第三章 大学物理辅导 功与能 第三章功与能 一、教材系统的安排和教学目的 1、教材内容的安排：在牛顿运动定律的基础上，进一步讲投力对空间累积作用的规律 即功、能、动能定理 、功能原理、机械能守恒及其应用。 2、教学目的：使学生理解功、保守力、动能、势能等概念，掌握动能原理、功能原理 及机械能转换与守恒定律 二、教学要求 1、理解功的概念（它的定义、量值、单位、物理意义），会计算恒力做功和变力做功。 要明确是哪个力对物体做功 2、理解势能与保守力的概念。明确势能是一种状态量，每种势能都和一种保守力相对 应。势能表示物质具有潜在的做功本领 3、理解动能的概念，掌捏动能原理 4、掌握功能原理和机械能转换与守恒定律，并能比较熟练地运用。 三、内容提要 1.功 定义W=F,3=-F.S.cosa→为恒力做功 W=「F。d5 →为变力做功 力、位移、力与位移之间夹伯的余弦二者称为做功的三要素。 功的正负：力对物体做正功，是表明施力者消耗了本身的能量，反之，力对物体做负 功，实际上是表明物体克服该力做功。 意义：功是物体能量变化的一种量度，是力对空间的累积作用，是个过程量。 2、保守力：凡做功与路径无关，而只与起点及终点位置有关的力，均称作保守力。它 的性质可表为·=0，即保守力的环流为零。 3、耗散力：凡做功不仅与起点及终点位置有关，而且与路径也有关的力，称之为耗散 力（也叫非保守力）。耗散力的环流不等于零，即：了，5≠0。 4、势能 定义 Ep=mgh→重力势能，一般取地面为势能零点 Ep=公2→弹性势能，一般取弹簧原长为势能零点。 意义：势能是描写物体系统内物体间相对位置（即状态）的物理量。它表明系统具有 潜在的做功本领 是个状态量。 说明：势能是个相对量，为系统所具有，随零点势能选取的不同而不同，势能有正负。 引进势能的前提条件是系统内存在有保守力。 5、动能原理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。我们也把它叫做质点的动 ~16~
第三章 大学物理辅导 功与能 ～16～ 第三章功与能 一、教材系统的安排和教学目的 1、教材内容的安排：在牛顿运动定律的基础上，进一步讲授力对空间累积作用的规律， 即功、能、动能定理、功能原理、机械能守恒及其应用。 2、教学目的：使学生理解功、保守力、动能、势能等概念，掌握动能原理、功能原理 及机械能转换与守恒定律 二、教学要求 1、理解功的概念（它的定义、量值、单位、物理意义），会计算恒力做功和变力做功。 要明确是哪个力对物体做功 2、理解势能与保守力的概念。明确势能是一种状态量，每种势能都和一种保守力相对 应。势能表示物质具有潜在的做功本领 3、理解动能的概念，掌握动能原理 4、掌握功能原理和机械能转换与守恒定律，并能比较熟练地运用。 三、内容提要 1、功 定义 W = F • S = F S cos 为恒力做功 W F dS S = • 为变力做功 力、位移、力与位移之间夹角的余弦三者称为做功的三要素。 功的正负：力对物体做正功，是表明施力者消耗了本身的能量，反之，力对物体做负 功，实际上是表明物体克服该力做功。 意义：功是物体能量变化的一种量度，是力对空间的累积作用，是个过程量。 2、保守力：凡做功与路径无关，而只与起点及终点位置有关的力，均称作保守力。它 的性质可表为 f dS S = 0 ，即保守力的环流为零。 3、耗散力：凡做功不仅与起点及终点位置有关，而且与路径也有关的力，称之为耗散 力（也叫非保守力）。耗散力的环流不等于零，即： f dS S 0 。 4、势能 定义： EP = mgh 重力势能，一般取地面为势能零点。 E kx P = 1 2 2 弹性势能，一般取弹簧原长为势能零点。 意义：势能是描写物体系统内物体间相对位置（即状态）的物理量。它表明系统具有 潜在的做功本领，是个状态量。 说明：势能是个相对量，为系统所具有，随零点势能选取的不同而不同，势能有正负。 引进势能的前提条件是系统内存在有保守力。 5、动能原理：合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。我们也把它叫做质点的动
第三章 大学物理辅导 功与能 能定理，它可表示为 W=m-mi 利用动能原理解决动力学问愿，特别是变速运动的动力学问题，要比利用牛顿运动定律方 便得多。 6、功能原理：外力与非保守内力对系统做的功，等于系统机械能的增量。即： W=(Ep +Ek2)-(En+Ek) 说明：在应用功能原理解决问题时，不要再计算保守力（象重力、弹力等）所做的功。 7、机械能转换与守恒定律：E+E1=E2+Em 应用条件：系统内只有保守内力做功，而其他力不做功，外力也不做功 四、解题步蝶 无论是利用动能原理、功能原理还是机械能转换与守恒定律去解题，它们的共同特点 是“只顾两头，不管中间”即只考虑系统的初态与末态能量，而不考虑中间过程如何。 1、确定研究对象：质点或系统： 2、分析受力情况，计算合外力所做的功： 3、确定初态和终态的能量（动能或机械能） 4、列出有关方程： 5、求解。 五、典型例题 例1、如图31所示，一质量为m的摆锤与铅直线之间的夹角为日，求(1)当夹角增加d日 时重力所微的功： (2)当摆锤从日=0运动到0=0时，重力所做的功，用功的定义计算 解 (1)如图所示先求出重力所做的元功或微功 ∠∠ dW=卫·dS=mgds·cosa上式中ds为摆锤所通过的微分弧长， α角为此刻重力与元位移方向之间的夹角，元位移方向为顺时针， 即向右摆为日正， 但ds=d0,故cosa= cos(π-)=-sing 所以dW=-mgl sinad0→由此已将元功表示为夹角的函数。 (2)总功w=∫dW=-mgl sin ad0=mgl(cas0。-) 图3-1 例2、一人从10米深的井中提水。开始时桶中装有10千克的水，由于 水桶漏水，每升高1米要漏去0.2kg的水。求匀速地把水桶从井中提升 F 到井口，人所做的功。 Q 解：由题意知，人的拉力与水桶重量相等。选择铅直向上为坐标H轴 的正方向，井中水面处为坐标原点，则在任一时刻 (即在位置Q时) 水桶的重量为（见图3-2） P=Po-kh=mg-0.2gh k=0.2千克/米，是指每升高单位长度(1米)所漏去水的质量，但重力 =mgh,m=0.2,故kh-0.2gh人对水桶的拉力为F=P=(98.0-1.96h)N 17
第三章 大学物理辅导 功与能 ～17～ 能定理，它可表示为： W = mv − mv 1 2 1 2 2 2 1 2 利用动能原理解决动力学问题，特别是变速运动的动力学问题，要比利用牛顿运动定律方 便得多。 6、功能原理：外力与非保守内力对系统做的功，等于系统机械能的增量。即： W = EP + EK − EP + EK ( ) ( ) 2 2 1 1 说明：在应用功能原理解决问题时，不要再计算保守力（象重力、弹力等）所做的功。 7、机械能转换与守恒定律： EK1 + EP1 = EK2 + EP2 应用条件：系统内只有保守内力做功，而其他力不做功，外力也不做功。 四、解题步骤 无论是利用动能原理、功能原理还是机械能转换与守恒定律去解题，它们的共同特点 是“只顾两头，不管中间”即只考虑系统的初态与末态能量，而不考虑中间过程如何。 1、确定研究对象：质点或系统； 2、分析受力情况，计算合外力所做的功； 3、确定初态和终态的能量（动能或机械能）； 4、列出有关方程； 5、求解。 五、典型例题 例 1、如图 3-1 所示，一质量为 m 的摆锤与铅直线之间的夹角为 ，求（1）当夹角增加 d 时重力所做的功；（2）当摆锤从 =0 运动到 = 0 时，重力所做的功，用功的定义计算。 解 ： （ 1 ）如图所示先求出重力所做的元功或微功： dW = PdS = mgds cos 上式中 ds 为摆锤所通过的微分弧长， 角为此刻重力与元位移方向之间的夹角，元位移方向为顺时针， 即向右摆为 正。 但 ds=l·d ，故 cos = cos( −) = −sin 所以 dW = −mglsind 由此已将元功表示为夹角的函数。 （2）总功 W = dW = −mgl d = mgl − sin (cos ) 0 0 0 1 例 2、一人从 10 米深的井中提水。开始时桶中装有 10 千克的水，由于 水桶漏水，每升高 1 米要漏去 0.2kg 的水。求匀速地把水桶从井中提升 到井口，人所做的功。 解：由题意知，人的拉力与水桶重量相等。选择铅直向上为坐标 H 轴 的正方向，井中水面处为坐标原点，则在任一时刻（即在位置 Q 时）， 水桶的重量为（见图 3-2） P=P0－kh=mg-0.2gh k=0.2 千克/米，是指每升高单位长度（1 米）所漏去水的质量，但重力 =mgh，m=0.2，故 kh=0.2gh 人对水桶的拉力为 F = P = (98.0 −1.96h)N o l d m P 图 3-1 H F Q h o P 图 3-2
第三章 大学物理辅导 功与能 则W=∫m=F.h=(98.0-196hh=82 例3、倔强系数为10ON·m的弹簧，铅直地放在地板上。一个25克的物体放在弹簧的顶 端，但不系在弹簧上。若把弹簧压缩50厘米，然后物体从静止被释放出来。问此物可抛出 比原弹簧高多少 解：由题意作出示意图33。由题意知物体自释放达到最高点 过程中只受到重力和弹力作用，所以此过程机械能守恒。依示 意图有 m mg%+(y=mh Ah=么-么=(2 100×(5×102)2 =0.51米 2mg 2×25×103×9.8 77777 31 自图33知，物体抛出后距原弹簧高度为 h=△h-1=0.51-0.05=0.46米。 例4、一小车沿图3.4所示的光滑弯曲轨道自A点下滑，小车在A点时的速度为零，轨道 的园环部分有一对称的缺口BC。已知园环的半径为R,缺口的张角∠BOC=2a。问A点 的高度h应等于多少才能使小车越过缺口并能走完整个园环？ 解：由题意知小车飞越BC缺口时做斜抛运动，其射程 BC2 Rsina。设小车在B点时的速度为VB,欲使小车刚 好越过BC,要求满足2Rsi血a=gc0sa.2yB:sinC g h 这一条件。 由上式得：后= gR 图3-4 cosa 由机械能守恒得(A点运动到B点时) mgh mg(R+Rcosa)+m 由式(1)与(2)得h=(1+cosa+ 1 六、课堂练习题 1、判断题 (1)不管在何种情况下，摩擦力总是作负功() (2)保守力做功的结果总是使系统的势能减少() (3)在应用功能原理解题时， 不应再考虑保守内力做的功( (4)在弹性限度内，如果将弹簧的伸长量增加到原来的两倍，那么弹性势能也增加为原来 的两倍() (5)重力势能仅为物体本身所具有，但它的大小却与距地面的高度有关() 2、填空题 18
第三章 大学物理辅导 功与能 ～18～ 则 W dW F dh h dh J H = = = − = 0 0 10 (98.0 1.96 ) 882 例 3、倔强系数为 100N·m-1 的弹簧，铅直地放在地板上。一个 25 克的物体放在弹簧的顶 端，但不系在弹簧上。若把弹簧压缩 50 厘米，然后物体从静止被释放出来。问此物可抛出 比原弹簧高多少？ 解：由题意作出示意图 3-3。由题意知物体自释放达到最高点 过程中只受到重力和弹力作用，所以此过程机械能守恒。依示 意图有 mgh1 k l mgh 2 2 1 2 + ( ) = h h h k l mg = − = = = 2 1 − 2 2 2 3 2 100 5 10 2 25 10 9 8 0 51 ( ) ( ) . . 米 自图 3-3 知，物体抛出后距原弹簧高度为 h = h − l = 0.51− 0.05 = 0.46 米。 例 4、一小车沿图 3-4 所示的光滑弯曲轨道自 A 点下滑，小车在 A 点时的速度为零，轨道 的园环部分有一对称的缺口 BC。已知园环的半径为 R，缺口的张角 BOC = 2 。问 A 点 的高度 h 应等于多少才能使小车越过缺口并能走完整个园环？ 解：由题意知小车飞越 BC 缺口时做斜抛运动，其射程 BC=2Rsin 。设小车在 B 点时的速度为 vB ，欲使小车刚 好越过 BC，要求满足 2 2 R v v g B B sin cos sin = 这一条件。 由上式得： v gR B 2 = cos (1) 由机械能守恒得（A 点运动到 B 点时） mgh mg R R mv = + + B ( cos) 1 2 2 (2) 由式（1）与（2）得 h = ( + cos + R cos 1 ) 1 2 六、课堂练习题 1、判断题 （1）不管在何种情况下，摩擦力总是作负功（ ） （2）保守力做功的结果总是使系统的势能减少（ ） （3）在应用功能原理解题时，不应再考虑保守内力做的功（ ） （4）在弹性限度内，如果将弹簧的伸长量增加到原来的两倍，那么弹性势能也增加为原来 的两倍（） （5）重力势能仅为物体本身所具有，但它的大小却与距地面的高度有关（ ） 2、填空题 m h h2 l l0 h1 图 3-3 A vB C B h O 图 3-4
第三章 大学物理铺导 功与能 (1) 一颗速率为700m·5~1的子 打穿一块木板后速率降低为500m~,则它损耗的 动能△E5= 如果让它继续穿过与第一块完全相同的第二块木板，则子弹 的速率会降低到 米秒。 (2)一根不均匀的金属链条重3千克，长1米，盘曲在地面上手提一端至另一端恰好离开 地面需做12焦耳 如果提另 端至这一端恰好离开地面需做功W 3)如图35所示，弹性系数分别为KK。的轻弹一一心一后 簧串联后，一端固定，另一端用一力将其拉至平衡位 置，此时两弹簧弹性势能之比： 图3-5 EpEm= (4)质量为100kg的重物平放在卡车底板上，卡车以4m52的加速度运动，4秒内摩擦 力对该货物所做的功W (5)把一质量为10千克的物体，竖直上拉了38米，速度由0增加到4米/秒，则拉力所做 的功W= 3、单重选择题 (1)如图36所示，质量为m的物体从离地面h高度 力m 处A点，自静止开始沿坡路滑下，到达B点停止，要 B 把物体从B点拉回原处，则外力所做的功至少应为 A、mgh:B、2mgh:C、3mgh:D以上说法全错。 图3-6 (2)一地下蓄水池深3米，面积为100米，水面位于地面下2米处。如图3-7所示，现要 用一抽水机将水全部抽到地面上，它所做的功应是（取g=10米/秒2） A、25X10焦耳：B、250焦耳 C、2×10焦耳：D、 300×10 焦耳 (3)用铁锤将一铁钉击入木块，设铁钉受到的阻力与其进入木块 3米 的深度成正比：铁锤两次击钉的速度相同，第一次将钉击入木块↓ 内1厘米：则第二次能将钉继续击入的深度为： 图3-7 A、1厘米：B、0.5厘米：C、V2厘米：D、(V2-1)厘米。 (4)如图3-8所示，一轻弹簧，倨强系数K=300N·m,与弹簧固接的滑块A质量为2m, A靠压在一起的滑块B质量为 平桌面是光滑 &A回 的 起始时弹簧被压编 10里 将系统由静止释放 此后滑块A运动动能的最大值为： 777777 A、1焦耳：B、300焦耳：C、15焦耳：D、条件不足， 无法确定。 (5)不同的物体只在重力作用下，从A点由静止 开始沿不同的路径运动到B点时，见图39，它价 A、速度相同：B速率相同：C、质量大的速率大： D、质量小的速率大。 6分B 七、阅读范围与作业 19
第三章 大学物理辅导 功与能 ～19～ （1）一颗速率为 700 ms −1 的子弹，打穿一块木板后速率降低为 500 ms −1 ，则它损耗的 动能 Ek = ；如果让它继续穿过与第一块完全相同的第二块木板，则子弹 的速率会降低到 米/秒。 （2）一根不均匀的金属链条重 3 千克，长 1 米，盘曲在地面上手提一端至另一端恰好离开 地面需做 12 焦耳的功，如果提另一端至这一端恰好离开地面需做功 W= 。 （3）如图 3-5 所示，弹性系数分别为 K1、K2 的轻弹 簧串联后，一端固定，另一端用一力将其拉至平衡位 置，此时两弹簧弹性势能之比： EP1/EP2= 。 （4）质量为 100kg 的重物平放在卡车底板上，卡车以 4 ms −2 的加速度运动，4 秒内摩擦 力对该货物所做的功 W= 。 （5）把一质量为 10 千克的物体，竖直上拉了 38 米，速度由 0 增加到 4 米/秒，则拉力所做 的功 W= 。 3、单重选择题 （1）如图 3-6 所示，质量为 m 的物体从离地面 h 高度 处 A 点，自静止开始沿坡路滑下，到达 B 点停止，要 把物体从 B 点拉回原处，则外力所做的功至少应为 A、mgh；B、2mgh；C、3mgh；D 以上说法全错。 （2）一地下蓄水池深 3 米，面积为 100 米 2，水面位于地面下 2 米处。如图 3-7 所示，现要 用一抽水机将水全部抽到地面上，它所做的功应是（取 g=10 米/秒 2） A、2.5×106 焦耳；B、250 焦耳；C、2×106 焦耳；D、300×103 焦耳。 （3）用铁锤将一铁钉击入木块，设铁钉受到的阻力与其进入木块 的深度成正比；铁锤两次击钉的速度相同，第一次将钉击入木块 内 1 厘米；则第二次能将钉继续击入的深度为： A、1 厘米；B、0.5 厘米；C、 2 厘米；D、( 2 − 1) 厘米。 （4）如图 3-8 所示，一轻弹簧，倔强系数 K=300 N m −1 ，与弹簧固接的滑块 A 质量为 2m， 与 A 靠压在一起的滑块 B 质量为 m，水平桌面是光滑 的。起始时弹簧被压缩 10 厘米；现将系统由静止释放， 则此后滑块 A 运动动能的最大值为： A、1 焦耳；B、300 焦耳；C、1.5 焦耳；D、条件不足， 无法确定。 （5）不同的物体只在重力作用下，从 A 点由静止 开始沿不同的路径运动到 B 点时，见图 3-9，它们 的 A、速度相同；B 速率相同；C、质量大的速率大； D、质量小的速率大。 七、阅读范围与作业 K1 K2 F 图 3-5 A m h B 图 3-6 2 米 3 米 图 3-7 K A B 图 3-8 A B 图 3-9
第三章 大学物理辅导 功与能 、阅读范围：P 2、作业：P10,32,3-7,3-122,3-15,3-20,3-223-27.330。 3、提示 3-7、解：拉力F=f+f=k1x+k2x=k1+kx 拉力之功W=「dm=「F.本=(k1+k)d=(k+k2)x 30,解0)摩指力之功吗=m2-m=-名m @由形=fs=-omg2j=-名m 用数品 aM器- kAI +24g△W 3-30、见图3-10所示，在法向可得 gosa-V=m天 当雪橇欲离开冰山时，N=O。 则上式变为mg cosa=m' R 由示意图可知c0sa=R ② 再由机械能守恒得mgR=mgh+ (3) 由)、2)、3)可解出h=号R。 ~20
第三章 大学物理辅导 功与能 ～20～ 1、阅读范围：P72－99 2、作业：P101，3-2，3-7，3-122，3-15，3-20，3-22，3-27，3-30。 3、提示 3-7、解：拉力 F=f1+f2=k1x+k2x=(k1+k2)x 拉力之功 W dW F dx k k dx k k x x = = = + = + ( ) ( ) 1 2 0 1 2 1 2 2 3-20、解：（1）摩擦力之功 W mv mv mv f = − = − 1 2 1 2 3 8 2 0 2 0 2 （2）由 W f s mg r mv f = = −( )(2 ) = − 3 8 0 2 得 = 3 16 0 2 v rg （3）转数 N mv mv = = 0 2 0 2 2 3 8 4 3 / 转 3-27、解：由功能原理有 −mgl − kl = − mv 1 2 1 2 2 2 v = + k l m g l 2 2 3-30、见图 3-10 所示，在法向可得 mg N m v R cos − = 2 当雪橇欲离开冰山时，N=0。 则上式变为 mg m v R cos = 2 (1) 由示意图可知 cos = h R (2) 再由机械能守恒得 mgR = mgh + mv 1 2 2 (3) 由（1）、（2）、（3）可解出 h = R 2 3 。 N R h P