第四章 大学物理辅导 动量 第四章动量 一、教材系统的安排与教学目的 1、教材系统的安排：在牛顿运动定律及功与能的基础之上，进一步讲授力对时间累积 作用的规律，即讲授动量、冲量、动量定理、 动量守恒定律及其应用， 2、教学目的：使学生理解冲量、动量、弹性碰撞与非弹性碰撞等概念，较牢固地掌握 力对时间累积作用的规律。 二、教学要求 1、理解动量与冲量的概念。动量是描述物体（质点）运动量大小的一个物理量，是 个矢量。在研究碰撞和反碰撞问时，应用动量的概念是很方便的。冲量描述了力对时间 的累积作用，它也是一个矢量，其方向为力的方向 2、牢固的掌握质点的动量原理，并能较熟练地应用。 3、掌握研究对象（质点或质点组）动量守恒条件，能熟练地判断，并能运用动量守恒 定律解决有关问题。 三、内容提要 1、冲量 定义：7=-F,△1一恒力的冲量，方向与力相同 7=了.→变力的冲量 意义：为力的时间累积，是物体动量发生变化的原因，为过程量。 2动量 定义：P=m一对质点而言，其方向与速度方向相同 意义：为机械运动的一种量度，是状态量。 3、冲力：作用时间极短而数值变化又很大 4、动量原 表述：合外力的冲量等于物体动量的增量 公式i=∫子dh=m-mm→矢量式，于：为变力 7=F.△M=mi=m。→恒力的冲量 此时，在相同时间内，变力的冲量已被恒力户的冲量所取代，在应用时将矢量式写成 直角坐标轴上的分量式：F·△M-mx-ox,F,·△1=m,-ov,F,F,为平均冲力 分量。 5、动量守恒定律 公式∑m,可=恒矢量一 →分量式 i nw-C 应用条件：系统内各物体所受外力矢量和为零 21
第四章 大学物理辅导 动量 ～21～ 第四章动量 一、教材系统的安排与教学目的 1、教材系统的安排：在牛顿运动定律及功与能的基础之上，进一步讲授力对时间累积 作用的规律，即讲授动量、冲量、动量定理、动量守恒定律及其应用。 2、教学目的：使学生理解冲量、动量、弹性碰撞与非弹性碰撞等概念，较牢固地掌握 力对时间累积作用的规律。 二、教学要求 1、理解动量与冲量的概念。动量是描述物体（质点）运动量大小的一个物理量，是一 个矢量。在研究碰撞和反碰撞问题时，应用动量的概念是很方便的。冲量描述了力对时间 的累积作用，它也是一个矢量，其方向为力的方向。 2、牢固的掌握质点的动量原理，并能较熟练地应用。 3、掌握研究对象（质点或质点组）动量守恒条件，能熟练地判断，并能运用动量守恒 定律解决有关问题。 三、内容提要 1、冲量 定义： I = F t 恒力的冲量，方向与力相同 I f dt t = 0 变力的冲量 意义：为力的时间累积，是物体动量发生变化的原因，为过程量。 2、动量 定义： P = mv 对质点而言，其方向与速度方向相同 意义：为机械运动的一种量度，是状态量。 3、冲力：作用时间极短而数值变化又很大 4、动量原理 表述：合外力的冲量等于物体动量的增量 公式 I f dt mv mv t = = − 0 0 矢量式, f ：为变力 I = F t = mv = mv0 恒力的冲量 此时，在相同时间内，变力的冲量已被恒力 F 的冲量所取代，在应用时将矢量式写成 直角坐标轴上的分量式： F t mv mv x x x = − 0 , F t mv mv y y y = − 0 , Fx Fy , 为平均冲力 分量。 5、动量守恒定律 公式 m v m v n C m v C i i i n i ix i i iy i n = = = = = = 1 1 1 1 2 恒矢量 分量式 应用条件：系统内各物体所受外力矢量和为零
第四章 大学物理辅导 动量 即∑元=0，元为外力 或∑ha=0,∑5，=0 6、完全弹性碰撞 「动量守恒：m,可10+m2下20=m1+m2可2 性质 动能守恒：m品+%哈=m+%时 入、牛顿第二定律的动量表达式：下-护_4 四、解题步骤 1、明确物理过程，根据问题需要和计算方便，确定研究对象（质点或系统） 2、进行受力分析： 3、描写受力作用前后的运动状态。即建立坐标系或规定正方向，确定作用前的动量和 作用后的动量： 4、根据质点动量定理列方程，如果系统所受外力矢量和为零，则列出动量守恒方程： 5、求解。必要时进行讨论。 五、典型例愿 例1、静水中有两只质量皆为M的小船，第一只船上站着一质量为m的人，如图41所示。 人以水平向右的速度ⅴ从第一只船上跳到第二只船上。试求此时两只船前进的速度（设船 与水无摩擦阻力) 解：选取水平向右为正方向 0 →F (1)人从第 一只船上跳出 ,取人和第一只船为 M 究对象。在它们相互作用期间，水平方向上没有 受到外力作用，即∑F=0,从而在水平方向上 总动量守恒。跳前，总动量为零：跳后，人的动 图41 量为mv,设船的速度为V1:则船的动量为MV, 因而总动量为mv+M1。根据动量守恒定律得： mv+MV1=0 所以=一”(（为负值，说明第一只船的实际运动方向与假设的向前方向相反)。 (2)人跳到第二只船上。取人和第二只船为研究对象。在它们相碰撞过程中，∑F=0, 从而在水平方向上总动量守恒。碰撞前，人有动量：碰撞后，设人和船的速度为V,则人 和船的总动量为M什m)Vz。根据动量守恒定律得： mv-(M+m)V2 所以=M+m V2为正值，说明实际运动方向与原来的假定运动方向相同) -22
第四章 大学物理辅导 动量 ～22～ 即 Fi = 0 Fi , 为外力 或 Fix F i n iy i n = = = = 1 1 0, 0 6、完全弹性碰撞 性质 动量守恒 动能守恒 ： ： m v m v m v m v m v m v m v m v 1 10 2 20 1 1 2 2 1 10 2 2 20 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 + = + + = + 7、牛顿第二定律的动量表达式： F dP dt d dt = = (mv ) 四、解题步骤 1、明确物理过程，根据问题需要和计算方便，确定研究对象（质点或系统） 2、进行受力分析； 3、描写受力作用前后的运动状态。即建立坐标系或规定正方向，确定作用前的动量和 作用后的动量； 4、根据质点动量定理列方程，如果系统所受外力矢量和为零，则列出动量守恒方程； 5、求解。必要时进行讨论。 五、典型例题 例 1、静水中有两只质量皆为 M 的小船，第一只船上站着一质量为 m 的人，如图 4-1 所示。 人以水平向右的速度 v 从第一只船上跳到第二只船上。试求此时两只船前进的速度（设船 与水无摩擦阻力） 解：选取水平向右为正方向。 （1）人从第一只船上跳出，取人和第一只船为研 究对象。在它们相互作用期间，水平方向上没有 受到外力作用，即 Fx = 0 ，从而在水平方向上 总动量守恒。跳前，总动量为零；跳后，人的动 量为 mv，设船的速度为 V1；则船的动量为 MV1， 因而总动量为 mv+MV1。根据动量守恒定律得： mv+MV1=0 所以 V m M v 1 = − （V1 为负值，说明第一只船的实际运动方向与假设的向前方向相反）。 （2）人跳到第二只船上。取人和第二只船为研究对象。在它们相碰撞过程中， Fx = 0， 从而在水平方向上总动量守恒。碰撞前，人有动量；碰撞后，设人和船的速度为 V2，则人 和船的总动量为(M+m)V2。根据动量守恒定律得： mv=(M+m)V2 所以 V mv M m 2 = + （V2 为正值，说明实际运动方向与原来的假定运动方向相同） v M m M 图 4-1
第四章 大学物理辅导 动量 例2、两个质量不同的球A与B相互碰撞，A球原来静止，B 速率为vo 碰撞后，B具有速 V2,并沿与原来路径相到 直的方向运动，求碰撞后A球的运动方向。 解：方法1由题意作示意图和坐标系如图42所示。两个球碰 撞过程中无外力作用，故动量守恒： mgvo =cosa (1) B 0=mava sina-mgo (2) 图4-2 式2)11)得ga=7,a=2634 方法山：利用矢量三角形方法。首先写出动量守恒的矢量式： mgoB=m44+mg下B 其中。B沿X轴正方向，下B沿Y轴负方向。作出矢量三角形， m 令mB水平向右，大小为两个单位长：mB整直向下，大小 图4-3 为一个单位长，二者有同一起点O。则以mg下g引向msoB的封 闭线矢量，即三角形的斜边，就是所要求出的m下4·并且： =g10.5=2634'见图4-3 mRYo 例3、如图44所示 一质量为2kg的木块，系在一弹簧的末端，静止在光滑平面上，弹簧 的倔强系数为200N·m',一质量为10g的子弹射进木块后，木块把弹簧压缩了5cm,求子 弹的速率。 子弹木块 解：设子弹的速率为V,子弹刚射入木块瞬间，二者具有 速率V,子弹和木块的质量分别为m和M。以子弹射向 木块的方向为坐标轴正方向，由题意知水平方向无外力作 用，故动量守恒，有 图44 mv=(M+m)V 1) 子弹射入木块后压缩弹簧△的过程中，只有弹性力做功，故机械能守恒，而有： (M+my=k(M) (2) 解以上两式有v=1+m-AW=1O0mg 、课堂练习题 1、判 新题 (1)一个物体具有动量而无机械能是不可能的( (2)一质点在空中作斜抛运动，忽略空气阻力，则质点的动量变化率为一恒量() (3)质量一定的物体在运动过程中如动能发生变化则其动量也一定发生变化() (4)当两个物体发生完全弹性碰撞时，则系统的动能、动量均守恒（) 23
第四章 大学物理辅导 动量 ～23～ 例 2、两个质量不同的球 A 与 B 相互碰撞，A 球原来静止，B 球速率为 v0，碰撞后，B 具有速率 v0/2，并沿与原来路径相垂 直的方向运动，求碰撞后 A 球的运动方向。 解：方法 I 由题意作示意图和坐标系如图 4-2 所示。两个球碰 撞过程中无外力作用，故动量守恒； m v m v B 0 = A A cos (1) 0 1 2 = − 0 m v m v A A B sin (2) 式（2）/（1）得 tg = = 1 2 26 34 0 , 方法 II：利用矢量三角形方法。首先写出动量守恒的矢量式： m v m v m v B B A A B B 0 = + 其中 v0B 沿 X 轴正方向， vB 沿 Y 轴负方向。作出矢量三角形， 令 mB v0B 水平向右，大小为两个单位长；mB vB 竖直向下，大小 为一个单位长，二者有同一起点 O。则以 mB vB 引向 mB v0B 的封 闭线矢量，即三角形的斜边，就是所要求出的 mA v A 。并且: = = = − − tg m v m v tg B B 1 0 0 1 0 1 2 0.5 26 34 见图 4-3 例 3、如图 4-4 所示，一质量为 2kg 的木块，系在一弹簧的末端，静止在光滑平面上，弹簧 的倔强系数为 200N·m-1，一质量为 10g 的子弹射进木块后，木块把弹簧压缩了 5cm，求子 弹的速率。 解：设子弹的速率为 v，子弹刚射入木块瞬间，二者具有 速率 V，子弹和木块的质量分别为 m 和 M。以子弹射向 木块的方向为坐标轴正方向，由题意知水平方向无外力作 用，故动量守恒，有： mv=(M+m)V (1) 子弹射入木块后压缩弹簧 l 的过程中，只有弹性力做功，故机械能守恒，而有： 1 2 1 2 2 2 ( M + m)V = k(l) (2) 解以上两式有 v M m m = k l m s + = − 100 1 六、课堂练习题 1、判断题 （1）一个物体具有动量而无机械能是不可能的（ ） （2）一质点在空中作斜抛运动，忽略空气阻力，则质点的动量变化率为一恒量（ ） （3）质量一定的物体在运动过程中如动能发生变化则其动量也一定发生变化（ ） （4）当两个物体发生完全弹性碰撞时，则系统的动能、动量均守恒（ ） Y A v0 A X B 0 B 1 2 0 v 图 4-2 O m vB B 0 m vB B m vA A 图 4-3 子弹 木块 m M 图 4-4
第四章 大学物理辅导 动量 (5)自由落体在相等的时间间隔内，其动量的增量为一恒量( 2、填空愿 (1)一物体竖直下落，在速度为2m·s时，突然炸裂为质量相同的两块，此时一块向上 运动，速度大小为2m·s:与此同时，另一块一定相 一运动：速度大小为 (2)两个物体的质量分别为m1和m2,并且m2=2m1,当它们的动量相等时，它们的动能 之比E/EE ,当它们的动能相等时，它们的动量之比PP2 (3)用0.5kg的铁锤把钉子钉进木头里去 击时铁锤的速度为4m·s,打击的作用时间 是0.01s,如忽略锤重，则铁锤打击钉子的作用力的平均值是 (4)质量为20克的子弹，以500米·秒的速度击入一木块后，随木块一起以50米·秒 的速度前进，以子弹速度方向为正方向，则在此过程中木块所受冲量为 (5)机枪每分钟可射出质量为20克的子弹900颗，子弹射出速度为800米·秒1，则射击 时的平均反冲力大小为 单重选择题 (1 一个静止的原子核，质量为M,当它放射出一质量为m速率为v的粒子后，其剩余部 分的速率为： N A、V:B、 C.M M D、 M- M+m )质量为m的物体作自由落体运动，第一秒内，第二秒内，第三秒内它的动量变化之比 是 、1:1:1:B、1:2:3:C、1:3:5:D、1:4:9。 (3)物体作竖直上抛运动，不计空气阻力，在相同的时间间隔内它的 A、动量变化量相同：B、动能变化量相同：C、重力势能变化量相同：D、以上说法均错 (4)物体沿光滑斜面下滑 在此过程中 斜面对物 本的弹力 功 零B、斜面对物体的弹力的冲量为零：C、物体动量的增量 等于重力的冲量：D、以上说法均错。 (5)在同一高度将质量相等的三个小球A、B、C以相同的速率分别竖直上抛，竖直下抛 和平抛，当它们到达地面时， A、速率相等：B、动量的增量相等：C、动能的增量相等：D、速度相等。 阅读范围作业 1、 阅读范围：P107- 2、作业：P133,44,4-6,47,412,413,415 3、提示 412见图45所示 由==Fs0°0 .W=「=0 -24
第四章 大学物理辅导 动量 ～24～ （5）自由落体在相等的时间间隔内，其动量的增量为一恒量（ ） 2、填空题 （1）一物体竖直下落，在速度为 2m·s -1 时，突然炸裂为质量相同的两块，此时一块向上 运动，速度大小为 2m·s -1；与此同时，另一块一定相 运动；速度大小为 。 （2）两个物体的质量分别为 m1 和 m2，并且 m2=2m1，当它们的动量相等时，它们的动能 之比 E1K/E2K= ，当它们的动能相等时，它们的动量之比 P1/P2= 。 （3）用 0.5kg 的铁锤把钉子钉进木头里去，打击时铁锤的速度为 4m·s -1，打击的作用时间 是 0.01s，如忽略锤重，则铁锤打击钉子的作用力的平均值是 。 （4）质量为 20 克的子弹，以 500 米·秒-1 的速度击入一木块后，随木块一起以 50 米·秒 -1 的速度前进，以子弹速度方向为正方向，则在此过程中木块所受冲量为 。 （5）机枪每分钟可射出质量为 20 克的子弹 900 颗，子弹射出速度为 800 米·秒-1，则射击 时的平均反冲力大小为 。 3、单重选择题 （1）一个静止的原子核，质量为 M，当它放射出一质量为 m 速率为 v 的粒子后，其剩余部 分的速率为： A、v；B、 mv M + m ；C、 mv M − m ；D、 Mv M + m 。 （2）质量为 m 的物体作自由落体运动，第一秒内，第二秒内，第三秒内它的动量变化之比 是： A、1∶1∶1；B、1∶2∶3；C、1∶3∶5；D、1∶4∶9。 （3）物体作竖直上抛运动，不计空气阻力，在相同的时间间隔内它的 A、动量变化量相同；B、动能变化量相同；C、重力势能变化量相同；D、以上说法均错。 （4）物体沿光滑斜面下滑，在此过程中 A、斜面对物体的弹力做功为零；B、斜面对物体的弹力的冲量为零；C、物体动量的增量 等于重力的冲量；D、以上说法均错。 （5）在同一高度将质量相等的三个小球 A、B、C 以相同的速率分别竖直上抛，竖直下抛 和平抛，当它们到达地面时， A、速率相等；B、动量的增量相等；C、动能的增量相等；D、速度相等。 七、阅读范围作业 １、阅读范围：P107-122 2、作业：P133，4-4，4-6，4-7，4-12，4-13，4-15 3、提示 4-12 见图 4-5 所示 （1）由 dW F dS F ds W dw = = = = = cos90 0 0 0
第四章 大学物理辅导 动量 (2)由动量原理，地球所受冲量为 1=m-(m)=2m=2mr0=356x1029N-5-2 -…-m 4.13见图46所示 子弹穿过摆锤过程，动量守恒，所以有 图45 m =m+MV 摆锤要作圆周运动，应有 0 2Mw2≥2g+号M2 以及g=M ▣m m▣ 1 故子弹的最小速度为v≥2M5g 图4-6 25
第四章 大学物理辅导 动量 ～25～ （2）由动量原理，地球所受冲量为 I mv mv mv mr N s T = − (− ) = 2 = 2 = 3.56 10 , = 29 2 4-13 见图 4-6 所示 子弹穿过摆锤过程，动量守恒，所以有 mv m v = + MV 2 摆锤要作圆周运动，应有 1 2 2 1 2 2 2 MV Mgl + MV 以及 Mg M V l = 2 故子弹的最小速度为 v M m gl 2 5 v r s m m v 图 4-5 O l m M m v v /2 图 4-6
