广东海洋大学：《大学物理》课程教学资源（教案讲义）第十四章 机械振动 Vibration

教案第十四章机械振动 第十四章机械振动Vibration S1简谐振动Simple Harmonic Vibration 振动是自然界和工程技术领域常见地一种运动，广义地说，任何一个物理量在某 数值附近作周期性变化都称为振动，变化地物理量称为振动量。简谐振动是最基本的运 动，任何复杂的运动都可以看成是若干简谐振动的合成。因此，简谐振动是我们研究的 重点。 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形 为例，则有： F=- 根据牛顿第二定律有： 其中：-合 或者说：加速度a与位移的大小x成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运 动叫简谐振动。 由a= 一办=0x积分可得简谐运动的运动方程为： x=Acos(x+) 上式中积分常量A和φ分别为振幅和初相位 振动的速度和加速度分别为： 会-de+pl:a=答=wcm6+o） 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形为例， 则有： F=-kx 根据牛顿第二定律有： 其中：。点 或者说：加速度a与位移的大小x成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运动叫 222

教案 第十四章 机械振动 222 第十四章 机械振动 Vibration §1 简谐振动 Simple Harmonic Vibration 振动是自然界和工程技术领域常见地一种运动，广义地说，任何一个物理量在某一 数值附近作周期性变化都称为振动，变化地物理量称为振动量。简谐振动是最基本的运 动，任何复杂的运动都可以看成是若干简谐振动的合成。因此，简谐振动是我们研究的 重点。 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形 为例，则有： F = −kx 根据牛顿第二定律有： x x m k m F a 2 = = − = − 其中： m k = 2  ； 或者说：加速度 a 与位移的大小 x 成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运 动叫简谐振动。 由 x dt dx a 2 2 2 = = − 积分可得简谐运动的运动方程为： x = Acos(t +) 上式中积分常量 A 和分别为振幅和初相位。 振动的速度和加速度分别为： = = −Asin(t +) dt dx v ； cos( ) 2 2 2 = = − A t + dt dx a 简谐振动特征：所受作用力与位移成正比，力的方向与位移方向相反，以一维情形为例， 则有： F = −kx 根据牛顿第二定律有： x x m k m F a 2 = = − = − 其中： m k = 2  ； 或者说：加速度 a 与位移的大小 x 成正比，而方向相反，人们把具有这种特征的运动叫

教案第十四章机械振动 简谐振动。 由一奔=心积分可得简蒂运动的运动方程为： x=Acos(or+p) 上式中积分常量A和0分别为振幅和初相位。 振动的速度和加速度分别为： v会=d+pj:a=答=-wcs+pj 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 S2简谐振动的振幅、周期、频率和相位Amplitude,Period and Frequency,Phase of Simple harmonic Vibration 1.简谐振动的解析表达式及其物理量 以下面的弹簧振子为例来说明： 6777寸 根据牛顿定律得：∫=-x=m成 +点x=0,记心-合则有： +02x=0 (1) 一般把具有(1)式形式的运动叫简谐振动，其解为： x=Acos(ot+p) (2) 由(2)式可求得振动质点的速度为： v==-Aosin(ot+o) (3) a==-Ao2cos(ot+o) (4) 由(3)入、(4)式知。当质点作简谐振动时，其速度和加速度都是周期性变化的。 (2)式中A是简谐振动的振幅，是简谐振动物体离开平衡位置的最大距离。 周期：物体完成一次简谐振动所经历的时间，用T来表示： 223

教案 第十四章 机械振动 223 简谐振动。 由 x dt dx a 2 2 2 = = − 积分可得简谐运动的运动方程为： x = Acos(t +) 上式中积分常量 A 和分别为振幅和初相位。 振动的速度和加速度分别为： = = −Asin(t +) dt dx v ； cos( ) 2 2 2 = = − A t + dt dx a 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 由上式可知，物体作简谐振动时，它的位移，速度和加速度都是在作用期性变化的。 §2 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 Amplitude , Period and Frequency，Phase of Simple harmonic Vibration 1. 简谐振动的解析表达式及其物理量 以下面的弹簧振子为例来说明： 根据牛顿定律得： f = −kx = m  x  + x = 0 m k x ，记 m k = 2  ，则有： 0 2  x  + x = （1） 一般把具有(1)式形式的运动叫简谐振动，其解为： x = Acos(t +) （2） 由（2）式可求得振动质点的速度为： v = x  = −Asin(t +) （3） a = x = −A cos(t +) 2  （4） 由（3）、（4）式知。当质点作简谐振动时，其速度和加速度都是周期性变化的。 （2）式中 A 是简谐振动的振幅，是简谐振动物体离开平衡位置的最大距离。 周期：物体完成一次简谐振动所经历的时间，用 T 来表示： m k O x

教案第十四章机械振动 .x=Acos(or+)=Acoso(t+T)+ 0 频率：单位时间内物体作的完全简谐振动的次数，用表示： :单位为Hz。 周期和频率只与振动系统本身的性质有关，一般称为固有周期和固有频率。 在x=Acos(ar+p)中，当A和o确定之后，物体的运动状态由(o+p)来决定位 移、速度、加速度，(+p)称为振动的相位，是决定物体运动状态的物理量。9是10 时的相位，称为初相位。相位是很重要的物理量，它不仅在描述简谐振动状态时充分反 映了振动的周期性特征，而且通过对两个频率的简谐运动的相位关系的分析，可方便地 比较它们的步调。 当初始条件给定后，A和便可确定了。例如：当1=0时，x=x0,v=%(初始 条件) 则有 xo =Acosp,vo =-Aosin p 解得： :=arcig-v 2.简谐振动的解析表达式及其物理量 例题1：如图，把物体从平衡位置向右拉长0.10m释放，求：(1)谐振动方程：(2)若在 0.10m处给物体一向右的初速V。=0.20m/s,求其 振动方程。己知：m=0.40kg,k=1.60N/m, 7777777.7 1.60 解：(1) k 0=Vm0.40 =2.0s A=+ 号=0.10m(v为0) 01 224

教案 第十四章 机械振动 224 x = Acos(t +) = Acos(t +T)+ k m T T      2 2  = 2  = = 频率：单位时间内物体作的完全简谐振动的次数，用表示： m k T     2 1 2 1 = = = ；单位为 Hz。 周期和频率只与振动系统本身的性质有关，一般称为固有周期和固有频率。 在 x = Acos(t +) 中，当 A 和确定之后，物体的运动状态由 (t +) 来决定位 移、速度、加速度， (t +) 称为振动的相位，是决定物体运动状态的物理量。是 t=0 时的相位，称为初相位。相位是很重要的物理量，它不仅在描述简谐振动状态时充分反 映了振动的周期性特征，而且通过对两个频率的简谐运动的相位关系的分析，可方便地 比较它们的步调。 当初始条件给定后，A 和便可确定了。例如：当 t = 0 时， 0 x = x ， 0 v = v （初始 条件） 则有： x0 = Acos ，v0 = −Asin  解得： 2 2 2 0 0  v A = x + ； 0 0 x v arctg   − = 2. 简谐振动的解析表达式及其物理量 例题 1：如图，把物体从平衡位置向右拉长 0.10m 释放，求：（1）谐振动方程；（2）若在 0.10m 处给物体一向右的初速 v 0.20m/s 0 = ，求其 振动方程。已知： m = 0.40kg， k =1.60N /m， 解：（1） 1 2.0 0.40 1.60 − = = = s m k  m v A x 0.10 2 2 2 0 = 0 + =  （v 为 0） o x 0.01m

教案第十四章机械振动 eorct ..x=Acos(@t+)=0.10cos2.0t m: a4+语-0oeg -=0.14m -0.20 o=arcig-vo=arcts 20x010=arctg(-1)=-4 x=4co(ou+pl小-014emr-哥)n 例2：一质量为0.01g的物质作谐振动，振幅为0.24m,周期为4s,1=0时，x0=0.12m, 且向x负向运动，试求：(1)1一1.0s时，物体所处的位置和所受的力：(2)由起始位置运 动到x=-0.12m处所需要的最短时间。 解：(1)x=Acos(or+p) T-g0=经-：402m 0240.1200.120.24￥ 1=0时，x=012m:即：012=024cos:c0sp=号 v=-Aosn(+p):t=0时，v为负，故simp>0 取0-子：气=024e径+写}-0208m:负号说明此时物体在累点左方，此时所 受的力为： f=-kx=-mo2x=-0.01× π】 ×(-0.208)=5.13×10-3N 力的方向x轴正方。 (2) -0.12=0.24cos 侣+到 225

教案 第十四章 机械振动 225 0 0 0 = − = x v arctg   x = Acos(t +) = 0.10cos2.0t m； （2） m v A x 0.14 2.0 0.20 0.10 2 2 2 2 2 2 0 = 0 + = + =   4 ( 1) 2.0 0.10 0.20 0 0    = − = −  − = − = arctg arctg x v arctg ( )        = + = − 4 cos 0.14cos 2.0  x A t  t m 例 2：一质量为 0.01kg 的物质作谐振动，振幅为 0.24m，周期为 4s，t=0 时，x0=0.12m， 且向 x 负向运动，试求：（1）t=1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；（2）由起始位置运 动到 x = −0.12m 处所需要的最短时间。 解：（1） x = Acos(t +)      2 1 4 2 2 T = → = = ； A = 0.24m t = 0 时， x = 0.12m ；即： 0.12 = 0.24cos ； 2 1 cos = v = −Asin(t +) ； t = 0 时，v 为负，故 sin   0 取 3   = ； x 0.208m 2 3 0.24cos 1  = −      = +   ；负号说明此时物体在原点左方，此时所 受的力为： f k x m x ( ) N 3 2 2 0.208 5.13 10 2 0.01 −   − =       = − = − = −    力的方向 x 轴正方。 （2）       − = + 2 3 0.12 0.24cos   t -0.24 -0.12 0 0.12 0.24 x t=0

教案第十四章机械振动 -012=024cm号+ -引}引-引--oo 例3：如图，已知k=1.60N·m1，m=0.40kg,x。=020m,若物体拉长到x处释 放，试求1)谐振动方程：(2)物体从初始位置运动到第一次经过处时的速度。 解：(1)由运动方程知：x=Acos(ot+p),由题意知： A=x0=0.20m,1=0时x=A,即： 贝1 。7 A=Acos(o0+p):取p=0,则其振动方程 为： =020omeo-悟-0需-20， 2)含=4case0:cos20-分第-象，限取snol-=号 x=-A@sin(o+p)=-0.40sn(2.01）=-0.34ms 负号表示速度沿x轴方向。 S3旋转矢量Rotary Vector 矢量A的模等于谐振动的振幅A,则A以o沿逆时针作 圆周运动，其端点在x轴上的投影P点的运动，可以表示物 体在x轴上的谐振动。 旋转矢量示意图 226

教案 第十四章 机械振动 226       − = + 2 3 0.12 0.24cos   t s 0.667s 3 2 3 3 2 2 2 3 1 arccos 2 = =       = −        −      = −      例 3：如图，已知 1 1.60 − k = N  m ， m = 0.40kg ， x0 = 0.20m ，若物体拉长到 0 x 处释 放，试求(1)谐振动方程；（2）物体从初始位置运动到第一次经过 2 A 处时的速度。 解：（1）由运动方程知： x = Acos(t +) ，由题意知： A = x0 = 0.20m ， t = 0 时 x = A ，即： A = Acos( 0 +) ；取  = 0 ，则其振动方程 为： x = 0.20cos(2.0t) m，（ 2.0 0.40 1.6 = = = m k  ） （2） A ( t) A cos 2.0 2 = ； ( ) 2 1 cos 2.0t = ；第一象限，取 ( ) 2 3 sin 2.0t = ( ) ( ) 1 sin 0.40sin 2.0 0.34 − x  = −A t + = − t = − ms 负号表示速度沿 x 轴方向。 §3 旋转矢量 Rotary Vector 矢量 A  的模等于谐振动的振幅 A，则 A  以  沿逆时针作 圆周运动，其端点在 x 轴上的投影 P 点的运动，可以表示物 体在 x 轴上的谐振动。 o x x0 m k x P  t t+ A M M0 x 旋转矢量示意图

教案第十四章机械振动 =0 (b) 上图中：p。=0,p6=π：△0=p。-p。=元，通常说(b)的位相比(a)的位 相超前π，可以写为y4=Acos(o+p),yg=Acos(o+p6+π)，即超前用“+” 号，落后用“一”号（此处以后写波动方程时要用），位相差为π的谐振动，称为反相位， 若△0-0，称为同相位。 例：如图。两质点作同方向、同频率的洁振动，其振幅相等，当质点1在x=号处向左 运动时，另一质点2在x=一处向右运动，试用旋转矢量法和解析法求两质点的位相 2 差。 解：：解析法 设：x1=Acos(at+g)(1)∴.x1=-A@sin(t+g)(3)x2=Acos(ot+p2) (2)∴.x2=-A@sin(at+p2）(4) -A 1时刻：=2= 42 A a+a)-6a+p)-音号 33 227

教案 第十四章 机械振动 227 上图中：  a = 0，b =  ；  = b − a =  ，通常说（b）的位相比（a）的位 相超前  ，可以写为 ( ) A a y = Acos t + ， = ( + + ) B b y Acos t ，即超前用“＋” 号，落后用“－”号（此处以后写波动方程时要用），位相差为  的谐振动，称为反相位， 若  = 0 ，称为同相位。 例：如图。两质点作同方向、同频率的谐振动，其振幅相等，当质点 1 在 2 A x = 处向左 运动时，另一质点 2 在 2 A x = − 处向右运动，试用旋转矢量法和解析法求两质点的位相 差。 解：I：解析法 设： ( ) 1 1 x = Acos t + （1） ( ) 1 1 x  = −Asin t + （3） ( ) 2 2 x = Acos t + （2） ( ) 2 2 x  = −Asin t + （4） t 时刻： 2 1 A x = ， 2 2 A x − = ( ) ( ) 3 5 2 3 1 cos 1 1    t + =  t + = 或 -A -A/2 v2 v1 A A/2 o M3 M0(t=0) x M4(t=T) A  = M1 M2 O P3 T t P4 P2 P1 P0 x A (a) M1 M2 x A  M3 M0(t=0) O P3 T t P4 P2 P1 P0 x   = o (b)

教案第十四章机械振动 coo+)-a+)晋或智 y为负，由g)知：sma+9>0,故取ou+a)-背 :为正，由知snl似+)k0,故取似+e)号 则有△p=(m+p2)-(at+g)=p2-p1=π Ⅱ：矢量法 由题意作右图，由图形知： p2-91=π 解析法附加例题（可选讲）： S4单摆和复摆Simple Pendulum and Compound Pendulum 1.单摆 单摆：如图，摆球所受的力矩为M=-mnglsin0,转动惯 量为mP,根据转动定律得： -mglsin 0=ml6 (1) mg 在小角度(0<5°)摆动时有sn0三0则(1)式化为 百+￡日=0，此式即为摆得谐振动方程，其角频率和周期分别为 (2) (3) 0 根据(3)式，利用单摆可测定重力加速度g值。 2.复摆 复摆：如图，复摆的质心C到轴的距离为l,对O轴，重力矩为M=-mg sin a,振动惯 228

教案 第十四章 机械振动 228 ( ) ( ) 3 4 3 2 2 1 cos 2 2   t + = −  t + = 或 1 v 为负，由（3）知： sin(t +1 )  0 ，故取 ( ) 3 1  t + = 2 v 为正，由（4）知： sin(t +2 )  0 ，故取 ( ) 3 4 2  t +  = 则有  = (t +2 )−(t +1 ) =2 −1 = II：矢量法 由题意作右图，由图形知： 2 −1 =  解析法附加例题（可选讲）： §4 单摆和复摆 Simple Pendulum and Compound Pendulum 1. 单摆 单摆：如图，摆球所受的力矩为 M = −mglsin  ，转动惯 量为 2 ml ，根据转动定律得：   mgl ml  − sin = （1） 在小角度（    5 ）摆动时有 sin =   则（1）式化为  +  = 0 l g  ，此式即为摆得谐振动方程，其角频率和周期分别为： l g  = （2） g l T    2 2 = = （3） 根据（3）式，利用单摆可测定重力加速度 g 值。 2. 复摆 复摆：如图，复摆的质心 C 到轴的距离为 l，对 O 轴，重力矩为 M = −mg sinl ，振动惯 O  mg m T l  A1 A2 A/2 -A/2 t+1 t+2 O

教案第十四章机械振动 量为山，根据转动定律有：-mg sin a=1 当小角度摆动时有：6+m0=0:0= mgl V:T-2mgl (4) 同理，利用(4)式可测量复摆的转动惯量和重力加速度。 3.大角度摆 无论单摆或复摆，当角度大于5时的摆动，我们称之为大角度摆，由于此种情况下， si不能近似为9，所以其运动形式要复杂一些，下面分析其运动规律。 +sin0=0 此时的动力学方程为：0 将sim9展开sm0=0-g+g dt- 这是个非线性问题，很难求得精确析解，但可利用迭代法求得其近似解为： 中oaf周 上式说明：摆的运动已不是单一的简谐振动，而是一种较为复杂的振动，它由两种 振动组合而成：一个是角频率为o的简谐振动，一个是以30为角频率的振动。 但上述解有个适用范围，当>20时，此解就不适用了。这是因为，当>20°时，其 运动形式对初始数值极其敏感，微小的初始条件变化会导致不相同的结果，因此不能连 做近似处理了。这种对初值非常敏感的非线性问题称为“混沌”现象。这是在确定性动 力学系统中存在的一种随机性运动，这时要选择精确的初始条件而确定其结果是根本上 不列的。系统运动具有显著的随机性，如对复杂的天气预报来讲，长期准确的预报天气 是不可能的。 下面给出大角度摆在三种不同起始条件下的运动情况， 对于a的情况，小球将作来回摆动。 对于b的情况，小球将不沿原路从高点返回，运动不具有往复性， 对于c的情况，小球将在竖直面内做圆周运动。 上述三种情况说明，对大角度摆当20°时，初始条件的不同将导致完全不一致的运 229

教案 第十四章 机械振动 229 量为 I，根据转动定律有：    − mg sin l = I 当小角度摆动时有：  +  = 0 I mgl  ； I mgl  = ； mgl I T = 2 （4） 同理，利用（4）式可测量复摆的转动惯量和重力加速度。 3. 大角度摆 无论单摆或复摆，当角度大于 5时的摆动，我们称之为大角度摆，由于此种情况下， sin不能近似为，所以其运动形式要复杂一些，下面分析其运动规律。 此时的动力学方程为： sin 0 2 2 0 2 +  =  dt d 将 sin展开 = − + + 3! 5! sin 3 5     取前两项代入前式有： 6 3 2 0 2 2 0 2      + = dt d ； 这是个非线性问题，很难求得精确析解，但可利用迭代法求得其近似解为： co t A A t 0 3 3 193  = cos −  其中         = − 10 1 2 0 A   上式说明：摆的运动已不是单一的简谐振动，而是一种较为复杂的振动，它由两种 振动组合而成；一个是角频率为的简谐振动，一个是以 30 为角频率的振动。 但上述解有个适用范围，当>20时，此解就不适用了。这是因为，当>20时，其 运动形式对初始数值极其敏感，微小的初始条件变化会导致不相同的结果，因此不能连 做近似处理了。这种对初值非常敏感的非线性问题称为“混沌”现象。这是在确定性动 力学系统中存在的一种随机性运动，这时要选择精确的初始条件而确定其结果是根本上 不列的。系统运动具有显著的随机性，如对复杂的天气预报来讲，长期准确的预报天气 是不可能的。 下面给出大角度摆在三种不同起始条件下的运动情况。 对于 a 的情况，小球将作来回摆动。 对于 b 的情况，小球将不沿原路从高点返回，运动不具有往复性。 对于 c 的情况，小球将在竖直面内做圆周运动。 上述三种情况说明，对大角度摆当>20时，初始条件的不同将导致完全不一致的运 mg C l  O

教案第十四章机械振动 动结果。 S5简谐振动的能量Energy of Simple Harmonic Vibration 简谐振动的能量 如图所示的弹簧振子为例来说明振动系统的能量。 -w m Ex=3m2=mfo2sn6eu+p） (1) E=r-kfa2cos2au+p） (2) E-Ex+E,-Tk (3) 推广：对任意一个简谐振动，在振动过程中，虽然动能和势能不断转换，但总的能量保 持不变，如下图所示。 E 能量一时间曲线 弹簧振子势能曲线 在忽略阻力时，动能Eg+E。为常量，则有日(E+E)=0,利用此关系式可求得简 谐振动的运动方程，如下面例题。 例题1：弹性系数为k,长为，质量为m的轻弹簧。一端固定，另一端连接一质量为M 的物体。在光滑的水平面上作简谐振动，求其运动方程。 解：在弹簧上取微元dm,dm=·山。其位移与到固定端的距离S成正比，位移为 S(0≤S≤I),则其速度为： 作- v为速度，系统的动能为： =片=明”s(=名m 230

教案 第十四章 机械振动 230 动结果。 §5 简谐振动的能量 Energy of Simple Harmonic Vibration 简谐振动的能量 如图所示的弹簧振子为例来说明振动系统的能量。 E = mv = mA  (t +) K 2 2 2 2 sin 2 1 2 1 （1） E = kx = kA  (t +) P 2 2 2 2 cos 2 1 2 1 （2） 2 2 1 E = EK + EP = kA （3） 推广：对任意一个简谐振动，在振动过程中，虽然动能和势能不断转换，但总的能量保 持不变，如下图所示。 在忽略阻力时，动能 EK + EP 为常量，则有 (EK + EP ) = 0 dt d ，利用此关系式可求得简 谐振动的运动方程，如下面例题。 例题 1：弹性系数为 k，长为 l，质量为 m 的轻弹簧。一端固定，另一端连接一质量为 M 的物体。在光滑的水平面上作简谐振动，求其运动方程。 解：在弹簧上取微元 dm， ds l m dm =  。其位移与到固定端的距离 S 成正比，位移为 S l x  ( 0  S  l )，则其速度为： v l s dt dx l s S l x =  =          ， v 为速度，系统的动能为：    =      =  =  l K v mv l S dS l m E dm v 0 2 2 2 1 6 1 2 1 2 1 m O v x o x E EK E= 2 1 kA2 EP 能量⎯时间曲线 -A A E EP EK EP x 弹簧振子势能曲线 m O x l x S dS

教案第十四章机械振动 Ea-如 势能为：，=x 则有：E+6,=石m2+与m2+如=常量 ,+E,)0得： 版+与m成+x=0 如g0a。 即：求+ M+号 有：+o2x=0 .M+m3 其周期为：T-名2 其周期比忽略弹簧质量时变大了。 说明：利用E。+E。=常量解题，先决条件时能够写出简谐振动的动能和势能，如不能方 便写出其能量关系，则应从动力学方程出发来求解其运动方程。 下面一个例题即为不能方便写出其势能的问题，因为物体所受的恢复力为水中浮力 与重力的合力，单写出重力势能使不够的（它不是简谐振动的势能，而只是势能的一部 分)，故需利用动力学方程来求解。否则需利用势能与力的关系写出其势能米，即： U=-「FaP 下面来求解此题。 例题2：边长0.25m,密度800gm3的木块浮在水面上，今把木块完全压入水中， 然后放手，如不计水对木块的阻 力，问木块的运动方程如何？P* 一水面 ℃-原点面 =1000g/m23。 解：如图，设平衡时，木块浸入 水中的深度为b,以平衡时质心 C所在位置为坐标原点，建立如图所示坐标系，先列其动力学方程，当质心C的坐标为x 时有： 23

教案 第十四章 机械振动 231 2 2 2 1 E kx K = 势能为： 2 2 1 E kx P = 则有： + = 2 + 2 + 2 = 常量 2 1 2 1 6 1 E E mv mv k x K P (EK + EP ) = 0 dt d 得： 0 3 1 Mx+ mx+ kx = 即： 0 3 = + + x m M k x 令 3 2 m M k +  = 有： 0 2  x  + x = 其周期为： k M m T 3 2 2 + =    其周期比忽略弹簧质量时变大了。 说明：利用 EP + EK = 常量解题，先决条件时能够写出简谐振动的动能和势能，如不能方 便写出其能量关系，则应从动力学方程出发来求解其运动方程。 下面一个例题即为不能方便写出其势能的问题，因为物体所受的恢复力为水中浮力 与重力的合力，单写出重力势能使不够的（它不是简谐振动的势能，而只是势能的一部 分），故需利用动力学方程来求解。否则需利用势能与力的关系写出其势能来，即： i i P U F   = −  = −  U F Pi 下面来求解此题。 例题 2：边长 l=0.25 m，密度=800 kgm-3 的木块浮在水面上，今把木块完全压入水中， 然后放手，如不计水对木块的阻 力，问木块的运动方程如何？水 = kg/m3。 解：如图，设平衡时，木块浸入 水中的深度为 b，以平衡时质心 C 所在位置为坐标原点，建立如图所示坐标系，先列其动力学方程，当质心 C 的坐标为 x 时有： O x C l a b x C 水面 原点面