教案第五章万有引力场 第五章万有引力场Gravity s1开普勒定律Kepler's laws 人类通过对星体运行规律的研究，奠定了经典力学的基础，促进了实验物理学和理 论物理学的发展，在17世纪初期，德国天文学家开普勒分析前人观测到的行体数据，提 出了描述行星运动的三条定律，称为开普勒定律，具体内容如下： (1)每一行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 (2)行星运动时，太阳到行星的矢径F在相等的时间间隔内扫过的面积相等，这也 叫面积定律。 (3)行星绕太阳公转周期T的二次方正比于行星椭圆轨道半长轴a的三次方，且比 值为一恒量，即： ar=c 第一定律给出了行星运行轨道的形状，是一条几何定律，第二定律说明行星在太阳 系中的运动遵守角动量守恒定律，这可以从等面积定律中导出角动量守恒，第三定律则 是对前两个定律的补充。 有关开普勒定律的内个行星的数据如下： 行星 轨道周期S 轨道半长轴m AT 水星 7.513×10 5.795X1010 3.448×1018 金星 1.941×107 1.081×10 3.545×1018 地球 3.154×107 1.496×1011 3.366×1018 火星 5.977×10 2.278×1011 3.355×1018 木星 3.735×10 7.781×10 3.377×1018 土星 9.297×10 1.427×1012 3.362×1018 开普勒关于行星运动的三条定律，给哥白尼的日心说以有力的支持：也为牛顿发现 引力定律提供了基础。 s2万有引力定律The laws of gravity 牛顿发现的万有引力定律指出，任何两质点之间都存在一种具有相同性质的引力， 称之为万有引力，其形式为 74
教案 第五章 万有引力场 74 第五章 万有引力场 Gravity §1 开普勒定律 Kepler’s laws 人类通过对星体运行规律的研究，奠定了经典力学的基础，促进了实验物理学和理 论物理学的发展，在 17 世纪初期，德国天文学家开普勒分析前人观测到的行体数据，提 出了描述行星运动的三条定律，称为开普勒定律，具体内容如下： （1）每一行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 （2）行星运动时，太阳到行星的矢径 r 在相等的时间间隔内扫过的面积相等，这也 叫面积定律。 （3）行星绕太阳公转周期 T 的二次方正比于行星椭圆轨道半长轴 a 的三次方，且比 值为一恒量，即： C T a 2 = 3 第一定律给出了行星运行轨道的形状，是一条几何定律，第二定律说明行星在太阳 系中的运动遵守角动量守恒定律，这可以从等面积定律中导出角动量守恒，第三定律则 是对前两个定律的补充。 有关开普勒定律的内个行星的数据如下： 行星 轨道周期 S 轨道半长轴 m A3 /T2 水星 7.513×106 5.795×1010 3.448×1018 金星 1.941×107 1.081×1011 3.545×1018 地球 3.154×107 1.496×1011 3.366×1018 火星 5.977×107 2.278×1011 3.355×1018 木星 3.735×108 7.781×1011 3.377×1018 土星 9.297×108 1.427×1012 3.362×1018 开普勒关于行星运动的三条定律，给哥白尼的日心说以有力的支持；也为牛顿发现 引力定律提供了基础。 §2 万有引力定律 The laws of gravity 牛顿发现的万有引力定律指出，任何两质点之间都存在一种具有相同性质的引力， 称之为万有引力，其形式为
教案第五章万有引力场 F-Gmme, 字宙中的星体，其大小总是较星体之间的距离小得多，故可以把它们社作质点，用 万有引力公式来计算，对于地球上的两个物体，只要可作为质点，即可由上式来计算。 需要指出的是，对于地球上的物体，其间的万有引力一般较小，如有其它力存在， 通常万有引力可忽略不计，例如当计算两个电荷间相互作用力时，我们只考虑其间的库 仑力，而忽略其间的万有引力。 s3引力场、引力势能Gravitational potential energ) 1.引力场 万有引力定律指出，引力是与其周围存在的介质无关的，那么引力是如何传递的呢？ 爱因斯坦在其引力理论中指出：任何物体周围都存在引力场，处在引力场中的物体都受 到引力场的作用，故引力是依赖引力场来传递的，而传递速度为光速，引力场是一种物 质，与其它物质一样，引力场也具有能量，这主要体现在如下两个方面：(1)引力场对 处于其中的物体施以力的作用：(2)引力场能对处于其中运动的物体作功。 地球对物体作用的引力，我们通常称为重力，故地球引力场也叫重力场，因为我们对重 力场的一些性质己经比较熟悉，故可把重力场作为引力场的一个特例来领会、理解引力 场。 2.引力场强度 引力场强度：定义：质量为m的质点在场中受到的引力F与质量m的比值，叫作引 力场强度，其方向与该点的F方向一致，即： 根据万有引力定律知，它是一个与质点质量m无关的量，而只与场点的位置有关， 如一质量为m的质点在引力场中受到的力为：于=mg,此处m为引力质量，根据牛顿 定律有：了=msa:a=L.m8 mm 因为m低=m,故有ā=g 上式说明引力场强度代表任何质点在引力场中该点的加速度。 引力场中这个性质是很奇特的，任何质点，无论其质量如何，在引力场中同一处都具有 75
教案 第五章 万有引力场 75 r e r m m F G 2 1 2 = 宇宙中的星体，其大小总是较星体之间的距离小得多，故可以把它们社作质点，用 万有引力公式来计算，对于地球上的两个物体，只要可作为质点，即可由上式来计算。 需要指出的是，对于地球上的物体，其间的万有引力一般较小，如有其它力存在， 通常万有引力可忽略不计，例如当计算两个电荷间相互作用力时，我们只考虑其间的库 仑力，而忽略其间的万有引力。 §3 引力场、引力势能 Gravitational potential energy 1．引力场 万有引力定律指出，引力是与其周围存在的介质无关的，那么引力是如何传递的呢？ 爱因斯坦在其引力理论中指出：任何物体周围都存在引力场，处在引力场中的物体都受 到引力场的作用，故引力是依赖引力场来传递的，而传递速度为光速，引力场是一种物 质，与其它物质一样，引力场也具有能量，这主要体现在如下两个方面：（1）引力场对 处于其中的物体施以力的作用；（2）引力场能对处于其中运动的物体作功。 地球对物体作用的引力，我们通常称为重力，故地球引力场也叫重力场，因为我们对重 力场的一些性质已经比较熟悉，故可把重力场作为引力场的一个特例来领会、理解引力 场。 2．引力场强度 引力场强度 g 定义：质量为 m 的质点在场中受到的引力 F 与质量 m 的比值，叫作引 力场强度，其方向与该点的 F 方向一致，即： m F g = ； 根据万有引力定律知，它是一个与质点质量 m 无关的量，而只与场点的位置有关， 如一质量为 m 的质点在引力场中受到的力为： f mg = ，此处 m 为引力质量，根据牛顿 定律有： f m a = 惯 ； 惯 引 惯 m m g m f a = = 因为 m惯 = m引 ，故有 a g = 上式说明引力场强度代表任何质点在引力场中该点的加速度。 引力场中这个性质是很奇特的，任何质点，无论其质量如何，在引力场中同一处都具有
教案第五章万有引力场 相同的加速度，若它们具有相同的初始位置和初速度，则它们的时空轨迹是一样的，结 果动力学问题变成了一个纯粹的几何问题，故爱因斯无坚不摧马引力场看成是时空的几 何属性，它的广义相对论就是引力场的几何理论。 对于地球的引力场，其引力场强度为： 8=-G%E 其引力场强度分布如下图所示。 矢录的密疏代表引力场强度的大小。离地球越远处，引力强度越小。 3.引力势能、引力势 在m的引力场中的引力势能为： E,=-Gmm:m为处于引力场中质点的质量。 定义引力势为：y= m 则在m的引力场中r处的引力势为： r=-6g 引力势为一标量，在无限远处，引力势为零。若以m为中心做一球面，那么球面上 各点引力势相同，这个面叫做等势面。 对于由几个质点组成的引力场，场点P的引力势为： p=-Gm-G匹--G% 2 即P点的引力势为各质点在P点的引力势之和。 4.引力与引力势能的关系 如图，质点m受到的引力为F,具有的引力势能为Ep,若使质点位移，则引力作 76
教案 第五章 万有引力场 76 相同的加速度，若它们具有相同的初始位置和初速度，则它们的时空轨迹是一样的，结 果动力学问题变成了一个纯粹的几何问题，故爱因斯无坚不摧马引力场看成是时空的几 何属性，它的广义相对论就是引力场的几何理论。 对于地球的引力场，其引力场强度为： r e e r m g G 2 = − 其引力场强度分布如下图所示。 矢量的密疏代表引力场强度的大小。离地球越远处，引力强度越小。 3．引力势能、引力势 在 m的引力场中的引力势能为： r Ep Gmm 1 = − ；m 为处于引力场中质点的质量。 定义引力势为： m E V p = 则在 m的引力场中 r 处的引力势为： r m V G = − 引力势为一标量，在无限远处，引力势为零。若以 m为中心做一球面，那么球面上 各点引力势相同，这个面叫做等势面。 对于由几个质点组成的引力场，场点 P 的引力势为： n n r m G r m G r m V G − − − = − 2 2 1 1 即 P 点的引力势为各质点在 P 点的引力势之和。 4．引力与引力势能的关系 如图，质点 m 受到的引力为 F，具有的引力势能为 Ep，若使质点位移 dr ，则引力作
教案第五章万有引力场 功为F币，它应等于引力势能增量的负值，即 F而=dE。 F=-dE, Ep+dE 这就是引力与引力势能之间的关系，在坐标系中写成各 个分量间的关系为： 月当 2:,=2y f,=2x 因为8-后：Em,则有： 8=)8,=)&=) 由引力与引力势能的关系式可以看出，在求万有引力时，利用其间关系比较方便 因为势能E是标量，积分容易计算，而直接发求引力需要对矢量进行积分运算。 s4物体间的引力势能和引l力Gravitational potential energy and gravity ofobjects 物体间的万有引力计算，需要把物质视为由无限多个质点的组成，然后进行积分计 算，本节我们给出内个特殊物体间的引力相互作用形式。 1.匀质球壳与质点间的引力 先讨论质点在球壳外的情况，设球壳的质量密度为o,从球壳上取一细环带dm',各 量如图中所示。 dm=o·2π(Rsne)-Rd0=2 R'asinad0 d 由于环带上各点与质点m的距离均为S,故有 E,=-6"。-0m2成o0 利用几何关系将变量θ换为S: S2=R2+r2-2 Rrcose8取微商后有 77
教案 第五章 万有引力场 77 功 为 F dr ， 它 应 等于 引 力 势能 增 量 的 负值 ， 即 dEp F dr = r p e dr dE F = − 这就是引力与引力势能之间的关系，在坐标系中写成各 个分量间的关系为： x E F p x 2 2 = − ； y E F p y 2 2 = − ； z E F p z 2 2 = − 因为 m F g = ；V=Ep/m，则有： = − x V gx ， = − y V g y ， = − z V gz 由引力与引力势能的关系式可以看出，在求万有引力时，利用其间关系比较方便， 因为势能 Ep 是标量，积分容易计算，而直接发求引力需要对矢量进行积分运算。 §4 物体间的引力势能和引力 Gravitational potential energy and gravity of objects 物体间的万有引力计算，需要把物质视为由无限多个质点的组成，然后进行积分计 算，本节我们给出内个特殊物体间的引力相互作用形式。 1．匀质球壳与质点间的引力 先讨论质点在球壳外的情况，设球壳的质量密度为，从球壳上取一细环带 dm，各 量如图中所示。 dm 2(Rsin) Rd 2R sind 2 = = 由于环带上各点与质点 m 的距离均为 S，故有 S d Gm R S mdm dEp G sin 2 2 = − = − 利用几何关系将变量换为 S： 2 cos 2 2 2 S = R + r − Rr 取微商后有 Rr ds S d = sin o er P F dr m EP+dEP EP d R O r P m S
教案第五章万有引力场 dE--Gm2xRo ds Gn2skaGm2akad ( 上式表明：球壳与其外面的质点间引力势，如同于球壳的质量集中于球心的情况 样，当然，其万有引力也是如此。这是万有引力是平方反比定律的一个必然结果。 说明：若万有引力不是平方反比力，则无此结果，若其它平方反比方，也有上述结论。 上述结论为计算匀质球壳与其他质点的万有引力提供了一个简单方便的方法。 现在来讨论质点位于球壳内部的情形： 如图，此时 6,-6m2a6=-Cm22r-6<网 r 由F=车r得F间R) 上式表明，质点无论处于球壳内什么位置，它与球壳间 的引力均为零。这是万有引力与距离平方成反比的另一个必然结论，其势能曲线和引力 曲线如下图所示。 F P Ex--Gmm/r F-Gmm Ex=-Gmm IR 2.匀质球体间的引力 根据质点与球壳间的引力势和引力之间的关系，可知两匀质球体间的引力势及引力 为： 5,=-Gm匹：F=-Gmer 其中m、m;为匀质球体的质量，r为球心间距离。即两均质球体间的引力与两球体质量 集中于球心的两质点间引力相同。 78
教案 第五章 万有引力场 78 ds r Gm R dEp 2 = − ( ) 4 2 2 2 r R r mm G r m R G ds r Gm R ds r Gm R E R r r R p = − = − = − = − + − 上式表明：球壳与其外面的质点间引力势，如同于球壳的质量集中于球心的情况一 样，当然，其万有引力也是如此。这是万有引力是平方反比定律的一个必然结果。 说明：若万有引力不是平方反比力，则无此结果，若其它平方反比方，也有上述结论。 上述结论为计算匀质球壳与其他质点的万有引力提供了一个简单方便的方法。 现在来讨论质点位于球壳内部的情形： 如图，此时 2 ( ) 2 2 r R r mm r G r Gm R ds r Gm R E R r R r p = = − = − + − 由 er dr dE F p = − 得 F=0 （r<R） 上式表明，质点无论处于球壳内什么位置，它与球壳间 的引力均为零。这是万有引力与距离平方成反比的另一个必然结论，其势能曲线和引力 曲线如下图所示。 2．匀质球体间的引力 根据质点与球壳间的引力势和引力之间的关系，可知两匀质球体间的引力势及引力 为： r m m Ep G 1 2 = − ； er r m m F G 2 1 2 = − 其中 m1 、 m2 为匀质球体的质量，r 为球心间距离。即两均质球体间的引力与两球体质量 集中于球心的两质点间引力相同。 d O P r S R EP R r O EP=-Gmm/R EP=-Gmm/r r O F=0 F=-Gmm/r2 F
教案第五章万有引力场 3.匀质球体对球内质点的引力和引力势能 如图，球体半径为R,质量为m,质点m位于球内r处P点，因为P点处的球壳对 m的引力为零，P点内的球体对m的引力为： m为半径为：的球体的质量。言知P 则得：F=-Gmm, R (r<R) 即只与r以内的质量有关。 下面利于功能关系求其引力势能。 将质点由P点移至球体表面，根据功能关系有 F.本=E,)-E,(风 得，-E,风=-6爱(R-r 已知E风=-G贸 则得：E,0=-G票3R-r内( 则可根据表达式画出引力及引力势能的关系图如下： r t F(r) 、E=Gmm -Gmm(3R-ryR 4.质点在地球表面附近的重力势能 设地球为匀质球体，则地球表面高为h处的引力势能为： E(R+)=E(R)+Gmm.R.(R+) h 79
教案 第五章 万有引力场 79 3．匀质球体对球内质点的引力和引力势能 如图，球体半径为 R，质量为 m，质点 m 位于球内 r 处 P 点，因为 P 点处的球壳对 m 的引力为零，P 点内的球体对 m 的引力为： 2 r mm F G = − m为半径为 r 的球体的质量， r P 3 3 4 则得： r R mm F G 3 = − （rr） 则可根据表达式画出引力及引力势能的关系图如下： 4．质点在地球表面附近的重力势能 设地球为匀质球体，则地球表面高为 h 处的引力势能为： ( ) ( ) ( ) R R h h E R h E R Gmm e e p e p e e + + = + O r P m m EP(r) R r O EP=-Gmm(3R 2 -r 2 )/R EP=-Gmm/r r O F=-Gmm/r2 EP(R) F=-Gmmr/R3 F(r)
教案第五章万有引力场 R、m分别为地球的半径和质量。 设ER)=O,即选地球表面处为势能零点，且R(R+M三R,则有： E,(代+)±Gmh=gh:其中g=G为地球表面附近的重力加速度。 R 同理可得地球内部r处质点的势能为： Ep(r)=-mgh 例题：有一质量为m,长为1，质量线密度为入的匀质细棒，求在棒的延长线上距离端点 为r的质点，所受到棒的引力及引力势能： 解：速度如图所示坐标系取微元dm'=k,则 dE-_GmdmGimids ---5---p 点，-E,=-0m空-6mah石 面F=G F=-rom=60月 方向沿x轴正向，即为吸引力。 利用F与E,的关系也可求得F。 F告=oa( §5行星的椭圆轨道和面积定律的验证The application of keppler's law 1.椭圆轨道的论证： 开普勒第一定律是根据大量的观察数据总结得出来的，既然天体之间的相互作用力 为万有引力，那么从引力定律出发就应当得到开普勒第一定律，1684年，牛顿就作了此 计算，结论是正确的。 下面我们在相坐标中来进行验证。 设太阳的质量为m',行星的质量为m,如图所示，则有：
教案 第五章 万有引力场 80 Re、me分别为地球的半径和质量。 设 Ep(Re)=0，即选地球表面处为势能零点，且 2 ( ) Re Re + h = Re ，则有： h mgh R mm E R h G e e p e + = = 2 ( ) ；其中 2 e e R Gm g = 为地球表面附近的重力加速度。 同理可得地球内部 r 处质点的势能为： Ep(r)=-mgh 例题：有一质量为 m，长为 l，质量线密度为的匀质细棒，求在棒的延长线上距离端点 为 r 的质点，所受到棒的引力及引力势能： 解：速度如图所示坐标系取微元 dm = dx ，则 x Gm dx x Gmdm dEp = − = − r l r Gm x dx E dE Gm r l r r l r p p + = = − = + + ln 而 2 x mdm dF G = + = = = − + + r l r G m x dx F dF Gm r l r r l r 1 1 2 方向沿 x 轴正向，即为吸引力。 利用 F 与 Ep 的关系也可求得 F。 i r l r i G m dr dE F p + = − = − 1 1 §5 行星的椭圆轨道和面积定律的验证 The application of keppler’s law 1．椭圆轨道的论证： 开普勒第一定律是根据大量的观察数据总结得出来的，既然天体之间的相互作用力 为万有引力，那么从引力定律出发就应当得到开普勒第一定律，1684 年，牛顿就作了此 计算，结论是正确的。 下面我们在相坐标中来进行验证。 设太阳的质量为 m，行星的质量为 m，如图所示，则有： dm r m P O x e O m r m P vr 参考轴 P v v er
教案第五章万有引力场 i=v,e,+voe 2=+ 行星的角动量是守恒的：甲L=心出恒量 (1) 能量为：E=m-Gm=-恒量，代入产表达式得 =出+m(9-6-恒量 (2) 由(1)式和(2)式可得： LIr2 V2nE+cmm）2=d 积分后可得：=41+ecos0) (3) 脚4，e (3)式是典型的圆锥曲线方程，因为E<0,故偏心率<1：因此进一步得知方椭圆 方程，这样，由万有引力定律也就验证了开普勒第一定律。 2.面积定律的论证： 我们知道，开普勒的等面积定律隐含着角动量守恒定律，下面我们从角动量守恒定 律来给出等面积定律。 如图，在d血时间内，径矢F扫过的面积为杰=d0 则会出0m恒量 1 即在相等时间内，径矢扫过的面积相等。 81
教案 第五章 万有引力场 81 r r o o v v e v e = + 2 2 2 r o v = v +v 而 dt dr vr = ； dt d v r = ； 2 2 2 2 + = dt d r dt dr v 行星的角动量是守恒的：即 = = dt d L mr 2 恒量 （1） 能量为： r mm E mv G = − 2 2 1 =恒量，代入 v 2 表达式得 = − + = r mm G dt d mr dt dr E m 2 2 2 2 1 2 1 恒量 （2） 由（1）式和（2）式可得： dr d r L r m E Gmm L r = − + 2 2 2 1 2 / 积分后可得： (1 cos ) 1 A e r = + （3） 其中 2 2 L Gm m A = ； 1/ 2 2 2 3 2 2 1 = + G m m EL e （3）式是典型的圆锥曲线方程，因为 E<0，故偏心率 e<1；因此进一步得知方椭圆 方程，这样，由万有引力定律也就验证了开普勒第一定律。 2．面积定律的论证： 我们知道，开普勒的等面积定律隐含着角动量守恒定律，下面我们从角动量守恒定 律来给出等面积定律。 如图，在 dt 时间内，径矢 r 扫过的面积为 ds r d 2 2 1 = 则 = = = = = m L mr m r dt d r dt ds 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 恒量 即在相等时间内，径矢扫过的面积相等。 O r d
教案第五章万有引力场 例题：发射绕地球运行的航天器时，若使航天器绕地球作椭圆轨道运动，需在一不定期 高度时，使航天器在相短的时间内沿径矢向外喷射气体以使航天器获得指向地面的速度 vT,从而实现变轨的目的。设航天器在离地面高为h=800km处以v。=3×10km运动时， 向外喷射气体，”，=800km/5,并忽略喷射气体质量，问变轨后，航天器的近地点和远地 点距地球中心的距离为多少？ 解：喷气前后，航天器的角动量和机械能守恒，则有 m。'。5。=vr +-G0m2-G" r 式中v、r为变轨后的速度和距球心距离。 根据牛顿定律有：Gm”=m 联立上述三式可得：得-2得e-)-0 由上式得5=R+0=7.01x10m 。+ 5=R+=7.40x102km 。-y, 这就是椭圆轨道的近地点和远地点距地球中心的距离。 附录：讲座：万有引力纵横谈 1.哥白尼挡住了太阳、推动了地球： 公元前l50年前后托勒玫(C.Ptolemy)根据当时的天文学知识提出于字宙的地心体 系，按照这一理论，其它行星，当时只知道五大行星（水、金、火、木、土星）绕地球 动转，从这一角度来看，行星的运动是相当复杂的，行昨表时要逆行，为解释这一现象 托勒政提出了均轮一本轮体系，即每个行星沿着一个称为本轮的圆回转，而本轮的中心 又沿着以地球为中心的称为均轮的大圆运行，如图所 示。 均
教案 第五章 万有引力场 82 例题：发射绕地球运行的航天器时，若使航天器绕地球作椭圆轨道运动，需在一不定期 高度时，使航天器在相短的时间内沿径矢向外喷射气体以使航天器获得指向地面的速度 vr，从而实现变轨的目的。设航天器在离地面高为 h=800km 处以 vo km 4 = 310 运动时， 向外喷射气体， v km s r = 800 / ，并忽略喷射气体质量，问变轨后，航天器的近地点和远地 点距地球中心的距离为多少？ 解：喷气前后，航天器的角动量和机械能守恒，则有 m v r mvr o o o = r m m mv G r m m m v v G e o e o + r − = − 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 式中 v、r 为变轨后的速度和距球心距离。 根据牛顿定律有： o o o e r v m r m m G 2 2 = 联立上述三式可得： ( ) 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 + − = − o o o o o r v v r v r r v r 由上式得 km v v v R h r o r o 3 1 7.01 10 ( ) = + + = km v v v R h r o r o 3 2 7.40 10 ( ) = − + = 这就是椭圆轨道的近地点和远地点距地球中心的距离。 附录：讲座：万有引力纵横谈 1．哥白尼挡住了太阳、推动了地球： 公元前 150 年前后托勒玫（C.Ptolemy）根据当时的天文学知识提出于宇宙的地心体 系，按照这一理论，其它行星，当时只知道五大行星（水、金、火、木、土星）绕地球 动转，从这一角度来看，行星的运动是相当复杂的，行昨表时要逆行，为解释这一现象， 托勒玫提出了均轮—本轮体系，即每个行星沿着一个称为本轮的圆回转，而本轮的中心 又沿着以地球为中心的称为均轮的大圆运行，如图所 示。 地球 行星 本轮 均轮
教案第五章万有引力场 为了使理论与观测的数据符合，托勒玫在本轮上又再加上一层又一层的本轮，使该体系 变得非常复杂，但它确实能很好地预言行星未来的位置。 波兰科学家哥白尼(Nicolaus Copernicus,1473一)觉得托勒玫的理论太复杂，如果把太 阳放在宇宙的中心，行星的运动将会大大简化，于是提出了日心体系。 为宜传和挥卫哥白尼的日心说，布鲁诺被宗教裁判活活烧死，伽利略受到迫害，后 来人们称“哥白尼挡住了太阳，推动了地球”。 2.开普勒(Johannes Keplkev)迈向椭圆体系 丹麦的科学家弟谷(Tycho Brahe)测量和记录下来20年来的行星位置。误差不超过 115度。由于弟谷数据的精确度比验证哥白尼学说所需要的高得多，人们发现哥白尼的 行星圆轨道上是粗略的近似。 开普勒是弟价的助手和事业继承人，他与弟谷不同，倾向于从理论上思考问题。他 投入自己的全部精力来整理弟谷的观测数据。他相信哥白尼基本上是对的，他也用本轮 的办法来修正哥白尼的轨道，经过七十余次圆上加圆的尝试，他终于找到一条与观测数 值相合的相当好的火星轨道，但如果继续外推，则出现8的角度偏差。于是他决定放弃 匀速圆周运动这一左老信念，从头做起。 设想从太阳向行星引一径矢，他发现这条辐线在相等的时间间隔内扫过相等的面积， 这便是开普勒第二定律的发现。 之后，开普又发现了第一定律和第三定律（只=常量） 第二定律意为着动量守恒，因为角动量 正比于矢径的掠在速度，而第三定律意味者 太阳 远日点 平方反比律。 近日点 三、万有引力定律的来源 作圆周运动的物体所受的向心力为 对于圆周轨道v=2m/T(T为周期)：则有 f4m T2 由开普勒第三定律r2/T2=K→T2=K/r3:于是有 f=mk 83
教案 第五章 万有引力场 83 为了使理论与观测的数据符合，托勒玫在本轮上又再加上一层又一层的本轮，使该体系 变得非常复杂，但它确实能很好地预言行星未来的位置。 波兰科学家哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473—）觉得托勒玫的理论太复杂，如果把太 阳放在宇宙的中心，行星的运动将会大大简化，于是提出了日心体系。 为宣传和捍卫哥白尼的日心说，布鲁诺被宗教裁判活活烧死，伽利略受到迫害，后 来人们称“哥白尼挡住了太阳，推动了地球”。 2．开普勒（Johannes Keplkev）迈向椭圆体系 丹麦的科学家弟谷（Tycho Brahe）测量和记录下来 20 年来的行星位置。误差不超过 1/15 度。由于弟谷数据的精确度比验证哥白尼学说所需要的高得多，人们发现哥白尼的 行星圆轨道上是粗略的近似。 开普勒是弟价的助手和事业继承人，他与弟谷不同，倾向于从理论上思考问题。他 投入自己的全部精力来整理弟谷的观测数据。他相信哥白尼基本上是对的，他也用本轮 的办法来修正哥白尼的轨道，经过七十余次圆上加圆的尝试，他终于找到一条与观测数 值相合的相当好的火星轨道，但如果继续外推，则出现 8的角度偏差。于是他决定放弃 匀速圆周运动这一左老信念，从头做起。 设想从太阳向行星引一径矢，他发现这条辐线在相等的时间间隔内扫过相等的面积， 这便是开普勒第二定律的发现。 之后，开普勒又发现了第一定律和第三定律（ = 2 3 T a 常量） 第二定律意为着动量守恒，因为角动量 正比于矢径的掠在速度，而第三定律意味着 平方反比律。 三、万有引力定律的来源 作圆周运动的物体所受的向心力为： r v f m 2 = 对于圆周轨道 v = 2r/T （T 为周期）；则有 2 2 4 T mv f = 由开普勒第三定律 3 2 2 3 r /T = K T = K /r − ；于是有 2 2 4 r mK f = 近日点 远日点 太阳
