教案第十五章机械波 第十五章机械波Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程一波动。波动 分为机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波：交变电磁场在空间的传 播形成电磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征， 即都具有一定的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等 现象，而且有相似的数学表达形式。 一 基本要求 1熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能 根据给定的条件求出波函数： 2理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件： 3 掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 4理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二基本内容 1波动的基本概念 1)机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2)横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波：两者相互平行的 波叫做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波， 并分别处理。 3)波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介 质中振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做 波前。 4)平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波：点波源的波面是球面，叫做球面波。在 离波源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5)波速（相速）：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的 特性无关，仅取决于传播介质的性质。 6)波长1：同一波线上相位差为2π的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它 反映波在空间上的周期性。 )波的周期T:一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。 波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8)波的频率单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相 等。 239
教案 第十五章 机械波 239 第十五章 机械波 Mechanical Wave 在上一章讨论振动的基础上，本章将进一步研究振动在空间的传播过程－波动。波动 分为机械波和电磁波。机械振动在弹性介质中的传播形成机械波；交变电磁场在空间的传 播形成电磁波。机械波和电磁波在本质上是不相同的，但是它们都具有波动的共同特征， 即都具有一定的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等 现象，而且有相似的数学表达形式。 一 基本要求 1 熟练掌握平面简谐波的波函数，并深刻理解描述波动的各物理量的物理意义，能 根据给定的条件求出波函数； 2 理解惠更斯原理和波的叠加原理，熟练掌握波的干涉原理和干涉加强，减弱条件； 3 掌握驻波的形成和特点，建立半波损失的概念 4 理解多普勒效应及其公式，并能求解一些具体问题。 二 基本内容 1 波动的基本概念 1) 机械波：形成机械波必须有波源（振动物体）和弹性介质。 2) 横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波叫做横波；两者相互平行的 波叫做纵波。横波和纵波是波动的两种基本类型，各种复杂的波都可以分解成横波与纵波， 并分别处理。 3) 波线与波面：为描述形象起见，自波源沿各传播方向画一些带箭头的线，叫做波线。介 质中振动的相位相同的各点组成的面叫做同相面或波面。在某一时刻，最前面的波面叫做 波前。 4) 平面波和球面波：波面为平面的波称为平面波；点波源的波面是球面，叫做球面波。在 离波源足够远处，且观察范围不大时，球面波可按平面波处理。 5) 波速（相速）u：振动状态（即相位）在空间的传播速度称为波速或相速。它与波动的 特性无关，仅取决于传播介质的性质。 6) 波长：同一波线上相位差为 2的两相邻质点之间的距离，即一个完整波形的长度。它 反映波在空间上的周期性。 7) 波的周期 T：一个完整波形通过波线上某点所需的时间。它反映波在时间上的周期性。 波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。 8) 波的频率：单位时间通过波线上某点的完整波形的数目，它与介质质元的振动频率相 等
教案第十五章机械波 9)波数k:它的数值等于在2π长度内所包含的完整波的个数。 10)波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： =子=水k=2织-e 2简谐波 1)简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许 多不同频率的简谐波的叠加。 2)平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿X轴传播的平面简谐波的波函数为 y=4 cs于2+p =4 eos(宁+克+j =Acos[@年2x5+p 其中：“-”表示波沿X轴正方向传播：“+”表示波沿X轴负方向传播。 3)波函数的物理意义：波函数是x和1的函数。给定x,表示x处质点的振动，即给出x 处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移：给定，表示1时刻的波形，即给出1时刻质点 离开自己平衡位置的位移。 3波传播的能量 )能量密度：单位体积介质的波动能量。 y=( 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度，万=0。 2)平均能流密度：单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流1=一Pm'Au, 能流密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介 质中，平面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比 3)波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波都遵守微分方程： 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 器++ 4惠更斯原理 240
教案 第十五章 机械波 240 9) 波数 k：它的数值等于在 2长度内所包含的完整波的个数。 10) 波速、波长、周期、频率、波数之间的关系： u k T u = = = = 2 , 2 简谐波 1) 简谐波：波源和介质质点都作简谐振动的波称为简谐波。各种复杂的波形都可看成由许 多不同频率的简谐波的叠加。 2) 平面简谐波的波函数：在无吸收的均匀介质中沿 X 轴传播的平面简谐波的波函数为 cos[( 2 ) ] cos[2 ( ) ] cos[ ( ) ] = + = + = + x A t x T t A u x y A t 其中：“−”表示波沿 X 轴正方向传播；“+”表示波沿 X 轴负方向传播。 3) 波函数的物理意义：波函数是 x 和 t 的函数。给定 x，表示 x 处质点的振动，即给出 x 处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定 t，表示 t 时刻的波形，即给出 t 时刻质点 离开自己平衡位置的位移。 3 波传播的能量 1) 能量密度：单位体积介质的波动能量。 sin ( ) 2 2 2 u x y = A t − 在一个周期内的平均值叫做平均能量密度， 2 2 2 1 = A 。 2) 平均能流密度：单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的平均能流 I A u 2 2 2 1 = ， 能流密度是矢量，方向与波数方向相同，它的大小表示波的强度。在均匀各向同性介 质中，平面波的强度不变，球面波的强度与半径的平方成反比。 3) 波动方程 在无吸收的均匀介质中，一切平面波都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 在三维空间中传播的一切波动过程都遵守微分方程： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z u t = + + 4 惠更斯原理
教案第十五章机械波 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面 5波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样：在它们相重叠的区 域内，每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6波的干涉 )波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发 出的波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的 现象称为波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 2)波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 3)干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减 弱的条件由两波在该处的相位差： 40=--受6-)决定. 4p=±2k+r k=0,1,2,…,振幅最大，A=A+A k=01,2,…,振幅最小，A=4-4 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： 4=A+A 6=5--±(2k+ A=4-A4 k=012… 7驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳 定的分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为22。波节两边的介质，振 动的相位差为π。 8多普勒相应 当波源S与观察者R之间有相对运动时，观察者所接收到的波颊率？与波源所发射的 波的频率s不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 上面一组符号表示相互靠近：下面一组符号相互远离。 241
教案 第十五章 机械波 241 介质中波阵面上各点都可看做子波波源，任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面。 5 波的叠加原理 几列波可以保持各自的特点通过同一介质，好像没有其他波一样；在它们相重叠的区 域内，每一点的振动都是各个波单独在该点产生的振动的矢量和。 6 波的干涉 1) 波的干涉现象：由频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两个波源所发 出的波，在空间相遇，出现某些点振动始终加强，某些点振动始终减弱或完全抵消的 现象称为波的干涉现象。能产生干涉现象的波叫做相关波，相应的波源叫做相干波源。 2) 波的相干条件：频率相同、振动方向不相互垂直、相位相同或相位差恒定。 3) 干涉加强和减弱的条件：两相关波源发出的波在空间某处相遇叠加时，干涉加强或减 弱的条件由两波在该处的相位差： ( ) 2 2 1 2 1 = − − r − r 决定。 1 2 1 2 0,1,2, , 0,1,2, , (2 1) 2 k A A A k A A A k k = = − = = + + = 振幅最小， 振幅最大， 当两相关波源的振动的相位相同时，干涉条件也可用波程差表示： 0,1,2, 2 (2 1) 1 2 1 2 2 1 = = − = + + = − = k A A A A A A k k r r 7 驻波 两列振幅相同的相关波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。它实际上是稳 定的分段振动。在波节和波腹。相邻两波节或波幅之间的距离为/2。波节两边的介质，振 动的相位差为。 8 多普勒相应 当波源 S 与观察者 R 之间有相对运动时，观察者所接收到的波频率R 与波源所发射的 波的频率S 不同，这种现象称为多普勒相应。 波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为 S S R R u v u v = 上面一组符号表示相互靠近；下面一组符号相互远离
教案第十五章机械波 S1机械波的几个概念Some Concepts of Mechanical Wave 一机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质 内各质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变， 于是，一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振 动起来：另一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质 点也在自己的平衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各 部分之间的弹性相互作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用着，当介质中某一质点P偏 离平衡位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于 惯性的存在，P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件 振动起来。与此同时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置 附近振动，·，就这样振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源：传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波 前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。 二横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两 种最基本的形式。 1.横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方 向移动： 2.纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传 播方向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横 波，可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传 播，这就是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动 起来。这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的“稀疏”和“稠密”区域，并且 它们以一定速度传播出去。 242
教案 第十五章 机械波 242 §1 机械波的几个概念 Some Concepts of Mechanical Wave 一 机械波的形成 机械振动在弹性介质（固体、液体和气体）内传播就形成机械波，这是因为弹性介质 内各质点之间有弹性力相互作用着。当介质中某一质点离开平衡位置时，这就发生了相变， 于是，一方面邻近质点将对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振 动起来；另一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质 点也在自己的平衡位置附近振动起来。这样，当弹性介质中的一部分发生振动时，由于各 部分之间的弹性相互作用，振动就由近及远地传播开去，形成了振动。 弹性介质：组成介质的质点或质元之间以弹性力相互作用着，当介质中某一质点P偏 离平衡位置时，由于形变相邻质点就将对它施以弹性力作用，使它回到平衡位置。但由于 惯性的存在，P质点回到平衡位置后，又将向相反方向偏离。于是质点P就在平衡位置附件 振动起来。与此同时质点P也对其相邻质点施以弹性力作用，使相邻质点也在其平衡位置 附近振动，…，就这样振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。 机械波产生条件：产生机械振动的振源；传播这种机械振动的弹性介质。 注意：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质中的质点并不是随波 前进，只在各自的平衡位置附近往复运动。 二 横波与纵波 按照质点振动方向和波的传播方向的关系，机械波可分为横波与纵波，这是波动的两 种最基本的形式。 1. 横波：介质中质点振动的方向与波的传播方向垂直，表现了波峰、波谷沿波的传播方 向移动； 2. 纵波：介质中质点振动的方向与波的传播方向平行，表现了介质的疏、密状态沿波传 播方向的移动。 用手上下抖动绳子时，绳子上各部分质点依次上下振动起来，这种波是横波。对于横 波，可以观察到绳子上交替出现凸起的波峰和凹下的波谷。并且它们以一定的速度沿绳传 播，这就是横波的外形特征。 将一根水平放置的长弹簧的一端固定，用手拍打另一端，各部分弹簧就依次左右振动 起来。这种波是纵波。纵波的外形特征是弹簧出现交替的“稀疏”和“稠密”区域，并且 它们以一定速度传播出去
教案第十五章机械波 三波长波的周期和频率波速 1波长和频率 波长用“2”表示，单位米： 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离： 周期：波前进一个波长距离所需的时间： 频率：周期的倒数。 月 u=iv 2波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长 不同。 注意：波速决定于介质：频率决定于波源 讨论几种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度：“ 固体中的波速： —6+ 横波：“= G 图151长变 数该一 液体和气体中的强滨给淀连。一侣 图15-2(a)切变 对于理想气体：因阿 体变模量： 周体：B=AV 流张，8：品 图15-2b)容变 243
教案 第十五章 机械波 243 三 波长 波的周期和频率 波速 1 波长和频率 波长用“”表示，单位米； 横波的波长：相邻的波峰或波谷间的距离； 周期：波前进一个波长距离所需的时间； 频率：周期的倒数。 T u = u = 2 波的传播速度 波速：单位时间内波动所传播的距离。 同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，波速不同，因而波长 不同。 注意：波速决定于介质；频率决定于波源。 讨论几种介质中的波速： 绳或弦上的横波速度： T u = 固体中的波速： 横波： G u = 纵波： Y u = 液体和气体中的纵波的波速： B u = 对于理想气体： M P RT u = = 体变模量： 固体： V V P B = − 液体： V V P B = − l0 l0+l F F 图 15-1 长变 V0+V f f f f 图 15-2(b) 容变 F 切 F 切 图 15-2(a) 切变
教案第十五章机械波 其中：P=f/s 杨氏模量：Y=及 I 切变模量：G= 0 表某些介质中的机械波速 介质 速度(ms) 空气 331(20℃) 海水 1531(25℃) 木材 3400-4700(纵波) 香 5854(纵波)，3150（横波） 地表 8000(纵波)，4450（横波） 四波线波面波前 1波面：振动相位相同的各点连成的面 2.波前：波源最初振动状态传播到各点所连成的面称为波前 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波等 3.波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，各向同性介质中波线与波面垂直。 波面 平面波 球面波 图15-3波阵面与波线 S2平面简谐波的波函数Wave Function of Simple Harmonic Wave 机械波是机械振动在弹性介质内的传播，它是弹性介质内大量质点参与的一种集体运 动形式。如果波沿x方向传播，要描述它，就应该知道x处的质点在任意时刻1的位移y 即应该知道x,)。我们把这种描述波传播的函数x,)叫做波动函数，简称波函数
教案 第十五章 机械波 244 其中： P = f s 杨氏模量： l l f s Y = 切变模量： f s G = 表 某些介质中的机械波速 介质 速度（m.s−1） 空气 海水 木材 钢 地表 331（20℃） 1531（25℃） 3400－4700（纵波） 5854（纵波），3150（横波） 8000（纵波），4450（横波） 四 波线 波面 波前 1. 波面：振动相位相同的各点连成的面 2. 波前：波源最初振动状态传播到各点所连成的面称为波前。 根据波前的形状可以把波分为平面波、球面波等 3. 波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，各向同性介质中波线与波面垂直。 §2 平面简谐波的波函数 Wave Function of Simple Harmonic Wave 机械波是机械振动在弹性介质内的传播，它是弹性介质内大量质点参与的一种集体运 动形式。如果波沿 x 方向传播，要描述它，就应该知道 x 处的质点在任意时刻 t 的位移 y， 即应该知道 y(x, t)。我们把这种描述波传播的函数 y(x, t)叫做波动函数，简称波函数。 平面波 波 线 波面 球面波 图 15-3 波阵面与波线
教案第十五章机械波 一平面简谐波的波函数 若波源和介质中的质点都作简谐振动，这种波称之 为简谐波。 设有一平面简谐波，在无吸收的、均匀的、无限大 的介质中沿正方向传播。建立如图所示坐标系，为简单 起见，设原点O的振动为：y=Acos 图15-4平面简谐波表达式 推导用图 其中：A为振幅：为角频率 对P点：y=Acos1-),因P点是任意一点， 0=2,u-y 故 .y=Acos2r(v-) 上式称为平面简谐波的波动方程。 若波沿x轴负向传播，则表达式为： y=Acos(+或y=Acos2a+克 结论： )波的传播不是介质质元的传播，而是振动状态的传播，某时刻某质元的振动状态将在 较晚时刻于“下游”某处出现： 2)“上游”的质元依次带动“下游”质元振动： 3)沿波的传播方向，各质元的相位依次落后： 4)同相位点质元的振动状态相同，相邻同相位点，相位差为2π。 二波函数的物理含义 1x一定时为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点做简谐振动的振动曲线，方程为： y=Acos(o-0) 2一定时为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻各质点的位移分布波形图，方程为： y=Acos(-2匹 31、x都变化时，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况，方程为： y=Acos2r(u-) 波的传播是相位的传播，也是振动这种运动形式的传播，或说是整个波形的传播，波 245
教案 第十五章 机械波 245 一 平面简谐波的波函数 若波源和介质中的质点都作简谐振动，这种波称之 为简谐波。 设有一平面简谐波，在无吸收的、均匀的、无限大 的介质中沿正方向传播。建立如图所示坐标系，为简单 起见，设原点O的振动为： y Acost 0 = 其中：Ａ为振幅；为角频率 对Ｐ点： cos ( ) u x y = A t − ，因P点是任意一点， = 2，u = 故 cos2 ( ) x y = A t − 上式称为平面简谐波的波动方程。 若波沿x轴负向传播，则表达式为： cos ( ) u x y = A t + 或 cos2 ( ) x y = A t + 结论： 1) 波的传播不是介质质元的传播，而是振动状态的传播，某时刻某质元的振动状态将在 较晚时刻于“下游”某处出现； 2) “上游”的质元依次带动“下游”质元振动； 3) 沿波的传播方向，各质元的相位依次落后； 4) 同相位点质元的振动状态相同，相邻同相位点，相位差为2。 二 波函数的物理含义 1 x一定时为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点做简谐振动的振动曲线，方程为： y = Acos(t −) 2 t一定时为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻各质点的位移分布波形图，方程为： ) 2 cos( x y = A − 3 t、x都变化时，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况，方程为： cos2 ( ) x y = A t − 波的传播是相位的传播，也是振动这种运动形式的传播，或说是整个波形的传播，波 y x x P O u 图 15-4 平面简谐波表达式 推导用图
教案第十五章机械波 速就是相位或波形向前传播的速度。总之，当和x都变化时，波函数就描述了波的传播过 程，所以这种波也称为行波，或前进波。 注意： ,一会=-加sn一：要注意区别质点的振动速度和波的传播速度 a-空-4o2cs01-手：为质点振动的加速度 02 三波动微分方程 前面我们从运动学角度讨论了简谐波的传播规律，并着重分析了平面简谐波的波函 数。现在从动力学角度讨论一般平面波所满足的微分方程。 对平面波的表达式y=Acos@1-分别求t和x的二阶偏导数 02y -4 co--克 比较两式得 上式称为波的波动方程。任何物理量不论是力学量，电学量或其他量，只要它与时 间和坐标关系满足波动方程，则这一物理量就按波的形式传播。 S3波的能量Wave Energy 一波动能量的传播 在波动传播过程中，波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接一层地传播出去，使 介质中各质点依次在各自在平衡位置附近作振动。可见介质中各质点具有动能，同时介质 因发生形变还具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。 设波在体密度为p的弹性介质中传播，在波线上坐标x处取一个体积元dV,在时刻t, 该体积元的 ·振动位移：y=Acoso(t--) 246
教案 第十五章 机械波 246 速u就是相位或波形向前传播的速度。总之，当t和x都变化时，波函数就描述了波的传播过 程，所以这种波也称为行波，或前进波。 注意： sin ( ) u x A t t y v = − − = ；要注意区别质点的振动速度和波的传播速度 cos ( ) 2 2 2 u x A t t y a = − − = ；为质点振动的加速度 三 波动微分方程 前面我们从运动学角度讨论了简谐波的传播规律，并着重分析了平面简谐波的波函 数。现在从动力学角度讨论一般平面波所满足的微分方程。 对平面波的表达式 cos ( ) u x y = A t − 分别求 t 和 x 的二阶偏导数 cos ( ) 2 2 2 u x A t t y = − − cos ( ) 2 2 2 2 u x t u A x y = − − 比较两式得 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 上式称为波的波动方程。任何物理量y不论是力学量，电学量或其他量，只要它与时 间和坐标关系满足波动方程，则这一物理量就按波的形式传播。 §3 波的能量 Wave Energy 一 波动能量的传播 在波动传播过程中，波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接一层地传播出去，使 介质中各质点依次在各自在平衡位置附近作振动。可见介质中各质点具有动能，同时介质 因发生形变还具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。 设波在体密度为的弹性介质中传播，在波线上坐标x 处取一个体积元dV，在时刻ｔ， 该体积元的 ⚫ 振动位移： cos ( ) u x y = A t −
教案第十五章机械波 。报动速度：v==-(- ·形变势能：d，=d4osno-为：（注：由d,=d导出，此处 略) 。体积元总能量：dE=d止，+d正，=pdA0sn'o-为 表明： ·总能量随时间作周期性变化，是能量传播的具体体现。 波动能量与振动能量有显著不同。振动中动能与势能相位差π2两者相互转化，使 系统的总机械能保持守恒：波动中动、势能同相，它们同时达到最大值，又同时 达到最小值。因此对任意体积元来说，它的机械能是不守恒的，即沿着波动的传 播方向，该体积元不断地从后面的介质获得能量，又不断地把能量传递给前面的 介质。这样，能量就随着波动的行进，从介质的这一部分传向另一部分。所以， 波动是能量传递的一种方式。 1.能量密度：单位体积介质中的波动能量， 2.平均能量密度 -Ifofo'sn ol--o 表明：波的平均能量密度与振幅的平方成正比，与频率的平方成正比。 二能流和能流密度 能量随波的前进在介质中传播，就好象能量在介质中流动一样，故引入能流的概念。 1.能流定义：单位时间内通过介质某一截面的能量。 p==sin( 2.平均能流万=m=4o2,能流的单位：W(瓦特)，因此波的能流也称为波的 功率。 3.能流密度：通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流。 247
教案 第十五章 机械波 247 ⚫ 振动速度： sin ( ) u x A t t y v = − − = ⚫ 振动动能： d sin ( ) 2 1 d 2 1 d 2 2 2 2 u x E mv VA t k = = − ⚫ 形变势能： d sin ( ) 2 1 d 2 2 2 u x E VA t p = − ；（注：由 2 (d ) 2 1 dE k y P = 导出，此处 略） ⚫ 体积元总能量： d d d d sin ( ) 2 2 2 u x E E E VA t = k + p = − 表明： ⚫ 总能量随时间作周期性变化，是能量传播的具体体现。 ⚫ 波动能量与振动能量有显著不同。振动中动能与势能相位差/2两者相互转化，使 系统的总机械能保持守恒；波动中动、势能同相，它们同时达到最大值，又同时 达到最小值。因此对任意体积元来说，它的机械能是不守恒的，即沿着波动的传 播方向，该体积元不断地从后面的介质获得能量，又不断地把能量传递给前面的 介质。这样，能量就随着波动的行进，从介质的这一部分传向另一部分。所以， 波动是能量传递的一种方式。 １. 能量密度：单位体积介质中的波动能量。 sin ( ) d d 2 2 2 u x A t V E w = = − ２. 平均能量密度 2 2 0 2 2 2 2 1 sin ( )d 1 t A u x A t T w T = − = 表明：波的平均能量密度与振幅的平方成正比，与频率的平方成正比。 二 能流和能流密度 能量随波的前进在介质中传播，就好象能量在介质中流动一样，故引入能流的概念。 1. 能流定义:单位时间内通过介质某一截面的能量。 sin ( ) 2 2 2 u x p = suw = suA t − ２. 平均能流 2 2 2 1 p = suw = suA ，能流的单位：W（瓦特），因此波的能流也称为波的 功率。 3. 能流密度：通过垂直于波的传播方向上单位面积的平均能流
教案第十五章机械波 1=2=u=54o2u 显然能流密度越大，单位时间垂直通过单位面积的能量就越多，表示波动越强列。所 以能流密度1也称为波的强度，它的单位为W.m2。 S4惠更斯原理波的衍射、反射和折射Huygens principle 一惠更斯原理 在总结大量现象的基础上，荷兰物理学家惠更斯于1679年首先提出：介质中波动传播 到各点，都可以视为发射子波的波源，在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。 如图所示： 对于任何波动过程（机械波或电磁波），不论其传播波动的介质是均匀的还是非均匀 的，是各向同性的还是各向异性的，惠更斯原理都是适用的。若己知某一时刻波前的位置， 就可以根据这一原理，用几何作图的方法，确定出下一时刻波前的位置，从而确定波传播 的方向。 二波的衍射 当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生方向改变，称为波的衍 射。衍射现象显著与否与障碍物的大小与波长之比有关。若障碍物的宽度远大于波长，衍 射现象不明显：若障碍物的宽度与波长差不多，衍射现象就比较明显：若障碍物宽度小于 波长，则衍射现象更加明显。声学中，由于声音的波长与所碰到的障碍物的大小差不多， 故声波的衍射较显著。机械波和电磁波都会产生衍射现象，衍射现象是波动的重要特征之 用惠更斯原理能够定性地说明衍射、干涉及反射等现象。 三波的反射和折射 反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回， 形成反射波，另一部分进入另一种介质形成折射波。 1反射定律 根据实验，可得到反射定律： 1)反射线、入射线和界面的法线在同一平面内： 2)反射角等于入射角，即 '=i 下面用惠更斯原理证明这个定律：设一平面波以入射到两者介质的界面上。根据惠 248
教案 第十五章 机械波 248 wu A u S p I 2 2 2 1 = = = 显然能流密度越大，单位时间垂直通过单位面积的能量就越多，表示波动越强列。所 以能流密度 I 也称为波的强度，它的单位为 W.m−2。 §4 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射 Huygens principle 一 惠更斯原理 在总结大量现象的基础上，荷兰物理学家惠更斯于1679年首先提出：介质中波动传播 到各点，都可以视为发射子波的波源，在其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。 如图所示： 对于任何波动过程（机械波或电磁波），不论其传播波动的介质是均匀的还是非均匀 的，是各向同性的还是各向异性的，惠更斯原理都是适用的。若已知某一时刻波前的位置， 就可以根据这一原理，用几何作图的方法，确定出下一时刻波前的位置，从而确定波传播 的方向。 二 波的衍射 当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生方向改变，称为波的衍 射。衍射现象显著与否与障碍物的大小与波长之比有关。若障碍物的宽度远大于波长，衍 射现象不明显；若障碍物的宽度与波长差不多，衍射现象就比较明显；若障碍物宽度小于 波长，则衍射现象更加明显。声学中，由于声音的波长与所碰到的障碍物的大小差不多， 故声波的衍射较显著。机械波和电磁波都会产生衍射现象，衍射现象是波动的重要特征之 一。 用惠更斯原理能够定性地说明衍射、干涉及反射等现象。 三 波的反射和折射 反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回， 形成反射波，另一部分进入另一种介质形成折射波。 1 反射定律 根据实验，可得到反射定律： 1) 反射线、入射线和界面的法线在同一平面内； 2) 反射角等于入射角，即 i = i 下面用惠更斯原理证明这个定律：设一平面波以u入射到两者介质的界面上。根据惠