教案第七章气体动理论 第七章气体动理论Kinetics of Gas Molecules §1物质的微观模型统计规律性Statistical Regularity 分子运动论的基本概念与研究方法： 1.宏观物体是由大量分子或原子组成的，常温下的分子数密度量级为每立方厘米102个， 由于其线度在埃的量级，分子间的距离很大，一般为分子直径的10倍，故分子的大小可 略去不计，可以当作质点来处理。由于分子间的距离很大，故可以压缩，例如打气筒打 气，液体混合等。 2.分子在时刻不停地作无规则运动，但符合统计规律。 无规则运动间接验证为布朗运动一墨汁等颗粒在水中的无规则运动。 符合统计规律间接验证为加尔顿板。 3.分子间有相互作用力 分子间相互作用力的形式如左图，吸引例 ro-1A 子：光胶合。 光胶合：制造精密光学仪器时，把两个器件表 r-10A 面处理光滑、干净，加一定的压力即可能粘和 吸引力 在一起。 推斥力：固体和液体的难压缩性质，说明分子间存在 着一定的斥力。 粘合前 粘合后 115
教案 第七章 气体动理论 115 第七章 气体动理论 Kinetics of Gas Molecules §1 物质的微观模型 统计规律性 Statistical Regularity 分子运动论的基本概念与研究方法： 1. 宏观物体是由大量分子或原子组成的，常温下的分子数密度量级为每立方厘米 1020 个， 由于其线度在埃的量级，分子间的距离很大，一般为分子直径的 10 倍，故分子的大小可 略去不计，可以当作质点来处理。由于分子间的距离很大，故可以压缩，例如打气筒打 气,液体混合等。 2. 分子在时刻不停地作无规则运动，但符合统计规律。 无规则运动间接验证为布朗运动-----墨汁等颗粒在水中的无规则运动。 符合统计规律间接验证为加尔顿板。 3. 分子间有相互作用力 分子间相互作用力的形式如左图，吸引例 子：光胶合。 光胶合：制造精密光学仪器时，把两个器件表 面处理光滑、干净，加一定的压力即可能粘和 在一起。 推斥力:固体和液体的难压缩性质，说明分子间存在 着一定的斥力。 r f 斥 力 吸 引 力 o r0 r01Å r10Å 粘合前 粘合后
教案第七章气体动理论 s2理想气体的压力公式The pressure formula ofideal gas 1.理想气体模型 1)分子可看作质点。客体：分子本占的大小与分子间距离比较可忽略 2)分子间相互作用力可忽略不计。客体：分子间平均距离很大（标准状态下约为分子有 效直径的10倍，即10左右)，此时分子间作用力很小，只有碰撞时才有冲力作用。 根据理想气体模型，可有如下几条假设（推论也可）： (1)同类气体分子的质量相等与速率无关。 (2)碰撞为完全弹性碰撞。 (3)热平衡时，分子沿各个方向的运动几率相等。 (4)容器不是很大时，忽略重力的影响。 2.理想气体压力公式的推导 说明：本节是以压力公式的推导为例，探讨气体分子运动论的研究问题的方法。因此， 重点讲解其方法的运用。（提炼模型的素质，简化问题的素质）。 气体压力是由于分子与器壁碰撞而产生的冲力。以A面为例进行研究：建立如图所 示的坐标系，设容器中共有N个相同的气体分子。一个分子与器壁发生一次完全弹性碰 撞的动量改变为： mU.(mUa)=2mvn:(只考虑大小，没计方向) 在单位时间内，分子与器壁的碰撞次数为： 2x :2红是分子在A,与A,间运动所需时间，则单位 时间内，器壁受到的力为： 6
教案 第七章 气体动理论 116 §2 理想气体的压力公式 The pressure formula of ideal gas 1. 理想气体模型 1）分子可看作质点。客体：分子本占的大小与分子间距离比较可忽略。 2）分子间相互作用力可忽略不计。客体：分子间平均距离很大(标准状态下约为分子有 效直径的 10 倍,即 10 左右)，此时分子间作用力很小，只有碰撞时才有冲力作用。 根据理想气体模型,可有如下几条假设(推论也可)： （1）同类气体分子的质量相等与速率无关。 （2）碰撞为完全弹性碰撞。 （3）热平衡时，分子沿各个方向的运动几率相等。 （4）容器不是很大时，忽略重力的影响。 2. 理想气体压力公式的推导 说明：本节是以压力公式的推导为例，探讨气体分子运动论的研究问题的方法。因此， 重点讲解其方法的运用。(提炼模型的素质,简化问题的素质)。 气体压力是由于分子与器壁碰撞而产生的冲力。以 A 1 面为例进行研究：建立如图所 示的坐标系，设容器中共有 N 个相同的气体分子。一个分子与器壁发生一次完全弹性碰 撞的动量改变为： m ix -(-m ix )=2 m ix ；(只考虑大小,没计方向) 在单位时间内,分子与器壁的碰撞次数为： x x 2 ； x x 2 是分子在 A 1 与 A 2 间运动所需时间，则单位 时间内,器壁受到的力为： x y z z y A1 A2 o x -mvx mvx v
教案第七章气体动理论 2mu2m2+中2mue会 2x -u+u++ue p=E.m(w2+叶ua2++u =Nwu.2++2++ueW 2 =n'm.v2 0F=0+0+0☑ 而v2=v2=v2(几率相等) G=m0为分子的平均平动动能 3.压力公式的物理意义 1)P正比于n和.是一个统计量，只对大量气体分子适用 2)把宏观量和微观量联系在一起了。 说明：因为微观量不能测量，故不能直接用实验来检验其正确性，但从此公式出发，可 以满意的解释或论证已经过实验检验的气体诸定律。 例题1：球形器壁内压强公式的推导。 解：如图，设碰撞为完全弹性碰撞矮子每次碰撞中，分 子作用于器壁的法向冲量为：2mU,Cos0:单位时间内 2 U 的隧撞次数为：2心0：则每秒作用于器壁的冲量 N个分子 117
教案 第七章 气体动理论 117 F=2 m 1x x x 2 1 + • • •＋2 m ix x ix 2 + • • •＋2 m Nx x Nx 2 = x m ( 2 1x + • • •＋ 2 ix + • • •＋ 2 Nx ) P= yz F = xyz m ( 2 1x + • • •＋ 2 ix + • • •＋ 2 Nx ) = xyz N •M•( 2 1x + • • •＋ 2 ix + • • •＋ 2 Nx )/N =n •m • 2 x 2 = 2 x + 2 y + 2 z = 3 1 n m 2 而 2 x = 2 y = 2 z (几率相等) = 3 2 n ( 2 1 m 2 ) = 3 2 n = 2 1 m 2 :为分子的平均平动动能. 3. 压力公式的物理意义 1）P 正比于 n 和 .是一个统计量，只对大量气体分子适用。 2）把宏观量和微观量联系在一起了。 说明：因为微观量不能测量，故不能直接用实验来检验其正确性，但从此公式出发，可 以满意的解释或论证已经过实验检验的气体诸定律。 例题 1：球形器壁内压强公式的推导。 解：如图，设碰撞为完全弹性碰撞矮子每次碰撞中，分 子作用于器壁的法向冲量为：2m i Cos ；单位时间内 的碰撞次数为： RCos i 2 ；则每秒作用于器壁的冲量 vi vi R O 2Rcos N 个分子
教案第七章气体动理论 U,_m心 为（一个气体分子)：加u0s02RCg发：番壁每秒受到的总冲量为： 压强号贤4- R 34 m 即：球形器壁内压强公式与立方形的完全相同，对其他形状的器壁与完全是同样的结论， 因为此较复杂，这里就不一一证明了。 问：如是任意形状容器，从理论上讲怎样证明？（采用卡诺定理的证明方法，用无限多 个方形和球形容器代替。) §3气体分子的平均平动动能与温度的关系The temperature formula ofideal gas 在PV=MT中：设分子质量为，分子数为N,则有： N N。m 光是mT (1) 中为分子度：是180为尔发侧 常数：N为阿伏伽德罗常数(Avogadto)): 而 (2) 118
教案 第七章 气体动理论 118 为（一个气体分子）：2m i Cos RCos i 2 = R m i 2 ；器壁每秒受到的总冲量为 ： = N i 1 R m i 2 = R m = N i i 1 2 ； 压强 P= S F =( R m = N i i 1 2 )/4 2 R = 3 1 3 3 4 R N m N N i i =1 2 = 3 1 n m 2 即：球形器壁内压强公式与立方形的完全相同，对其他形状的器壁与完全是同样的结论， 因为比较复杂，这里就不一一证明了。 问：如是任意形状容器，从理论上讲怎样证明？（采用卡诺定理的证明方法，用无限多 个方形和球形容器代替。） §3 气体分子的平均平动动能与温度的关系 The temperature formula of ideal gas 在 PV= M RT 中：设分子质量为 m，分子数为 N，则有： PV= N m Nm 0 RT= N0 N RT P= N0 N V RT = V N N0 R T=n k T (1) 其中 n= V N 为分子数密度；k= N0 R = 23 6.02 10 8.31 =1.38 10 −23 J•k −1 为玻尔兹曼(Boltzmann) 常数；N0 为阿伏伽德罗常数(Avogadto)； 而 P= 3 2 n (2)
教案第七章气体动理论 由(1)，(2)得： 9 说明T=0是不可能的（量子理论观点既运动是绝对的）。 此处加入方均根速率：V厅：3产。，7 μVm (③)式说明：温度是表征大量气体分子热运动激烈程度的物理量，平均平动动能与温度成 正比。同压力一样，温度也是一个统计量。 量级的概念：当T=300k时，8=102'J相当之小。 §4能量均分定理.理想气体内能Equilibration Theorem of Energy,The internal energy ofideal gas 1.自由度 决定一物体的空间位置所需要的独立坐标数目。一个在空间自由运动的质点，自由 度为3.(xy,z,=3一个刚性双原子分子自由度为5(x,y,Z,a,0,=5:因为三个角度中 只有两个是独立的。 2.能量按自由度均分定理 单原子理想气体的平均平动动能为：石=k虹，单原子气体分子有三个自由度，而气 体分子在各个方向上的运动几率相等，故有： 21 即：在平衡状态时，理想气体分子的每个自由度都具有大小等于)kT的能量，这个定理 叫做能量按自由度均分定理。 119
教案 第七章 气体动理论 119 由(1),(2)得: = 2 3 kT (3) 说明 T=0 是不可能的(量子理论观点既运动是绝对的)。 此处加入方均根速率： 2 = 3RT = m 3kT (3)式说明：温度是表征大量气体分子热运动激烈程度的物理量，平均平动动能与温度成 正比。同压力一样，温度也是一个统计量。 量级的概念：当 T=300k 时, =10 −21 J 相当之小。 §4 能量均分定理.理想气体内能 Equilibration Theorem of Energy,The internal energy of ideal gas 1. 自由度 决定一物体的空间位置所需要的独立坐标数目。一个在空间自由运动的质点，自由 度为 3.(x,y,z)，i=3 一个刚性双原子分子自由度为 5(x，y，z，，)，i=5:因为三个角度中 只有两个是独立的。 2. 能量按自由度均分定理 单原子理想气体的平均平动动能为： = 2 3 kT，单原子气体分子有三个自由度，而气 体分子在各个方向上的运动几率相等，故有： 2 1 m 2 x = 2 1 m 2 y = 2 1 m 2 z = 2 1 k T 即：在平衡状态时,理想气体分子的每个自由度都具有大小等于 2 1 k T 的能量，这个定理 叫做能量按自由度均分定理
教案第七章气体动理论 对于双原子分子，自由度5，则，-k下k下平均平动动能(D+平均转动 动能(k)。多原子分子的自由度要复杂些，这里不进行讨论，一般6。 一个刚性双原子的动能可写为如下的形式： (1) 在温度为T的平衡状态下，气体分子按能量分布遵循玻而兹曼分布律：N。xa:a 为一与速度，角速度无关的常数，处在e附近dv,d心，dD,do,d@,范围内的分子数 为： dN,-e%dv,dv,dv,do,do, 显然： se dv,dv,dv,do,do,-N 现以10：为例，计算方向的平均转动动能： 5a-上es次u,u,dw.a,do, =上ae°a加上-上o:亩mndu,d,dw do, 利用分部积分司：上：高a,号益， 代入上式可得： kT 1 是o--上7 ,dv,,u.dado,-K灯 同理可证： 2mu2=1 u-mu--k灯 120
教案 第七章 气体动理论 120 对于双原子分子，自由度 i=5，则 a = 2 i k T= 2 5 k T=平均平动动能( 2 3 k T)+平均转动 动能( 2 2 k T)。多原子分子的自由度要复杂些，这里不进行讨论，一般 i=6。 一个刚性双原子的动能可写为如下的形式： = 2 1 m 2 x + 2 1 m 2 y + 2 1 m 2 z + 2 2 1 x I + 2 2 1 y I （1） 在温度为 T 的平衡状态下，气体分子按能量分布遵循玻而兹曼分布律：N ae KT − ；a 为一与速度,角速度无关的常数，处在 附近 d x d y d z d x d y 范围内的分子数 为： d N = ae KT − d x d y d z d x d y 显然： − − ae KT − d x d y d z d x d y =N 现以 2 2 1 x I 为例，计算方向的平均转动动能： 2 2 1 x I = N 1 − − 2 2 1 x I ae KT − d x d y d z d x d y = N 1 − − x KT I I x e d x 2 2 2 2 1 − − 2 2 1 x I ae ( ) 2 1 2 2 2 2 x y z y m m m I kT − + + + d x d y d z d y 利用分部积分可得： − − x KT I I x e d x 2 2 2 2 1 = 2 kT − x KT I e d x 2 2 代入上式可得： 2 2 1 x I = − − 2 kT N 1 ae KT − d x d y d z d x d y = 2 1 KT 同理可证： 2 2 1 m x = 2 2 1 m y = 2 2 1 m z = 2 2 1 y I = 2 1 KT
教案第七章气体动理论】 这说明：大量气体分子处在平衡状态下，在各个自由度上占有相同的平均能量。 kro,k器0 Kdo, 3.理想气体的内能 理想气体分子之间无相互作用势，因此，一摩尔理想气体的内能为E=。6。= 义灯红对报为的气体关为为E业名c,工关种c一 称为理想气体的等容摩尔热容。上式说明：对一定质量的理想气体，其内能反由自由度 和温度来决定，既理想气体的内能只是温度的单值函数。 4.固体热容 圆休热容定义为：C=号 当温度发生变化时，对固体而言，压强、体积变化非常小，故不区别定体热从和定压热 容。 下面分析固体的摩尔热容，组成固体的N个原子在固体中的运动为在晶格附近的热振动， 这个振动是三维的，我们把每个原子的三维振动看作是一个维振了，对每个原子的一维 121
教案 第七章 气体动理论 121 这说明：大量气体分子处在平衡状态下，在各个自由度上占有相同的平均能量。 注： − − x KT I I x e d x 2 2 2 2 1 = − − KT I x x I de 2 2 2 2 1 (- I 2KT ) x 2 1 = − 2 1 KT − KT I x x de 2 2 () = − 2 1 KT( − − KT I x x e 2 2 − − − x KT I e d x 2 2 ) = 2 1 KT − − x KT I e d x 2 2 − − KT I x x e 2 2 =2 KT I e 2 2 − =0 3. 理想气体的内能 理想气体分子之间无相互作用势，因此，一摩尔理想气体的内能为 E=N 0 a = N 0 2 i KT= 2 i RT 对质量为 m 的理想气体，其内能为：E= M 2 i RT= M C v T；其中 C v = 2 i R 称为理想气体的等容摩尔热容。上式说明：对一定质量的理想气体，其内能反由自由度 和温度来决定，既理想气体的内能只是温度的单值函数。 4. 固体热容 固体热容定义为： dT dQ C = 当温度发生变化时，对固体而言，压强、体积变化非常小，故不区别定体热从和定压热 容。 下面分析固体的摩尔热容，组成固体的 N 个原子在固体中的运动为在晶格附近的热振动， 这个振动是三维的，我们把每个原子的三维振动看作是一个维振了，对每个原子的一维
教案第七章气体动理论 振动，有质心坐标和相对质心的质点坐标两个自由度，即1，则每个原子的振动能量为： E=3x2x-KT=3KT 1mol品体的振动能量为： E=N &=3N kT=3RT 其摩尔热容为：C-号=票=识25nar 即理想晶体的摩尔热容是不依赖于温度的常量，上式称为杜隆珀蒂定律，是他们于1819 年在实验中发现的此规律，下面给出几种固体的摩尔热容值。 铝铜镉金铂银锡 (20℃) 25.724.725.626.626.325.727.8Cm(Jmo1.kl) 当温度不太低时，杜隆珀蒂定律与实验值符合的很好，当温度很低时，固体的摩尔热容 明显地依赖于温度，此时，能量均分定理则解释不了，而需要用量子理论来解决。下图 为银的摩尔热容与温度曲线。 s5麦克斯韦分子速率分布律Max well Velocity Distribution 处于平衡态的气体分子，以不同的速率沿着各个方向运动着，有的分子速率较大，有 的较小由于相互碰撞，每个分子的速率都在不断的改变因此，个别分子的运动完全是偶 然的。然而从大量分子整体来看，在一定条件下，分子的速率分布遵从着一定的统计规 律。1895年，英国物理学家从理论上得到了这一规律。 注：麦克斯韦（英国）与1859年导出分布律，由0.Stern于1920年用实验证实其正确 性。麦克斯韦还建立了经典电磁理论，并预言电磁波的存在，后由赫兹由实验验证。 具体实验是如下进行的(O.Stern1888-1969): 1.测定气体分子速率的实验 122
教案 第七章 气体动理论 122 振动，有质心坐标和相对质心的质点坐标两个自由度，即 i=1，则每个原子的振动能量为： KT 3KT 2 1 = 3 2 = 1mol 晶体的振动能量为： E = NA = 3NA kT = 3RT 其摩尔热容为： 1 1 3 25 − − = = = R = J mol l dT dE dT dQ Cm 即理想晶体的摩尔热容是不依赖于温度的常量，上式称为杜隆-珀蒂定律，是他们于 1819 年在实验中发现的此规律，下面给出几种固体的摩尔热容值。 铝 铜 镉 金 铂 银 锡 （20℃） 25.7 24.7 25.6 26.6 26.3 25.7 27.8 Cm(Jmol-1 k -1 ) 当温度不太低时，杜隆-珀蒂定律与实验值符合的很好，当温度很低时，固体的摩尔热容 明显地依赖于温度，此时，能量均分定理则解释不了，而需要用量子理论来解决。下图 为银的摩尔热容与温度曲线。 §5 麦克斯韦分子速率分布律 Maxwell Velocity Distribution 处于平衡态的气体分子,以不同的速率沿着各个方向运动着，有的分子速率较大，有 的较小.由于相互碰撞，每个分子的速率都在不断的改变.因此，个别分子的运动完全是偶 然的。然而从大量分子整体来看，在一定条件下，分子的速率分布遵从着一定的统计规 律。1895 年，英国物理学家从理论上得到了这一规律。 注： 麦克斯韦（英国）与 1859 年导出分布律，由 O.Stern 于 1920 年用实验证实其正确 性。 麦克斯韦还建立了经典电磁理论，并预言电磁波的存在，后由赫兹由实验验证。 具体实验是如下进行的(O.Stern 1888-1969)： 1. 测定气体分子速率的实验
教案第七章气体动理论 莽汽 测定气体分子速率的实验装置 (斯特思0.Stern,1920年)： 图中A是产生金属蒸汽分子的汞气源汞气由电炉加热汞而获得。汞汽分子通过狭缝 S后，形成一条很窄的分子射线B和C是相距为的两个共轴圆盘，两狭缝的夹角日约为 2°左右。D是接受汞气分子的显示屏。(1921年，0.Siem和W.Gerlsch又做了解均匀磁 场中S态原子射线来分裂的实验，导致了1925年G.E.Uhlenbeck和S.A.Goudsmit提出电 子自旋的概念)当B、C以转动时，并设通过的B分子全能通过C只有满足下列关系 的分子才能通过C即： 或： v o =21 (1) 考虑到狭缝有一定的宽度，实际上当0一定时，解得到D上的分子是速率在v~v+ △v之间的分子。 当0不同时，可测得D上沉积的金属层的厚度对应着不同速率间内的分子数。比较 这些厚度，即可知道在y~y+△ N△Y v,2~2+△v之间的相对分子数。 左图是在100C时，汞分子的速率分布 123 求分子速率分布情况
教案 第七章 气体动理论 123 (斯特恩 O.Stern,1920 年)： 图中 A 是产生金属蒸汽分子的汞气源.汞气由电炉加热汞而获得。汞汽分子通过狭缝 S 后，形成一条很窄的分子射线.B 和 C 是相距为的两个共轴圆盘，两狭缝的夹角 约为 2 0 左右。D 是接受汞气分子的显示屏。（1921 年，O.Stern 和 W.Gerlsch 又做了解均匀磁 场中 S 态原子射线来分裂的实验，导致了 1925 年 G.E.Uhlenbeck 和 S.A.Goudsmit 提出电 子自旋的概念）当 B、C 以转动时，并设通过的 B 分子全能通过 C 只有满足下列关系 的分子才能通过 C.即： = v l ； 或： v = l （1） 考虑到狭缝有一定的宽度，实际上当 一定时，解得到 D 上的分子是速率在 v v + Δ v 之间的分子。 当 不同时，可测得 D 上沉积的金属层的厚度.对应着不同速率间内的分子数。比较 这些厚度，即可知道在 1 v 1 v + Δ v , 2 v 2 v +Δ v 之间的相对分子数。 左图是在 100℃时,汞分子的速率分布 Hg l A B C S D 蒸汽 测定气体分子速率的实验装置 v N v N 求分子速率分布情况
教案第七章气体动理论 曲线。 说明：1930-1934年蔡特曼(zartman)与我国物理学家葛正权对stern实验进行了改进， (见教材P260)。实验结果很好，改进的装置无须调即可得到不同的v。 2.麦克斯韦气体分子速率分布定律： 定义速率分布函数： m=典然典-员器 、△N_1dW 或 N=f(v)dv dN (1) )物理意义：气体分子在速率附近处于单位速率间隔的几率，也叫几奉密度。 理论上给出)的形式为：若在直角坐标系中，则为： -(0答 e (2) 自化条作为【0h=1口即 =1(玻耳兹曼分布律中要用到) (1)可写为： 0rh (3) (3)式给出理想气体处于平衡态时，分布在一+v的相对分子数，这个分布规律叫 marwell速率分布律。 这个规律与实验符合的很好，是 分子运动论的基本规律之一。图中的 矩形面积表示在速率区间→叶d的 相对分子数，如果速率区间取得越小， 124 )与v的关系曲线
教案 第七章 气体动理论 124 曲线。 说明：1930-1934 年蔡特曼（zartman）与我国物理学家葛正权对 stern 实验进行了改进， （见教材 P260）。实验结果很好，改进的装置无须调即可得到不同的 v。 2. 麦克斯韦气体分子速率分布定律: 定义速率分布函数： dv dN v N N N v N N f v v v 1 lim 1 ( ) lim 0 0 = = = → → 或 f v dv N dN = ( ) （1） f(v)物理意义：气体分子在速率附近处于单位速率间隔的几率，也叫几率密度。 理论上给出 f(v)的形式为:若在直角坐标系中，则为： ( ) KT m v v v x y z x y z e KT m f v v v 2 3 2 2 2 2 2 ( ) + + − = 、 、 2 2 3 2 2 2 ( ) 4 e v KT m f v KT mv = − （2） 归一化条件为： = ( ) 1 0 f v dv 即 1 0 = N dN （玻耳兹曼分布律中要用到） （1）可写为： e v dv KT m N dN KT mv 2 2 3 2 2 2 4 − = （3） （3）式给出理想气体处于平衡态时，分布在 v—v+dv 的相对分子数，这个分布规律叫 marwell 速率分布律。 这个规律与实验符合的很好，是 分子运动论的基本规律之一。图中的 矩形面积表示在速率区间 v→v+dv 的 相对分子数，如果速率区间取得越小， f(v) v v o vp f(v)与 v 的关系曲线