一质量为m的点电荷，在匀强电场中由静止状态释放，它一定会沿着电力线运动。 () (4)如果通过一闭合曲面的电场强度通量为零，则此闭合曲面上的场强一定处处为零。 () (5)静电场中任意两点的电势差，跟试验电荷的正负有关。( 2、填空题 (1)一个点电荷对另一个相距为3厘米的点电荷施加一个大小为F的静电力，如果两 个点电荷间的距离增加到6厘米，则它们之间静电力的大小变为F的 倍。 (2)∮Ed=0,表明静电场是 (3)两个点电荷所带电量之和为Q,则它们各带电量 时，相互间的作用 力最大。 (4)设匀强电场的场强E与半径为R的半球面的轴平行，则通过此半球面的电场强度 通量为 (5)相距0.20m,带电量为1.0×10℃的两个异号点电荷，在它们连线中点处的场强 为 A、表面场强大于球内各点的场强：B、表面场强等于球面内各点的场强： C、表面颤强小于球内各点的场强：D、条件不足，无法比较场强的大小。 )若穿过球形高斯面的电场强度通量为军，则工由成正负电有为 A、高斯面内一定无电荷 -49
第九章 大学物理辅导 静电场 ～49～ E q r R r 外 = = 1 4 0 2 2 0 2 场强的方向沿矢径方向 （1）对 rR 的球外一点 B V E dr R dr r R r B r r B B B = = = 外 2 0 2 2 0 1 六、课堂练习题 1、判断题 （1）有两个带电量不相等的点电荷，它们相互作用时，电量大的电荷受力大，电量小 的电荷受力小。（ ） （2）在某点电荷附近的任一点，如果没有在该点放置试验电荷，则该点的场强为零。 （ ） （3）一质量为 m 的点电荷，在匀强电场中由静止状态释放，它一定会沿着电力线运动。 （ ） （4）如果通过一闭合曲面的电场强度通量为零，则此闭合曲面上的场强一定处处为零。 （ ） （5）静电场中任意两点的电势差，跟试验电荷的正负有关。（ ） 2、填空题 （1）一个点电荷对另一个相距为 3 厘米的点电荷施加一个大小为 F 的静电力，如果两 个点电荷间的距离增加到 6 厘米，则它们之间静电力的大小变为 F 的 倍。 （2） E dl = 0 ，表明静电场是 。 （3）两个点电荷所带电量之和为 Q，则它们各带电量 时，相互间的作用 力最大。 （4）设匀强电场的场强 E 与半径为 R 的半球面的轴平行，则通过此半球面的电场强度 通量为 。 （5）相距 0.20m，带电量为 1.0×10-8C 的两个异号点电荷，在它们连线中点处的场强 为 。 3、单重选择题 （1）有一带电介质球，其电荷均匀分布，体密度为 ，则 A、表面场强大于球内各点的场强；B、表面场强等于球面内各点的场强； C、表面颤强小于球内各点的场强；D、条件不足，无法比较场强的大小。 （2）若穿过球形高斯面的电场强度通量为零，则 A、高斯面内一定无电荷； B、高斯面内无电荷或正负电荷为零； R B E外 O A 图 9-4
第九章 大学物理辅导 静电场 人、穿过每一表面的电适量都等于号：B、字过每一表面的电通量都等于号 C、穿过每一表面的电通量都等于，D、条件不足无法计算电通量。 3g。 (4)下面关于电势与电势能的说法哪种正确 A、静电场中各点电势的正负与检验电荷有关： B、静电场中某点放置检验电荷q0后，则的电势能的正负完全取决于q0的正负。 C、静电场中某点放置检验电荷0后，则电势能的大小与正负均与该点电势有关。 D、以上说法均不正确。 (5)在场强与电势的关系中，说法正确的是 电势为零处，场强也 一定为 B、场强为零处，电势也一定为零 C、场强数值愈大，电势数值也愈大： D、以上说法均不正确。 七、阅读范围与作业 1、阅读范围P1s7(中册) 2、作业P609-1,9-2,9-5,9-6,9-7,9-9,915,9-17, 9-19,9-21,9-26,9-28。 91:见图95所示，由图可得F=mgg 由库仑定律F= 4，而r=21sina=1,于是得 1a2 天 故得q=人4Emgg30 代入数据得q=2.8×108c。 0.2.见图9.6所示 解：采用投影式：q对2的作用力沿-轴 12g2 +g对-2q的作用力的投影分别为： 12a2 12g2 +2a对-2a的库仑力沿x轴负方向4 14g2 ×(-1) -50
第九章 大学物理辅导 静电场 ～50～ C、高斯面上场强一定处处为零； D、以上说法均不正确。 （3）如果把一点电荷 Q 放在某一立方体中心，取立方体表面为高斯面，则 A、穿过每一表面的电通量都等于 Q 6 ； B、穿过每一表面的电通量都等于 Q 6 0 C、穿过每一表面的电通量都等于 Q 3 0 ；D、条件不足无法计算电通量。 （4）下面关于电势与电势能的说法哪种正确 A、静电场中各点电势的正负与检验电荷有关； B、静电场中某点放置检验电荷 q0 后，则的电势能的正负完全取决于 q0 的正负。 C、静电场中某点放置检验电荷 q0 后，则 q0 电势能的大小与正负均与该点电势有关。 D、以上说法均不正确。 （5）在场强与电势的关系中，说法正确的是 A、电势为零处，场强也一定为零； B、场强为零处，电势也一定为零； C、场强数值愈大，电势数值也愈大； D、以上说法均不正确。 七、阅读范围与作业 1、阅读范围 P1-57（中册） 2、作业 P60 9-1，9-2，9-5，9-6，9-7，9-9，9-15，9-17， 9-19，9-21，9-26，9-28。 3、提示 9-1：见图 9-5 所示，由图可得 F = mgtg 由库仑定律 F q r = 1 4 0 2 2 ，而 r = 2lsin = l ，于是得 1 4 0 2 2 q l = mgtg 故得 q = l 4 0mgtg300 代入数据得 q = C − 2 8 10 8 . 。 9-2：见图 9-6 所示 解：采用投影式： -q 对 -2q 的作用力沿 -x 轴 F q a 1x 0 2 2 1 4 2 = 。 +q 对-2q 的作用力的投影分别为： F q a F q a 2x y 0 2 2 0 2 0 2 2 1 0 4 2 2 45 1 4 2 2 = − = 45 ( ) ( cos ), ( ) sin +2q 对-2q 的库仑力沿 x 轴负方向 F q a 3x 0 2 2 1 4 4 = −1 ( ) l T +q F r P 图 9-5 Y q -q F2 F1 F3 2q -2q x F 图 9-6
第九章 大学物理导 静电场 ∑F=Fz+Fx+Fx=-4.24×10N,∑F,=F,+F,+Fy=-l164×104N 合力的大小F=F+F=4.4×104N 合力F与x轴的夹角a=g-64 =15.4°+180°=195.40 -4.24 30 9-19:见图97所示：带电小球受到的电场力F=95=92 又由示意图可知F=msga,即q2=mgga· 所以0=260msgC,代入数据后得：0=5×105cm2. 9-26:见图9-8所示，原子核在半径为的圆周处的电势为 图9.7 r=是电子在此圆同上的电男提：此=er= 1e2 把电子从臣子中拉出来所瓷要的能量：W=网F) 1e2 te efl 代入数据可得：W=27.2eV。 图9-8 9-28:见图99所示，(1)把园盘分成无限个园环，园环的面积dS=2md山，它所带的电 量d西=o2t 2+x ◆X R 图9-9 每一园环在P点所产生的电势为： 西 d 则P点的总电势为 R rdr (2)根据对称性，场强E。只能沿x轴方向，即E只是x的函数，在此情况下，有 ~51~
第九章 大学物理辅导 静电场 ～51～ 故 Fx = F x + F x + F x = − N Fy = F y + F y + F y = − N − − 1 2 3 4 1 2 3 4 4.24 10 , 1.164 10 合力的大小 F = Fx + Fy = N 2 2 −4 4.4 10 合力 F 与 x 轴的夹角 = − − = + = − tg 1 1164 0 0 0 4 24 15 4 180 195 4 . . . . 9-19：见图 9-7 所示：带电小球受到的电场力 F = qE = q 2 0 又由示意图可知 F = mgtg ，即 q mgtg 2 0 = 。 所以 = 2 0mgtg q ，代入数据后得： = − − 5 10 6 2 c m 。 9-26：见图 9-8 所示，原子核在半径为的圆周处的电势为 V e r = 1 4 0 ，电子在此圆周上的电势能为： W eV e r e = − = − 1 4 0 2 。 把电子从原子中拉出来所需要的能量： W W e r = e = 1 4 0 2 代入数据可得： W = 27.2eV 。 9-28：见图 9-9 所示，（1）把园盘分成无限个园环，园环的面积 dS = 2rdr ，它所带的电 量 dq = 2rdr 。 每一园环在 P 点所产生的电势为： dV dq r x rdr r x = + = + 1 4 0 2 2 2 0 2 2 则 P 点的总电势为 V dV rdr r x r x R R x x P R = = + = + = + − 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 ( ) （2）根据对称性，场强 EP 只能沿 x 轴方向，即 EP只是 x 的函数，在此情况下，有 30 0 T m q F T mg 图 9-7 r +e -e 图 9-8 r x 2 2 + r o dr x x P R 图 9-9
第九章 大学物理辅导 静电场 (3)在x010m处的V、E,代入数据即得 V=3.17x104V,E=2.48×105m。 ~52
第九章 大学物理辅导 静电场 ～52～ E dV dx d dx R x x x R x P P = = + − = − + 2 2 1 0 2 2 0 2 2 ( ) [ ] （3）在 x=0.10m 处的 V、E，代入数据即得 4 5 1 V 3.17 10 V, E 2.48 10 Vm − = =