第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 第七章气体分子运动论 一、教材系统的安排与教学目的 】、教材的安排 本章教材的安排，可按讲授顺序概括为以下六个方面 ()分子运动论的基本概念。(2)理想气体状态方程及其微观理论。 (3)分子热运动能量的统计规律。(4)气体分子热运动速率的统计分布规律。 (5)气体分子的平均自由程，气体内的迁移现象。(6)分子力，范德瓦耳斯方程。 2、教学目的 (1)使学生确切理解气体压强、温度和内能的微观实质，以及气体分子平均自由程的 观念：掌握麦克斯韦分子速率分布律以及对理想气体实验定律的微观解释 (2)使学生对气体的微观结构和气体内进行的过程建立起鲜明的物理图象，并掌握 些基本的数量级，如气体在标准状态下的分子数密度、在室温下分子的平均速率和平均平 动动能，分子的有效直径，在标准状态下分子的平均自由程。 (3)使学生了解气体分子运动论的研究方法，初步理解统计的概念和求统计平均的方 法，并明确统计规律的特点。 二、教学要求 1、理解分子运动论的基本概念。 2、理解气体状态方程及其微观理论：明确方程中各量的含义、方程的适用条件及单位 制的选用。 3、理解气体压强的微观实质和压品公式 4、理解温度的微观实质、温度与分子平均平动能的关系 5、确切地理解分布函数的概念，掌握麦克斯韦速率分布律的公式，理解分布曲线的特 征，并由此而进一步掌握计算三种速率（平均速率、最可几速率、均方根速率）的方法。 6、确切理解平均自由程入和平均碰撞次数的概念，掌握它们的计算公式。 7、了解分子间相互作用力的规律，了解真实气体的范德瓦耳斯方程。 三、 内容提要 →适用于两个状态之间 T 1、理想气体状态方 PP=MRT一适用于某种状态时几个变量间的关系 说明：适用于平衡态，即在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态。 2、理想气体压强 )公式P=而= m2:为分子的平均平动能 P=KT→表明压强与温度成正比 (2)意义：表明压强在实质上是气体分子在单位时间内施于单位面积器壁的平均冲量。 它是大量微观量的统计平均值 一32
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 ～32～ 第七章气体分子运动论 一、教材系统的安排与教学目的 1、教材的安排 本章教材的安排，可按讲授顺序概括为以下六个方面 （1）分子运动论的基本概念。（2）理想气体状态方程及其微观理论。 （3）分子热运动能量的统计规律。（4）气体分子热运动速率的统计分布规律。 （5）气体分子的平均自由程，气体内的迁移现象。（6）分子力，范德瓦耳斯方程。 2、教学目的 （1）使学生确切理解气体压强、温度和内能的微观实质，以及气体分子平均自由程的 观念；掌握麦克斯韦分子速率分布律以及对理想气体实验定律的微观解释。 （2）使学生对气体的微观结构和气体内进行的过程建立起鲜明的物理图象，并掌握一 些基本的数量级，如气体在标准状态下的分子数密度、在室温下分子的平均速率和平均平 动动能，分子的有效直径，在标准状态下分子的平均自由程。 （3）使学生了解气体分子运动论的研究方法，初步理解统计的概念和求统计平均的方 法，并明确统计规律的特点。 二、教学要求 1、理解分子运动论的基本概念。 2、理解气体状态方程及其微观理论：明确方程中各量的含义、方程的适用条件及单位 制的选用。 3、理解气体压强的微观实质和压强公式。 4、理解温度的微观实质、温度与分子平均平动能的关系。 5、确切地理解分布函数的概念，掌握麦克斯韦速率分布律的公式，理解分布曲线的特 征，并由此而进一步掌握计算三种速率（平均速率、最可几速率、均方根速率）的方法。 6、确切理解平均自由程 和平均碰撞次数的概念，掌握它们的计算公式。 7、了解分子间相互作用力的规律，了解真实气体的范德瓦耳斯方程。 三、内容提要 1、理想气体状态方程 PV T P V T PV M RT 1 1 1 2 2 2 = = 适用于两个状态之间 适用于某种状态时几个变量间的关系 说明：适用于平衡态，即在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化的状态。 2、理想气体压强 （1）公式 P n mv P nKT = = = 2 3 1 2 2 ：为分子的平均平动能 表明压强与温度成正比 （2）意义：表明压强在实质上是气体分子在单位时间内施于单位面积器壁的平均冲量。 它是大量微观量的统计平均值
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 3、温度的微观实质 )可与T的关系：=K灯 (2)实质：温度标志若物体内部分子无规则运动的剧烈程度，它是大量分子热运动的 集体表现，也是含有统计意义的。 4、麦克斯书分子速率分布律 0少分布系数，刊-心一它表男了在毫来用近华定照内的分子装古色分 子数的比例。 m)为 (2)分布佛：=)=42水7e2河2 它表明了在任一速率间隔v~v+dv区间内的分子数占总分子数的比例。式中N为总分 子数。注意公式仅适用于平衡态，即温度T不变的状态。 5、气体分子的三种速 (1)最可几速率y :与分布函数v)的极大值相对应的速率，其大小为： 2KT2RT Ye-Vm ②平均速率：大量气体分子速车的算术平均值，河- (3)方均根速率V, ：大量气体分子速率平方的平均值，其大小为： 3R☑ (4)应用：在讨论速率分布时，需用到最可几速率：在计算分子的平均平动能时，要 用到方均根速率：在讨论分子的碰撞时，要用到算术平均速率 6、平均自由程万与平均碰撞次数Z 1 (1)平均自由程：大量自由程之平均值。其公式为元= (2)平均碰撞次数：单位时间内一个分子和其他分子相碰撞的平均次数。其公式为 Z=2nd2in 7、范德瓦耳所方程 (1)对理想气体状态方程的两个修正：①分子本身体积的修正：②分子力修正：增加 了气体的内压力作用。 四、解题步骤 本章的解题重点在于应用理想气体状态方程。故解题步廉为： 1、确定研究对象：往往是一段被封闭的气体柱： 2、明确研究对象的初始状态与终了状态如何，找出己知量与未知量： 3
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 ～33～ 3、温度的微观实质 （1） 与 T 的关系： = 3 2 KT （2）实质：温度标志着物体内部分子无规则运动的剧烈程度，它是大量分子热运动的 集体表现，也是含有统计意义的。 4、麦克斯韦分子速率分布律 （1）分布函数： f (v) dN Ndv = 它表明了在速率附近单位速率间隔内的分子数占总分 子数的比例。 （2）分布律： ( ) dN N f v dv m KT e v dv mv KT = = − 4 2 3 2 2 2 2 它表明了在任一速率间隔 v～v+dv 区间内的分子数占总分子数的比例。式中 N 为总分 子数。注意公式仅适用于平衡态，即温度 T 不变的状态。 5、气体分子的三种速率 （1）最可几速率 vp：与分布函数 f(v)的极大值相对应的速率，其大小为： v KT m RT p = = 2 2 （2）平均速率 v ：大量气体分子速率的算术平均值， v KT m RT = = 8 8 （3）方均根速率 v 2 ：大量气体分子速率平方的平均值，其大小为： v KT m 2 3 3RT = = （4）应用：在讨论速率分布时，需用到最可几速率；在计算分子的平均平动能时，要 用到方均根速率；在讨论分子的碰撞时，要用到算术平均速率。 6、平均自由程 与平均碰撞次数 Z （1）平均自由程：大量自由程之平均值。其公式为 = 1 2 2 d n （2）平均碰撞次数：单位时间内一个分子和其他分子相碰撞的平均次数。其公式为 Z = 2 d vn 2 7、范德瓦耳斯方程 （1）对理想气体状态方程的两个修正：①分子本身体积的修正；②分子力修正：增加 了气体的内压力作用。 四、解题步骤 本章的解题重点在于应用理想气体状态方程。故解题步骤为： 1、确定研究对象：往往是一段被封闭的气体柱； 2、明确研究对象的初始状态与终了状态如何，找出已知量与未知量；
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 3、列出理想气体状态方程，注意单位要统 必要时也应进行讨论 五、典型例题 例1、一氧气瓶的容积是32升，其中氧气的压强是130大气压。规定瓶内氧气压强降到10 大气压时就得充气，以免混入其他气体而需要洗瓶。今有一玻璃室，每天需用1.0大气压的 氧气400升，问一瓶氧气能用几天？ 法一：设未使用前和需要充气时瓶内氧气的质量分别是M,和M。根据理想气体状态方 程 PV-MRT 可得：从=u ，= RT 式中P1,V1是未使用前氧气的压强和体积，P2,V2是使用到需要充气时氧气的压强和体积， 右 V1=V 若设M为每天用掉的质量则：M,=当 ,式中P,V3是每天用掉的氧气的压强和体 R 积。因此，一瓶氧气的使用天数n为n= M-M=P4-4=9.6天 M 解法二：设想将瓶内氧气的初态(P=130大气压，V1=32升)等温膨胀到终态(P2=10大气 压，V2待求)，同样，将使用的氧气由初态(P=10大气压，V=40升)等温压缩到终态 (P2=10大气压，V2待求)，然后通过比较体积即可求出使用天数。 根据孩-马定律V=C(常数)，待求的和分别为5=P ,g=，可 P 供使用的氧气的体积为V2-V1,因此，使用天 数n为n=---5=96天. P 768mmHg时，它的读数只有748mmHg,此时 管中水银面到管顶的距离为80mm。试问此气 压计读数为734mmHg时，实际气压是多少（保 持温府不弯)？ 解：取被封闭的气泡为研究对象，它的初态严 强P1=768-74S-20 nmHg其体积V1=80Smm 图7-.1 S为管的截面积，如图7-1所示它的末态压强 是未知量，设为P2,欧态体积V2=80+(748-734)]S=94Smm3,由于是等温过程，所以有： P.V=PV> 34
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 ～34～ 3、列出理想气体状态方程，注意单位要统一； 4、求解，必要时也应进行讨论。 五、典型例题 例 1、一氧气瓶的容积是 32 升，其中氧气的压强是 130 大气压。规定瓶内氧气压强降到 10 大气压时就得充气，以免混入其他气体而需要洗瓶。今有一玻璃室，每天需用 1.0 大气压的 氧气 400 升，问一瓶氧气能用几天？ 解法一：设未使用前和需要充气时瓶内氧气的质量分别是 M1 和 M2。根据理想气体状态方 程 PV M = RT 可得： M PV RT M P V RT 1 1 1 2 2 2 = ， = 式中 P1，V1 是未使用前氧气的压强和体积，P2，V2 是使用到需要充气时氧气的压强和体积， 有 V1=V2 若设 M3 为每天用掉的质量则： M PV RT 3 3 3 = ，式中 P3，V3 是每天用掉的氧气的压强和体 积。因此，一瓶氧气的使用天数 n 为 n M M M PV P V PV = − = − = 1 2 3 1 1 2 2 3 3 9.6 天。 解法二：设想将瓶内氧气的初态（P1=130 大气压，V1=32 升）等温膨胀到终态（P2=10 大气 压，V2 待求），同样，将使用的氧气由初态（P3=1.0 大气压，V3=400 升）等温压缩到终态 （P2=10 大气压，V2 待求），然后通过比较体积即可求出使用天数。 根据玻—马定律 PV=C（常数），待求的 V2 和 V 2 分别为 V PV P V PV P 2 1 1 2 2 3 3 2 = ， = ，可 供使用的氧气的体积为 V2-V1，因此，使用天 数 n 为 n V V V PV P V PV = − = − = 2 1 2 1 1 2 2 3 3 9.6 天。 例 2、水银气压计混进了一个空气泡，因此它 的读数比实际的气压小些。当实际气压为 768mmHg 时，它的读数只有 748mmHg，此时 管中水银面到管顶的距离为 80mm。试问此气 压计读数为 734mmHg 时，实际气压是多少（保 持温度不变）？ 解：取被封闭的气泡为研究对象，它的初态压 强 P1=768-748=20mmHg 其体积 V1=80Smm3， S 为管的截面积，如图 7-1 所示它的末态压强 是未知量，设为 P2，欧态体积 V2=[80+（748-734）]S=94Smm3，由于是等温过程，所以有： P1V1=P2V2 80mm 94mm 748mm P01 734mm P02 图 7-1
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 故B=P20x80S-17mmg 94S 则此时大气压强Po2=P+734-751mmHg 例3、 容器内储有氧气，其压强P 1.0am,温度t27℃，求(1)单位体积内的分子数 (2)氧气的质量密度：(3)氧分子的质量：(4)分子间的平均距离：(5)分子的平均 平动能 解：(I)根据压强公式P=KT 得到单位体积内的分子数n为 1.013×10 n=K738x108×(273+2 =2.44×1025() 8.31×(273+27) G》案公子的质品。为 m=602x10s=5314×10克 (4)设分子间的平均距离为d,将分子看成是半径为d2的球，则每个分子的体积为0 因此有：nvol, - 6 因此有：an=元x244x10三4.28×107厘米=428埃 (5)分子的平均平动能而为 =号K7=x138x10-5×(273+27)=621×102J 例4、计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径d上3.5×10 米，已知空气的平均分子量为29 解：已知T=273开，P=1.0大气压=1.01×10牛顿/米。d-3.5×1010米，K=1.38×1023焦耳/ 开。代入万的公式即得 T 1.38×10-23×273 月=2p1×34x5x10号01x1=69x10米 已知空气的平约李尔质量为9X10千克摩尔，代入=西- m x ,可求出空气在 35
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 ～35～ 故 P PV V S S 2 1 1 2 20 80 94 = = 17 = mmHg 则此时大气压强 P02=P2+734=751mmHg 例 3、一容器内储有氧气，其压强 P=1.0atm，温度 t=27℃，求（1）单位体积内的分子数； （2）氧气的质量密度；（3）氧分子的质量；（4）分子间的平均距离；（5）分子的平均 平动能 解：（1）根据压强公式 P=nKT 得到单位体积内的分子数 n 为 n P KT m = = + = − 1 013 10 1 38 10 273 27 2 44 10 1 5 23 25 3 . . ( ) . ( ) （2）根据质量密度定义 = M V 和理想气体状态方程 PV M = RT 得到氧气密度 氧 = = + = = − P − RT kg m 32 10 1 013 10 8 31 273 27 1 30 1 30 10 3 5 3 3 . . ( ) . / . 克/厘米 3 （3）氧分子的质量 m 氧为 m N 氧 = = = − 0 23 32 00 23 6 022 10 5 314 10 . . . 克 （4）设分子间的平均距离为 d ，将分子看成是半径为 d /2 的球，则每个分子的体积为 v0 v d 0 d 3 4 3 3 2 6 = = 因此有：nv0=1, n d 6 1 3 = 因此有： d n = = = 6 6 − 2 44 10 3 4 28 10 19 3 7 . . 厘米=42.8 埃 （5）分子的平均平动能 为 = = + = 3 − − 2 3 2 1 38 10 273 27 6 21 10 23 21 KT . ( ) . J 例 4、计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径 d=3.5×10-10 米，已知空气的平均分子量为 29 解：已知 T=273 开，P=1.0 大气压=1.01×105 牛顿/米。d=3.5×10-10 米，K=1.38×10-23 焦耳/ 开。代入 的公式即得 = = = − − KT − 2 d P 1 38 10 273 1 41 314 3 5 10 1 01 10 6 9 10 2 23 10 2 5 8 . . . ( . ) . . 米 已知空气的平均摩尔质量为 29×10-3 千克/摩尔，代入 v KT m RT = = 8 8 ，可求出空气在
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 标准状态下的平均速率下=448米秒。将下和入代入Z的计算公式可求出分子的碰撞频率 6.9x10-8=65x10°/秒 448 六、课堂练习题 1、判断题 (1)在同温同压下，同样体积中含有的分子数是相同的，与气体的种类无关()。 (2)m克理想气体，只要摩尔数不等于1，则在标准状态下，它的体积不可能等于22.4 升。() (3)两种不同的理想气体，若它们分子的平均速率相等，则它们的方均根速率也一定 相等 (4)一定质量的气体，保持体积不变，当温度升高时，气体分子的平均自由程会减小 ()。 (5)两密闭容器分别储有氢气和氧气，如果压强、体积和温度都相同，则它们的分子 的速率分布也相同( 2、填空题 (1)两个相同的容器装着氢气，以一玻璃管相通。管中 一水银滴作为活塞，当左边容器的温度为0℃：而右边为20 ℃时，水银滴刚好在管的中央而保持平衡，如图7-2所示。当 左边容器温度由0℃升到10℃。而右边温度保持不变时，水银 H ★△由 向方向移动：当左边升温到10℃，而右边 升温到30℃时，水银滴由 方向移动。 图7-2 (2)把一长方形容器用一隔板分开为容积相等的两部分， 一边装C02,另一边装着出。两边气体的质量相等，温度相同，如图73所示。如果隔板 与器壁之间无摩擦，则隔板会向 方向移动。 (3)标准状态下二氧化碳的密度为 (4)温度为0℃时分子的平均平动能为 )在0℃时氧气的方均根速率为 (6) 个分子具有最可几速率的几率为 3、单重选择题 图7-3 (1)在理想气体状态方程PP= RT中，关于公式中各 量，下面哪种说法是正确的？ A、在标准情况下，气体的体积V一定等于22.4升： B、在标准情况下，P=1am,T=273K: C、在非标准情况下，体积V不可能等于22.4升： D、R是一个普适常数， 与单位选择无关 (2)一瓶氮气和一瓶氨气，它们的压强、温度相同，但体积不同，下面哪种陈述正确？ -36
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 ～36～ 标准状态下的平均速率 v = 448 米/秒。将 v 和 代入 Z 的计算公式可求出分子的碰撞频率 为 Z v = = = − 448 6 9 10 6 5 10 8 9 . . /秒 六、课堂练习题 1、判断题 （1）在同温同压下，同样体积中含有的分子数是相同的，与气体的种类无关（ ）。 （2）m 克理想气体，只要摩尔数不等于 1，则在标准状态下，它的体积不可能等于 22.4 升。（ ） （3）两种不同的理想气体，若它们分子的平均速率相等，则它们的方均根速率也一定 相等（ ）。 （4）一定质量的气体，保持体积不变，当温度升高时，气体分子的平均自由程会减小 （ ）。 （5）两密闭容器分别储有氢气和氧气，如果压强、体积和温度都相同，则它们的分子 的速率分布也相同（ ）。 2、填空题 （1）两个相同的容器装着氢气，以一玻璃管相通。管中 一水银滴作为活塞，当左边容器的温度为 0℃；而右边为 20 ℃时，水银滴刚好在管的中央而保持平衡，如图 7-2 所示。当 左边容器温度由 0℃升到 10℃。而右边温度保持不变时，水银 滴会由 向 方向移动；当左边升温到 10℃，而右边 升温到 30℃时，水银滴由 向 方向移动。 （2）把一长方形容器用一隔板分开为容积相等的两部分， 一边装 CO2，另一边装着 H2。两边气体的质量相等，温度相同，如图 7-3 所示。如果隔板 与器壁之间无摩擦，则隔板会向 方向移动。 （3）标准状态下二氧化碳的密度为 。 （4）温度为 0℃时分子的平均平动能为 。 （5）在 0℃时氧气的方均根速率为 。 （6）一个分子具有最可几速率的几率为 。 3、单重选择题 （1）在理想气体状态方程 PV M = RT 中，关于公式中各 量，下面哪种说法是正确的？ A、在标准情况下，气体的体积 V 一定等于 22.4 升； B、在标准情况下，P=1atm，T=273K； C、在非标准情况下，体积 V 不可能等于 22.4 升； D、R 是一个普适常数，与单位选择无关。 （2）一瓶氮气和一瓶氦气，它们的压强、温度相同，但体积不同，下面哪种陈述正确？ H2 H2 0 ℃ 20 ℃ Hg 图 7-2 T T CO2 CO2 图 7-3
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 单位体积内的原子数相同：B、单位体积内的气体质量相同， C、 单位体积内的分子数相同：D、单位体积内气体的内能相同 (3)如图7-4所示，两端封闭的玻璃管，中间用水银柱将其分成两部分， 上下体积相等，并分别充以氧气和氢气。当温度升高I0℃后。 A、水银柱下降：B、水银柱上升：C、水银柱不动：D、条件不足，无法 确定 图7-4 (4)如图75所示，为氢和氧在同一温度下的速率分 布曲线，则： A、I为氢分子的速率分布曲线：B、I为氧分子的速 率分布曲线： C、Ⅱ为氧分子的速率分布曲线：D、以上均不对。 (5)一定质量的气体，保持容积不变，当温度增加 时，分子的运动更加剧烈，分子的平均碰撞次数增加，因 而有： 图7-5 A、分子的平均自由程减小：B、分子的最可几速率 增加： C、分子的速率分布曲线不变：D、以上说法均不正确。 七、阅读范围与作业 、阅读范围 P202-740 2、作业P3427-2,7-3,7-5,7-10,7-11,7-13,7-14,7-16,7-17,7-18,7-20,7-21。 3、提示 7-14、见图7-6所示，(1)以管内气柱为研究对象，其体积 H V=(-h)S,V=(x)S,压强P=H+h,B=H-x。由于气柱变化为等 温过程，故有 (H+h)(I-h)S=(H-x)(I-x)S 化简后得：x2.145r+500-0,所以-3.53cm (2)由题意，当水银柱高0时，管内气柱体积为P=s,其 压强为P'=H,则由PH=HV'=P 可得管内水银完全倒出时的管外大气压为H”P ,代入有关 (a) (h) 量可得=67.9cmlg 图7-6 7-20、由平均自由程公式元= 万n及压强公式P=T餐 元.P=2d KT 依题意知T=1=T,则有元，P=元2乃所以乃= 2B=6x10'am 37
第七章 大学物理辅导 气体分子运动论 ～37～ A、单位体积内的原子数相同；B、单位体积内的气体质量相同； C、单位体积内的分子数相同；D、单位体积内气体的内能相同。 （3）如图 7-4 所示，两端封闭的玻璃管，中间用水银柱将其分成两部分， 上下体积相等，并分别充以氧气和氢气。当温度升高 10℃后。 A、水银柱下降；B、水银柱上升；C、水银柱不动；D、条件不足，无法 确定。 （4）如图 7-5 所示，为氢和氧在同一温度下的速率分 布曲线，则： A、I 为氢分子的速率分布曲线；B、I 为氧分子的速 率分布曲线； C、II 为氧分子的速率分布曲线；D、以上均不对。 （5）一定质量的气体，保持容积不变，当温度增加 时，分子的运动更加剧烈，分子的平均碰撞次数增加，因 而有： A、分子的平均自由程减小；B、分子的最可几速率 增加； C、分子的速率分布曲线不变；D、以上说法均不正确。 七、阅读范围与作业 1、阅读范围 P202—240 2、作业 P242 7-2，7-3，7-5，7-10，7-11，7-13，7-14，7-16，7-17，7-18，7-20，7-21。 3、提示 7-14、见图 7-6 所示，（1）以管内气柱为研究对象，其体积 V1=(l-h)S，V2=(l-x)S，压强 P1=H+h，P2=H-x。由于气柱变化为等 温过程，故有 (H+h)(l-h)S=(H-x)(l-x)S 化简后得：x 2 -145x+500=0,所以 x=3.53cm （2）由题意，当水银柱高 x=0 时，管内气柱体积为 V = ls ，其 压强为 P = H ，则由 PH = HV = P1V1 可得管内水银完全倒出时的管外大气压为 = H PV V 1 1 ，代入有关 量可得 H = 67.9cmHg 7-20、由平均自由程公式 = 1 2 2 d n 及压强公式 P = nKT 得 P = KT 2 d 2 依题意知 T1=T2=T，则有 1P1 = 2 P2 所以 P2 P atm 1 2 1 5 = = 6 10 − O2 H2 图 7-4 f(v) I II 0 v 图 7-5 H V2 P2 l P1 V1 x (a) (b) 图 7-6
