第十五章机械波Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程一波动。波动分为 机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波：交变电磁场在空间的传播形成电 磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征，即都具有一定 的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，而且有相似 的数学表达形式。 一基本要求 1熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能根据 给定的条件求出波函数： 2理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件： 4掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 5理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二基本内容 1波动的基本概念 1)机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2)横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波：两者相互平行的波叫 做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波，并分别 处理。 3)波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介质中 振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做波前。 4)平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波：点波源的波面是球面，叫做球面波。在离波 源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5)波速（相速）：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的特性 无关，仅取决于传播介质的性质。 6)波长：同一波线上相位差为2的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它反映 波在空间上的周期性。 )波的周期T:一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。波的 周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8)波的频率：单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相等。 9)波数k:它的数值等于在2π长度内所包含的完整波的个数。 10)波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： ==，k-2- 2简谐波 1)简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许多不 同频率的简谐波的叠加
第十五章 机械波Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程－波动。波动分为 机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波；交变电磁场在空间的传播形成电 磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征，即都具有一定 的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，而且有相似 的数学表达形式。 一 基本要求 1 熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能根据 给定的条件求出波函数； 2 理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件； 4 掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 5 理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二 基本内容 1 波动的基本概念 1) 机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2) 横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波；两者相互平行的波叫 做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波，并分别 处理。 3) 波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介质中 振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做波前。 4) 平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波；点波源的波面是球面，叫做球面波。在离波 源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5) 波速（相速）u：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的特性 无关，仅取决于传播介质的性质。 6) 波长：同一波线上相位差为2的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它反映 波在空间上的周期性。 7) 波的周期T：一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。波的 周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8) 波的频率：单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相等。 9) 波数k：它的数值等于在2长度内所包含的完整波的个数。 10) 波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： u k T u = = = = 2 , 2 简谐波 1) 简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许多不 同频率的简谐波的叠加
2)平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿X轴传播的平面简谐波的波函数为 y=Acoslo(t年+p] =Acos2x(5干，)+p =Acos[(年2π)+p】 其中：“-0表示波沿X轴正方向传播：“+”表示波沿X轴负方向传播。 3)波函数的物理意义：波函数是x和的函数。给定x,表示x处质点的振动，即给出x处质点任意 时刻离开自己平衡位置的位移：给定，表示时刻的波形，即给出时刻质点离开自己平衡位置 的位移。 3波传播的能量 )能量密度：单位体积介质的波动能量。 y=po4smo- 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度， 平均能流度：单位时间酒过垂直于传方向的单位面积的平均能流/一 ，能流 密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介质中，平 面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比 3)波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波被都遵守微分方程： o'y10'y u"ot 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 器++ 4惠更斯原理 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。 5波的叠加原理 几列例波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样：在它们相重叠的区域内， 每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6波的干涉 8)波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发出的 波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的现象称为 波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 9)波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 10)干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减弱的 条件由两波在该处的相位差：
2) 平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿X轴传播的平面简谐波的波函数为 cos[( 2 ) ] cos[2 ( ) ] cos[ ( ) ] = + = + = + x A t x T t A u x y A t 其中：“−表示波沿X轴正方向传播；“+”表示波沿X轴负方向传播。 3) 波函数的物理意义：波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动，即给出x处质点任意 时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离开自己平衡位置 的位移。 3 波传播的能量 1) 能量密度：单位体积介质的波动能量。 sin ( ) 2 2 2 u x y = A t − 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度， 2 2 2 1 = A 。 9) 平均能流密度：单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流 I A u 2 2 2 1 = ，能流 密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介质中，平 面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比。 3) 波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z u t = + + 4 惠更斯原理 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。 5 波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样；在它们相重叠的区域内， 每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6 波的干涉 8) 波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发出的 波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的现象称为 波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 9) 波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 10) 干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减弱的 条件由两波在该处的相位差：
4p=-段-受6-》决定 4p={±吉凝z-02振幅最小，A=4-4 k=0,L2,…,振幅最大，A=A+A4 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： +k A=A+4 6=5-=±(2k+0号A=A-角 k=0,12.… 7驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳定的 分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为2。波节两边的介质，振动的相位 差为π。 8多普制相应 当波源S与观察者R之间有相对运动时，观察者所接收到的波颜率？与波源所发射的波的频 率s不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 土节 上面一组符号表示相互靠近：下面一组符号相互远离。 §1机械波的几个概念Some Concepts of Mechanical Wave 一机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质内各 质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变，于是， 一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动起来：另 一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质点也在自己的平 衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各部分之间的弹性相互 作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用者，当介质中某一质点P偏离平衡 位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于惯性的存在， P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件振动起来。与此同 时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置附近振动，…，就这样振 动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源：传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波前进， 只在各自的平衡位置附近往复运动
( ) 2 2 1 2 1 = − − r − r 决定。 1 2 1 2 0,1,2, , 0,1,2, , (2 1) 2 k A A A k A A A k k = = − = = + + = 振幅最小， 振幅最大， 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： 0,1,2, 2 (2 1) 1 2 1 2 2 1 = = − = + + = − = k A A A A A A k k r r 7 驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳定的 分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为/2。波节两边的介质，振动的相位 差为。 8 多普勒相应 当波源S与观察者R之间有相对运动时，观察者所接收到的波频率R与波源所发射的波的频 率S不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 S S R R u v u v = 上面一组符号表示相互靠近；下面一组符号相互远离。 §1 机械波的几个概念Some Concepts of Mechanical Wave 一 机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质内各 质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变，于是， 一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动起来；另 一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质点也在自己的平 衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各部分之间的弹性相互 作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用着，当介质中某一质点P偏离平衡 位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于惯性的存在， P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件振动起来。与此同 时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置附近振动，…，就这样振 动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源；传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波前进， 只在各自的平衡位置附近往复运动
二横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两种最 基本的形式 1.横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方向移 动 2.纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传播方 向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横波， 可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传播，这就 是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动起来。 这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的稀疏”和“稠密区域，并且它们以一定速度 传播出去。 三波长波的周期和频率波速 1波长和频率 波长用“表示，单位米： 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离： 周期：波前进一个波长距离所需的时间： 频率：周期的倒数。 u=月 u=元v 2波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长不同。 注意：波速决定于介质：频率决定于波源。 时论几儿种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度： 固体中的波速： 横波： w-1P 纵波： 4p B 液体和气体中的纵波的波速： u=p
二 横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两种最 基本的形式。 1. 横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方向移 动； 2. 纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传播方 向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横波， 可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传播，这就 是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动起来。 这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的“稀疏”和“稠密”区域，并且它们以一定速度 传播出去。 三 波长 波的周期和频率 波速 1 波长和频率 波长用“表示，单位米； 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离； 周期：波前进一个波长距离所需的时间； 频率：周期的倒数。 T u = u = 2 波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长不同。 注意：波速决定于介质；频率决定于波源。 讨论几种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度： T u = 固体中的波速： 横波： G u = 纵波： Y u = 液体和气体中的纵波的波速： B u =
对于理想气体： 体变模量： D 固体： B--AVIV 液体： 品 其中：P=∫s 杨氏模量： 切变模最，G= 表某些介质中的机械波速 介质 速度(m.s) 空气 331(20℃) 海水 1531(25℃) 木材 3400-4700(洁 5854(纵波)，3150（横波） 地表 8000(纵波)，4450（横波） 四波线波面波前 1.波面：振动相位相同的各点连成的面 2.波前：波源最初振动状态传播到各点所连成的面称为波前。 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波等 3.波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，各向同性介质中波线与波面垂直。 S2平面简谐波的波函数Wave Function of Simple Harmonic Wave 机械波是机械振动在弹性介质内的传播，它是弹性介质内大量质点参与的一种集体运动形 式。如果波沿x方向传播，要描述它，就应该知道x处的质点在任意时刻的位移y,即应该知道(x )。我们把这种描述波传播的函数x,)叫做波动函数，简称波函数。 一平面简谐波的波函数 若波源和介质中的质点都作简谐振动，这种波称之为简谐波。 设有一平面简诺波，在无吸收的、均匀的、无限大的介质中沿正方向传播。建立如图所示 坐标系，为简单起见，设原点0的振动为：%=Acoso
对于理想气体： M P RT u = = 体变模量： 固体： V V P B = − 液体： V V P B = − 其中： P = f s 杨氏模量： l l f s Y = 切变模量： f s G = 表 某些介质中的机械波速 介质 速度（m.s−1） 空气 海水 木材 钢 地表 331（20℃） 1531（25℃） 3400－4700（纵波） 5854（纵波），3150（横波） 8000（纵波），4450（横波） 四 波线 波面 波前 1. 波面：振动相位相同的各点连成的面 2. 波前：波源最初振动状态传播到各点所连成的面称为波前。 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波等 3. 波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，各向同性介质中波线与波面垂直。 §2 平面简谐波的波函数Wave Function of Simple Harmonic Wave 机械波是机械振动在弹性介质内的传播，它是弹性介质内大量质点参与的一种集体运动形 式。如果波沿x方向传播，要描述它，就应该知道x处的质点在任意时刻t的位移y，即应该知道y(x, t)。我们把这种描述波传播的函数y(x, t)叫做波动函数，简称波函数。 一 平面简谐波的波函数 若波源和介质中的质点都作简谐振动，这种波称之为简谐波。 设有一平面简谐波，在无吸收的、均匀的、无限大的介质中沿正方向传播。建立如图所示 坐标系，为简单起见，设原点O的振动为： y Acost 0 =
其中：A为振幅：o为角频率 对P点：=cos1- ,因P点是任意一点， ·.·0=2mv,=入v 5y=Acos2axu-克》 上式称为平面简谐波的波动方程 若波沿x轴负向传播，则表达式为： y=Acoso(t+) 或r=4cos2xu+克 结论： 4)波的传播不是介质质元的传播，而是振动状态的传播，某时刻某质元的振动状态将在较晚 时刻于“下游”某处出现： 5)“上游”的质元依次带动下游”质元振动： 6)沿波的传播方向，各质元的相位依次落后： 7)同相位点质元的振动状态相同，相邻同相位点，相位差为2π。 二波函数的物理含义 1x一定时为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点做简谐振动的振动曲线，方程为： 1V=Ac0sM-0】 2一定时为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻各质点的位移分布波形图，方程为： y=Acs0-2) 3、x都变化时，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况，方程为： J=4cos2a1-克 波的传播是相位的传播，也是振动这种运动形式的传播，或说是整个波形的传播，波速 就是相位或波形向前传播的速度。总之，当和x都变化时，波函数就描述了波的传播过程，所 以这种波也称为行波，或前进波。 注意： =-4o血ou- “：要注意区别质点的振动速度和波的传播速度 “；为质点振动的加速度 三波动微分方程 前面我们从运动学角度讨论了简谐波的传播规律，并着重分析了平面简谐波的波函数。现 在从动力学角度讨论一般平面波所满足的微分方程
其中：Ａ为振幅；为角频率 对Ｐ点： cos ( ) u x y = A t − ，因P点是任意一点， = 2，u = 故 cos2 ( ) x y = A t − 上式称为平面简谐波的波动方程。 若波沿x轴负向传播，则表达式为： cos ( ) u x y = A t + 或 cos2 ( ) x y = A t + 结论： 4) 波的传播不是介质质元的传播，而是振动状态的传播，某时刻某质元的振动状态将在较晚 时刻于“下游”某处出现； 5) “上游”的质元依次带动“下游”质元振动； 6) 沿波的传播方向，各质元的相位依次落后； 7) 同相位点质元的振动状态相同，相邻同相位点，相位差为2。 二 波函数的物理含义 1 x一定时为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点做简谐振动的振动曲线，方程为： y = Acos(t −) 2 t一定时为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻各质点的位移分布波形图，方程为： ) 2 cos( x y = A − 3 t、x都变化时，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况，方程为： cos2 ( ) x y = A t − 波的传播是相位的传播，也是振动这种运动形式的传播，或说是整个波形的传播，波速u 就是相位或波形向前传播的速度。总之，当t和x都变化时，波函数就描述了波的传播过程，所 以这种波也称为行波，或前进波。 注意： sin ( ) u x A t t y v = − − = ；要注意区别质点的振动速度和波的传播速度 cos ( ) 2 2 2 u x A t t y a = − − = ；为质点振动的加速度 三 波动微分方程 前面我们从运动学角度讨论了简谐波的传播规律，并着重分析了平面简谐波的波函数。现 在从动力学角度讨论一般平面波所满足的微分方程
对平面孩的表达式=-宁分别求1和：的粉保导表 2-=om-与 是-4-当 比较两式得 o'y 1 a'y 上式称为波的波动方程。任何物理量不论是力学量，电学量或其他量，只要它与时间和坐 标关系满足波动方程，则这一物理量就按波的形式传播。 S3波的能量Wave Energy 一波动能量的传播 在波动传播过程中，波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接一层地传播出去，使介质 中各质点依次在各自在平衡位置附近作振动。可见介质中各质点具有动能，同时介质因发生形 变还具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。 设波在体密度为p的弹性介质中传播，在波线上坐标r处取一个体积元d,在时刻t,该体 积元的 ·振动位移：=Ac0s(-马 ·振动速度： sin e-) 导出，此处略) ·体积元总能量： d=d,+d，=pfo2smo- 表明： ·总能量随时间作周期性变化，是能量传播的具体体现。 。 波动能量与振动能量有显著不同。振动中动能与势能相位差2两者相互转化，使系统 的总机械能保持守恒：波动中动、势能同相，它们同时达到最大值，又同时达到最小 值。因此对任意体积元来说，它的机械能是不守恒的，即沿着波动的传播方向，该体 积元不断地从后面的介质获得能量，又不断地把能量传递给前面的介质。这样，能量 就随着波动的行进，从介质的这一部分传向另一部分。所以，波动是能量传递的一种 方式。 1.能量密度：单位体积介质中的波动能量
对平面波的表达式 cos ( ) u x y = A t − 分别求 t 和 x 的二阶偏导数 cos ( ) 2 2 2 u x A t t y = − − cos ( ) 2 2 2 2 u x t u A x y = − − 比较两式得 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 上式称为波的波动方程。任何物理量y不论是力学量，电学量或其他量，只要它与时间和坐 标关系满足波动方程，则这一物理量就按波的形式传播。 §3 波的能量Wave Energy 一 波动能量的传播 在波动传播过程中，波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接一层地传播出去，使介质 中各质点依次在各自在平衡位置附近作振动。可见介质中各质点具有动能，同时介质因发生形 变还具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。 设波在体密度为的弹性介质中传播，在波线上坐标x 处取一个体积元dV，在时刻ｔ，该体 积元的 • 振动位移： cos ( ) u x y = A t − • 振动速度： sin ( ) u x A t t y v = − − = • 振动动能： d sin ( ) 2 1 d 2 1 d 2 2 2 2 u x E mv VA t k = = − • 形变势能： d sin ( ) 2 1 d 2 2 2 u x E VA t p = − ；（注：由 2 (d ) 2 1 dE k y P = 导出，此处略） • 体积元总能量： d d d d sin ( ) 2 2 2 u x E E E VA t = k + p = − 表明： • 总能量随时间作周期性变化，是能量传播的具体体现。 • 波动能量与振动能量有显著不同。振动中动能与势能相位差/2两者相互转化，使系统 的总机械能保持守恒；波动中动、势能同相，它们同时达到最大值，又同时达到最小 值。因此对任意体积元来说，它的机械能是不守恒的，即沿着波动的传播方向，该体 积元不断地从后面的介质获得能量，又不断地把能量传递给前面的介质。这样，能量 就随着波动的行进，从介质的这一部分传向另一部分。所以，波动是能量传递的一种 方式。 1. 能量密度：单位体积介质中的波动能量
wdno'snal 2.平均能量密度 而-号no2sm2ot-5t-5o 表明：波的平均能量密度与振幅的平方成正比，与频率的平方成正比。 二能流和能流密度 能量随波的前进在介质中传播，就好象能量在介质中流动一样，故引入能流的概念。 1.能流定义：单位时间内通过介质某一截面的能量。 p=suw=sup4io'sin'o(t-) 2.平均能流D=nm=a4ro ,能流的单位：W(瓦特)，因此波的能流也称为波的功率。 3.能流密度：通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流。 1=-Wu= 显然能流密度越大，单位时间垂直通过单位面积的能量就越多，表示波动越强列。所以能 流密度/也称为波的强度，它的单位为Wm2。 S4惠更斯原理波的衍射、反射和折射Huygensprinciple 一惠更斯原理 在总结大量现象的基础上，荷兰物理学家惠更斯于1679年首先提出：介质中波动传播到名 点，都可以视为发射子波的波源，在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。如图所示： 对于任何波动过程（机械波或电磁波），不论其传播波动的介质是均匀的还是非均匀的，是 各向同性的还是各向异性的，惠更斯原理都是适用的。若己知某一时刻波前的位置，就可以根 据这一原理，用几何作图的方法，确定出下一时刻波前的位置，从而确定波传播的方向。 二波的衍射 当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生方向改变，称为波的衍射。 衍射现象显著与否与障碍物的大小与波长之比有关。若障碍物的宽度远大于波长，衍射现象不 明显：若障碍物的宽度与波长差不多，行射现象就比较明显：若障碍物宽度小于波长，则衍 现象更加明显。声学中，由于声音的波长与所碰到的障碍物的大小差不多，故声波的衍射较显 著。机械波和电磁波都会产生衍射现象，衍射现象是波动的重要特征之一。 用惠更斯原理能够定性地说明衍射、干涉及反射等现象。 三波的反射和折射 反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回，形 成反射波，另一部分进入另一种介质形成折射波
sin ( ) d d 2 2 2 u x A t V E w = = − 2. 平均能量密度 2 2 0 2 2 2 2 1 sin ( )d 1 t A u x A t T w T = − = 表明：波的平均能量密度与振幅的平方成正比，与频率的平方成正比。 二 能流和能流密度 能量随波的前进在介质中传播，就好象能量在介质中流动一样，故引入能流的概念。 1. 能流定义:单位时间内通过介质某一截面的能量。 sin ( ) 2 2 2 u x p = suw = suA t − ２. 平均能流 2 2 2 1 p = suw = suA ，能流的单位：W（瓦特），因此波的能流也称为波的功率。 3. 能流密度：通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流。 wu A u S p I 2 2 2 1 = = = 显然能流密度越大，单位时间垂直通过单位面积的能量就越多，表示波动越强列。所以能 流密度I也称为波的强度，它的单位为W.m−2。 §4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射Huygens principle 一 惠更斯原理 在总结大量现象的基础上，荷兰物理学家惠更斯于1679年首先提出：介质中波动传播到各 点，都可以视为发射子波的波源，在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。如图所示： 对于任何波动过程（机械波或电磁波），不论其传播波动的介质是均匀的还是非均匀的，是 各向同性的还是各向异性的，惠更斯原理都是适用的。若已知某一时刻波前的位置，就可以根 据这一原理，用几何作图的方法，确定出下一时刻波前的位置，从而确定波传播的方向。 二 波的衍射 当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生方向改变，称为波的衍射。 衍射现象显著与否与障碍物的大小与波长之比有关。若障碍物的宽度远大于波长，衍射现象不 明显；若障碍物的宽度与波长差不多，衍射现象就比较明显；若障碍物宽度小于波长，则衍射 现象更加明显。声学中，由于声音的波长与所碰到的障碍物的大小差不多，故声波的衍射较显 著。机械波和电磁波都会产生衍射现象，衍射现象是波动的重要特征之一。 用惠更斯原理能够定性地说明衍射、干涉及反射等现象。 三 波的反射和折射 反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回，形 成反射波，另一部分进入另一种介质形成折射波
1反射定律 根据实验，可得到反射定律： 1)反射线、入射线和界面的法线在同一平面内： 3)反射角等于入射角，即 f'=i 下面用惠更斯原理证明这个定律：设一平面波以入射到两者介质的界面上。根据惠更斯原 理，入射波到达分界面上的各点，都可作为子波的波源。在时刻，入射波的波前为4A:,此后 AA3上的4、42各点，将先后到达界面上的B1、B2各点。在时刻+△，点4到达点B,于是可作 界面上各点子波在此时刻的包络。包络是通过点B的直线BB,作波前的垂直线，即得到反射线 2折射定律 根据实验，折射定律为： 1)折射线、入射线和界面法线在同一平面内： 2)入射角的正弦之比，等于波在第一种介质中的波速与在第二种介质中的波速之比，即 用惠更斯原理确定折射波的传播方向（作图法）： BC=u (th)=ACsini AE=(1)=ACsin iz 波的折射定律： sn4=4 s1n42 其中：1一入射角 2折射角 §5波的干涉Interference of Wave 一波的叠加原理 日常生活中，如听乐队演奏或几个人同时讲话时，我们仍能从综合音响中辨别出每种乐器 或某个人的声音，这表明某种乐器或某个人发出的声波，并不因其他乐器或人同时发出的声波 而受到影响。可见，波的传播是独立进行的。又如在水面上有两列水波相遇，或者几束灯光在 空间相遇时，都有类似的情况发生。通过对这些现象的观察和总结，得到波的叠加原理： 1)当几列波在同一介质中传播时，在其相遇区域内，任一点的振动为各个波单独存在时在 该点引起的振动的矢量和： 2)各列波相遇之后，仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，按 照原来的方向继续前进，就象没有遇到其他的波一样。 二波的干涉 观察水波的干涉实验：把两个小球装在同一支架上，使小球的下端紧靠水面。当支架沿垂直
1 反射定律 根据实验，可得到反射定律： 1) 反射线、入射线和界面的法线在同一平面内； 3) 反射角等于入射角，即 i =i 下面用惠更斯原理证明这个定律：设一平面波以u入射到两者介质的界面上。根据惠更斯原 理，入射波到达分界面上的各点，都可作为子波的波源。在时刻t，入射波I的波前为AA3，此后， AA3上的A1、A2各点，将先后到达界面上的B1、B2各点。在时刻t+t，点A3到达点B3，于是可作 界面上各点子波在此时刻的包络。包络是通过点B3的直线B3B，作波前的垂直线，即得到反射线 L。 2 折射定律 根据实验，折射定律为： 1) 折射线、入射线和界面法线在同一平面内； 2) 入射角的正弦之比，等于波在第一种介质中的波速u1与在第二种介质中的波速u2之比，即 2 1 2 1 sin sin u u i i = 用惠更斯原理确定折射波的传播方向（作图法）： 1 2 1 1 BC = u (t − t ) = ACsin i 2 2 1 2 AE = u (t − t ) = ACsin i 波的折射定律： 2 1 2 1 sin sin u u i i = 其中：i1--入射角, i2--折射角 §5 波的干涉Interference of Wave 一 波的叠加原理 日常生活中，如听乐队演奏或几个人同时讲话时，我们仍能从综合音响中辨别出每种乐器 或某个人的声音，这表明某种乐器或某个人发出的声波，并不因其他乐器或人同时发出的声波 而受到影响。可见，波的传播是独立进行的。又如在水面上有两列水波相遇，或者几束灯光在 空间相遇时，都有类似的情况发生。通过对这些现象的观察和总结，得到波的叠加原理： 1) 当几列波在同一介质中传播时，在其相遇区域内，任一点的振动为各个波单独存在时在 该点引起的振动的矢量和； 2) 各列波相遇之后，仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，按 照原来的方向继续前进，就象没有遇到其他的波一样。 二 波的干涉 观察水波的干涉实验：把两个小球装在同一支架上，使小球的下端紧靠水面。当支架沿垂直
方向以一定的频率振动时，两小球和水面的接触点就成了两个频率相同、振动方向相同、相位 相同的波源，各自发出一列圆形的水面波。从图中可见：有些地方水面起伏很大（图中亮处）， 说明这些地方振动加强了：而有些地方水面只有微弱的起伏，甚至平静不动（图中暗处），说明 这些地方振动减弱，甚至完全抵消。 频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终 较强，而使另一些地方振动始终减弱的现象叫做波的干涉。 波源的振动： 1o=Ato cos(+) y2o=42oc0s0+42) P点的振动： =4coa+A-2受） 为=4oa+%受) 令40=-2-型 由叠加原理得P点合振动： y=片+乃2=Acos(@l+) A=V4+A+2A4,42c0s△0 m角受+4如6受 6=arctg 其中： 4co-受+4o6-受 1.干涉加强 4p=±2kz (=0,12，称同相 2.干涉减弱 4p=2k+1)z (k=0,12少称反相 cos4o=-1 →Amn=4-Al 3.其他情况合振幅在最大值与最小值之间。 强度分布规律： I2+CosAo=I+1:+2 CosAo 知果1=，则/1，cos4兰 结论：同频率，同方向，相位差恒定的两列波，在相遇区域内，某些点处振动始终加强
方向以一定的频率振动时，两小球和水面的接触点就成了两个频率相同、振动方向相同、相位 相同的波源，各自发出一列圆形的水面波。从图中可见：有些地方水面起伏很大（图中亮处）， 说明这些地方振动加强了；而有些地方水面只有微弱的起伏，甚至平静不动（图中暗处），说明 这些地方振动减弱，甚至完全抵消。 频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终 较强，而使另一些地方振动始终减弱的现象叫做波的干涉。 波源的振动： cos( ) 1 0 = 1 0 + 1 y A t cos( ) 2 0 = 2 0 + 2 y A t Ｐ点的振动： ) 2 cos( 1 1 1 1 r y = A t + − ) 2 cos( 2 2 2 2 r y = A t + − 令 2 ( ) 2 1 2 1 r − r = − − 由叠加原理得Ｐ点合振动： cos( ) y = y1 + y2 = A t + = + + 2 1 2 cos 2 2 2 A A1 A A A 其中： ) 2 ) cos( 2 cos( ) 2 ) sin( 2 sin( 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 r A r A r A r A arctg − + − − + − = 1. 干涉加强 max 1 2 cos 1 2 ( 0,1,2, ) A A A k k = + = = = ； 称同相 2. 干涉减弱 min 1 2 cos 1 (2 1) ( 0,1,2, ); A A A k k = − = − = + = 称反相 3. 其他情况合振幅在最大值与最小值之间。 强度分布规律： = + + 2 1 2 cos = 1 + 2 + 2 1 2 cos 2 2 2 1 2 I A A A A A I I I I 如果 2 4 cos2 1 2 1 I = I ，则I＝ I 结论：同频率，同方向，相位差恒定的两列波，在相遇区域内，某些点处振动始终加强