第十二章 大学物理辅导 磁场 第十二章 磁场 一、教材的安排与教学目的 】、教材安排 本章的教材安排，按讲授顺序可归纳为以下五个方面 (1)磁感应强度，磁通量、磁场的高斯定理： (2)洛仑兹力： (3)安培定律与磁场对载流线圈的作用： (4)毕奥一沙伐尔定律与平行载流导线间的作用： (5)安培环路定律。 2、教学目的 本章的主要教学目的是： (1)使学生正确理解并掌握安培定律： (2)使学生正确理解并掌握毕一沙定律： (3)使学生确切理解并掌握安培环路定律」 二、教学要求 1、正确理解磁感应强度B的概念，明确B是描述碰场性质的基本物理量 2、要明确理解磁场的高斯定理所表达的物理意义一磁场是无源场： 3、正确理解并掌握洛仑兹力公式： 4、正确理解并掌握安培定律，明确它和毕一沙定律一起构成研究磁场问题的基础，明 确安培力是洛仑兹力的宏观表现。 5、正确理解并掌握毕一沙定律，明确它对所有的电流（包括稳恒和非稳恒的）都成立 6、正确理解并掌握安培环路定律，它表明磁感应线是闭合的或者说明稳恒磁场是涡旋 场，它与静电场不同。 三、内容提要 [大小：B=5 1、磁感应强度 定义 方向：小磁针N极所指方向。 意义：表达了磁场力的性质，为磁场本身的属性。为一矢量。 公式：中m=∮B5=0。 2、磁场的高斯定理意义：表明磁场是无源场，或磁感应闭合成环 说明：它对稳恒和非稳恒磁场均成立。 「定义：运动电荷在磁场中运动所受的力。 3、洛仑兹力公式：子=卯×B。 说明：洛仑兹力对运动电荷不作功，而只改变速度的方向。 -64
第十二章 大学物理辅导 磁场 ～64～ 第十二章 磁场 一、教材的安排与教学目的 1、教材安排 本章的教材安排，按讲授顺序可归纳为以下五个方面： （1）磁感应强度，磁通量、磁场的高斯定理； （2）洛仑兹力； （3）安培定律与磁场对载流线圈的作用； （4）毕奥—沙伐尔定律与平行载流导线间的作用； （5）安培环路定律。 2、教学目的 本章的主要教学目的是： （1）使学生正确理解并掌握安培定律； （2）使学生正确理解并掌握毕—沙定律； （3）使学生确切理解并掌握安培环路定律。 二、教学要求 1、正确理解磁感应强度 B 的概念，明确 B 是描述磁场性质的基本物理量； 2、要明确理解磁场的高斯定理所表达的物理意义—磁场是无源场； 3、正确理解并掌握洛仑兹力公式； 4、正确理解并掌握安培定律，明确它和毕—沙定律一起构成研究磁场问题的基础，明 确安培力是洛仑兹力的宏观表现。 5、正确理解并掌握毕—沙定律，明确它对所有的电流（包括稳恒和非稳恒的）都成立。 6、正确理解并掌握安培环路定律，它表明磁感应线是闭合的或者说明稳恒磁场是涡旋 场，它与静电场不同。 三、内容提要 1、磁感应强度 定义 大小 方向：小磁针 极所指方向 意义：表达了磁场力的性质，为磁场本身的属性。为一矢量 ： ： 。 。 B F qv N = max 2、磁场的高斯定理 公式 意义：表明磁场是无源场，或磁感应闭合成环。 说明：它对稳恒和非稳恒磁场均成立 ： 。 。 m = B dS = 0 3、洛仑兹力 定义 运动电荷在磁场中运动所受的力 公式： 。 说明：洛仑兹力对运动电荷不作功，而只改变速度的方向 ： 。 。 f = qv B
第十二章 大学物理辅导 磁场 「定义：电流元在外磁场中所受的磁场作用力 4、安培定律公式：F-M×后 「df=dixB L说明：安培力是洛仑兹力的宏观表现。 5、载流线圈在匀强磁场中受到的力矩 (1)线圈的磁矩户m=N，S为平面线框的面积 (2)载流线圈所受的力矩M=户×B。 6、毕奥一沙伐尔定律 (1)毕奥一沙伐尔定律是用实验方法得出的电流产生磁场的规律。 dB=Ho ldlxr 2)公式对手我流导线有B=「师=伦[×月 上式说明愁场也满足迭加原理。 (3)说明：定律对所有电流（包括稳恒的和非稳恒的）都成立 7、安培环路定律 (1)表述：磁感应强度沿任何闭合回路L的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的 代数和的4，倍。 (2)公式：∮B·d=4o∑I→表明稳恒磁场是祸旋场。 「仅适用于稳恒电流的情况，而稳恒电流一定形成闭合回路。 对于不闭合情况（电流元，有限长载流直导线）不适用。 (3)说明： 注意公式中的B是总场，它包括空间所有电流的页献， 但的环流仅于回路所包围的电流有关。 四、解题要求与思路 本章的解题重点是利用毕一沙定律与安培环路定律去求解磁感应强度B,解题时应注 意下面几点 1、解题的首选公式是毕一沙定律，但它是一个矢量，所以要注意它的方向性，应画好 图形去配合： 2、对毕一沙定律的应用要记住书上所举的几个特例，即载流长直导线的磁场公式 B-础么一血A国形我莲智线的延瑞日= (R2+与圆心处的写 R21 2 ~65
第十二章 大学物理辅导 磁场 ～65～ 4、安培定律 定义 电流元在外磁场中所受的磁场作用力 公式： 。 说明：安培力是洛仑兹力的宏观表现 ： 。 。 dF Idl B F Idl B = = 5、载流线圈在匀强磁场中受到的力矩 （1）线圈的磁矩 Pm = NIS ，S 为平面线框的面积。 （2）载流线圈所受的力矩 M = Pm B 。 6、毕奥—沙伐尔定律 （1）毕奥—沙伐尔定律是用实验方法得出的电流产生磁场的规律。 （2）公式 dB Idl r r B dB Idl r r L = = = 0 3 0 3 4 4 对于载流导线有 上式说明磁场也满足迭加原理。 （3）说明：定律对所有电流（包括稳恒的和非稳恒的）都成立。 7、安培环路定律 （1）表述：磁感应强度沿任何闭合回路 L 的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的 代数和的 0 倍。 （2）公式： B dl I L = 0 表明稳恒磁场是涡旋场。 （3）说明： 仅适用于稳恒电流的情况，而稳恒电流一定形成闭合回路。 对于不闭合情况（电流元，有限长载流直导线）不适用。 注意公式中的 是总场，它包括空间所有电流的贡献， 但 的环流仅于回路所包围的电流有关。 B B 四、解题要求与思路 本章的解题重点是利用毕—沙定律与安培环路定律去求解磁感应强度 B ，解题时应注 意下面几点 1、解题的首选公式是毕—沙定律，但它是一个矢量，所以要注意它的方向性，应画好 图形去配合； 2、对毕—沙定律的应用要记住书上所举的几个特例，即载流长直导线的磁场公式 B I a = − 0 2 1 4 (sin sin ) ，圆形载流导线的磁场 B R I R x = + 0 2 2 2 3 2 2 ( ) 与圆心处的磁场 B I R = 0 2
第十二章 大学物理辅导 磁场 3、对安培环路定律的应用 一定要注意只有磁场分布具有对称性时，才能求解出磁感 应强度来 4、本章解题中对矢量的叉乘积应用很普遍，因此对矢量的叉乘积一定要搞懂，明确它 的大小与方向都如何确定。 五、典型例题 例1、在一个显象管的电子束中，电子有的能量12X10V。这个显象管的取向使电子水平 地由南向北运动。地球磁场的垂直分量B1=5.5×105T,并且方向指向下。问：(1)电 子束将偏向什么方向？(2)电子的加速度是多少？(3) y 申子束在显象管中诵衬20cm时将信转多沅？ 解：如图121所示，(1)由洛仑兹力的方向可决定电子束 偏向东。 (2)向心加速度a= v2 e ××××X×刘 R 图12-1 k-、 又E=m2,v=m 2×12×10×1.6×10-19 故a=6×10-19x55×10 91x10 =6.5×107m ×6.5×107=6.29×104m-s2 9.1×10-31 (3)选坐标如图12-1所示，电子的轨道方程为(x-R)2+y2-R 令R= 6.5×107 eB￡BL76×10"x55x10=671 m (-(1-(-别 在x的表达式中取负号得 xR-R(1-1 .1y2 22)-2发=28x10m3m 例2、如图122所示，利用毕一沙定律计算图中0点的磁 感应强度 解：如图所示，O点的破感应强度是AB,BC与CD三 R 图12-2 段载流导线多产生的磁感应强度B1,B2,B,之矢量和。 -66
第十二章 大学物理辅导 磁场 ～66～ 3、对安培环路定律的应用，一定要注意只有磁场分布具有对称性时，才能求解出磁感 应强度来； 4、本章解题中对矢量的叉乘积应用很普遍，因此对矢量的叉乘积一定要搞懂，明确它 的大小与方向都如何确定。 五、典型例题 例 1、在一个显象管的电子束中，电子有的能量 1.2×104 eV。这个显象管的取向使电子水平 地由南向北运动。地球磁场的垂直分量 B⊥ T − = 5 510 5 . ，并且方向指向下。问：（1）电 子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3） 电子束在显象管中通过 20cm 时将偏转多远？ 解：如图 12-1 所示，（1）由洛仑兹力的方向可决定电子束 偏向东。 （2）向心加速度 a v R v mv eB e m = = = Bv 2 2 又 E mv v E m ms k k = = = = − − 1 − 2 2 2 1 2 10 1 6 10 9 1 10 6 5 10 2 9 19 31 7 1 , . . . . 故 a = m s = − − − 1 6 10 5 5 10 − 9 1 10 6 5 10 6 29 10 19 5 31 7 14 2 . . . . . （3）选坐标如图 12-1 所示，电子的轨道方程为 ( x − R) + y = R 2 2 2 今已知 y=0.2m，求 x， x R R y R R y R = − = − 2 2 2 2 1 令 R mv eB v e m B = = = = − 6 5 10 1 76 10 5 5 10 6 71 7 11 5 . . . . 因 y R y R y R = − − 2 2 2 2 0 2 6 71 1 1 1 1 2 . . , 在 x 的表达式中取负号得 x R R y R y R − − = = m mm − (1 ) . 1 2 1 2 2 98 10 3 2 2 2 3 例 2、如图 12-2 所示，利用毕—沙定律计算图中 O 点的磁 感应强度 解：如图所示，O 点的磁感应强度是 AB， BC 与 CD 三 段载流导线多产生的磁感应强度 B1，B2，B3 之矢量和。 y o FB o x 图 12-1 I I A B a 60 0 C O R 图 12-2
第十二章 大学物理辅导 磁场 B=B;=4ol (sin -sin)=to 4Rcs6001-0.86)=0.067l 1 πR 方向垂直纸面向里。 要求B2,先在圆弧上任取一电流元1山，如图12-3所示，其所产生 的磁感应强度 R R 图12.3 6R 0后得8-品+岛+8-2×061欲+货-263×107 例3、若电流沿中空金属管的轴向流动，试求管内和管外的磁 解：()rR,选闭合路径S2为安培环路，根据安培环路定律有 fBd=B-2m=1故B=. 2π52 图12-4 六、课堂练习题 1、判断题 (1)如果一个电子在通过空间某一区域时运动的路径不发生偏转，则这个区域一定没 有磁场。() (2)洛仑兹力F=g×B对运动电荷不作功是有条件的，它与电荷的入射角与磁场 是否均匀有关。( (3)当载流线圈的平面与磁感应强度方向垂直时，线圈所受的磁力矩数值最大。 (4)一质子束在空间某区域发生了偏转，造成这个偏转的原因不可能是电场，而只能 是破场。 (5)我们应用安培环路定律解题时，所选取的积分回路不可以 通过导体内部。（） 2、填空题 (1)如图125所示，在球面上铅直和水平的两个圆中，通以相 等的电流，电流流向如箭头所示，则球心0处的磁感应强度的大小 方向为」 (2)如图12-6所示从0点发射出的一些正电子或负电子在匀强 图125 磁场中运动的轨迹，哪些径迹是属于正电子的 :哪些径迹 -67
第十二章 大学物理辅导 磁场 ～67～ B B I a I R I R 1 3 0 0 0 0 4 2 3 4 60 = = − = 1− 0 866 = 0 067 (sin sin ) cos ( . ) . 方向垂直纸面向里。 要求 B2，先在圆弧上任取一电流元 Idl，如图 12-3 所示，其所产生 的磁感应强度 dB Idl R IRd R I R = = = d 0 2 0 2 0 2 4 4 4 方向垂直纸面向里。故 B dB I R d I R 2 0 0 2 3 0 4 6 = = = 最后得 B B B B I R I R I R 0 1 2 3 T 0 0 7 2 0 067 6 = + + = + = 2 6310− . . 例 3、若电流沿中空金属管的轴向流动，试求管内和管外的磁 感应强度。 解：（1）rR，选闭合路径 S2 为安培环路，根据安培环路定律有 B dl B r I S = = 2 2 2 0 故 B I r = 0 2 2 。 六、课堂练习题 1、判断题 （1）如果一个电子在通过空间某一区域时运动的路径不发生偏转，则这个区域一定没 有磁场。（ ） （2）洛仑兹力 F = qv B 对运动电荷不作功是有条件的，它与电荷的入射角与磁场 是否均匀有关。（ ） （3）当载流线圈的平面与磁感应强度方向垂直时，线圈所受的磁力矩数值最大。 （ ） （4）一质子束在空间某区域发生了偏转，造成这个偏转的原因不可能是电场，而只能 是磁场。（ ） （5）我们应用安培环路定律解题时，所选取的积分回路不可以 通过导体内部。（ ） 2、填空题 （1）如图 12-5 所示，在球面上铅直和水平的两个圆中，通以相 等的电流，电流流向如箭头所示，则球心 O 处的磁感应强度的大小 为 ，方向为 。 （2）如图 12-6 所示从 O 点发射出的一些正电子或负电子在匀强 磁场中运动的轨迹，哪些径迹是属于正电子的 ；哪些径迹 Idl I R d C R R O 图 12-3 R S1 S2 r1 a r2 图 12-4 I O R I 图 12-5
第十二章 大学物理辅导 磁场 是属于负电子的 ×m××××× ×⊕行×××× 图12-6 X×12×× 图12-8 (3)若带正电的粒子以速度市垂直射入一匀强磁场B中，如图127所示，则该粒子 在磁场中的运动轨迹是 ,其曲率半径R= (4)如图12-8所示，半径为α和b的两个圆弧组成一闭合回路，它通有电流1，则圆 心0处的磁感应强度大小为 。万间为 (5)匀强电场(E=3.0×10Vm1)和匀强磁场(B=1.0×102T)两者的方向互相垂直， 一电子以垂直于电场和磁场的方向射入，则只有当电子的速率V= 时，才能使其 轨迹成为一直线。 3、单重选择题 (1)在均匀磁场中，有两个面积相等，通过电流相同的线圈，一个为正三角形，一个 是正方形，则这两个线圈所受的合力： A、相等，但不为零：B、不相等：C、均为零：D、条件不足无法比较。 (2)两个带电粒子质量分别为m1,m2,所带电量分别为q,q,它们以相同的速率垂 直射入匀强磁场B中，已知49，m:之，则m与m在匀强醚场中作圆周运动的半 径之比为 A、1:0.5:B、1:1:C、1:2:D、以上均不正确。 (3)有两束阴极射线（即高速运动的电子条），向同一方向发射，关于它们之间的相 互作用有下面四种说法，试问哪种正确？ A、二射线之间有三种相互作用力：库仑力、安培力和洛仑兹力： B、只有库仑力和洛仑兹： C、只有库仑力和安培： D、以上说法均不正确。 (4)如图12-9所示，两个电子同时由电子枪射出，它们的初速度与匀强磁场垂直，速 度大小分别是ⅴ和2，经磁场偏转后，则有 V A、左侧以2，运动的电子先回到出发点 ×1XmX B、右侧以，运动的电子先回到出发点 日白x C、两个电子同时回到出发点： D、条件不足无法比较。 (5)有关安培环路定律B·d-4∑I的四种说法哪 种正确？ A、公式中的总磁场B只由回路内包围的电流所激发，与回路外的电流无关 -68
第十二章 大学物理辅导 磁场 ～68～ 是属于负电子的 。 （3）若带正电的粒子以速度 v 垂直射入一匀强磁场 B 中，如图 12-7 所示，则该粒子 在磁场中的运动轨迹是 ，其曲率半径 R= 。 （4）如图 12-8 所示，半径为 a 和 b 的两个圆弧组成一闭合回路，它通有电流 I，则圆 心 O 处的磁感应强度大小为 ，方向为 。 （5）匀强电场（E=3.0×104Vm-1）和匀强磁场（B=1.0×10-2T）两者的方向互相垂直， 一电子以垂直于电场和磁场的方向射入，则只有当电子的速率 V= 时，才能使其 轨迹成为一直线。 3、单重选择题 （1）在均匀磁场中，有两个面积相等，通过电流相同的线圈，一个为正三角形，一个 是正方形，则这两个线圈所受的合力： A、相等，但不为零；B、不相等；C、均为零；D、条件不足无法比较。 （2）两个带电粒子质量分别为 m1，m2，所带电量分别为 q1，q2，它们以相同的速率垂 直射入匀强磁场 B 中，已知 q1 =q2，m1 = 1 2 m2 ，则 m1 与 m2 在匀强磁场中作圆周运动的半 径之比为 A、1∶0.5；B、1∶1；C、1∶2；D、以上均不正确。 （3）有两束阴极射线（即高速运动的电子条），向同一方向发射，关于它们之间的相 互作用有下面四种说法，试问哪种正确？ A、二射线之间有三种相互作用力：库仑力、安培力和洛仑兹力； B、只有库仑力和洛仑兹力； C、只有库仑力和安培力； D、以上说法均不正确。 （4）如图 12-9 所示，两个电子同时由电子枪射出，它们的初速度与匀强磁场垂直，速 度大小分别是 v 和 2v，经磁场偏转后，则有 A、左侧以 2v 运动的电子先回到出发点； B、右侧以 v 运动的电子先回到出发点； C、两个电子同时回到出发点； D、条件不足无法比较。 （5）有关安培环路定律 B dl = I 0 的四种说法哪 种正确？ A、公式中的总磁场 B 只由回路内包围的电流所激发，与回路外的电流无关： O a b e c d 图 12-6 m v 图 12-7 I b a I O I 图 12-8 2 v v B 图 12-9
第十二章 大学物理辅导 磁场 B、公式中的总磁场B的环流仅与回路内包围的电荷有关 C、安培环路定律只对具有对称性的磁场才能成立： D、以上说法均不正确。 七、阅读范围与作业 1、阅读范围：P1M.0的（中册） 2、作业：12-1,12-2,12-3,1211,12-12,12-15,12-17,12-19,12-23,12-32,12-35， 12-36,12-24 12-30,12-31 3、提示 12-1(1)pa=B.Sabedcos180°，pic=p时=中a=0,中a=-中ha (2)fB.dS=abed +afod +cdce=0 12-11:要使悬线中张力为零，应满足条件F-mg,而FB=BL,故1=mg/BL 12-17:每一条边在0点产生的磁感应强度B-5n45°-in(-45儿 4π% 各条边产生的磁感应强度方向相同，均垂直纸面向里，故B=4B1。 12-23:如图12-10所示，选P点为坐标原点，OX轴向左为正，在金属板上，任选一宽度为 d的细长条，每根细条可以看成载有电流d的无 限长直导线d山='k。这些细条在P点产生的磁 感应为B=山=鱼1本 所有B方向均垂直纸面向里，故 图12-10 a=-会变-会n2 12-24:如图12-11所示，在圆盘上任取一个半径为p,宽度为dp的细环，它所带电量 dg=o2dp,当圆环转动时，它相当于一个圆电流其大小 为： dl =n.dq= 元o2nn=oah 此圆环在中心0处产生的磁感应强度 dB-duoe dp 20 22 因而总题感应强度B=∫B=dp=o 图12-11 2 12-30:如图12-12所示，由于对称性，知上下两边受力的大小相等，方向相反，即 F+F=0,F=B121= 尝华6厅=，1=会华 2πa -69
第十二章 大学物理辅导 磁场 ～69～ B、公式中的总磁场 B 的环流仅与回路内包围的电荷有关； C、安培环路定律只对具有对称性的磁场才能成立； D、以上说法均不正确。 七、阅读范围与作业 1、阅读范围：P166-209（中册） 2、作业：12-1，12-2，12-3，12-11，12-12，12-15，12-17，12-19，12-23，12-32，12-35， 12-36，12-24，12-30，12-31。 3、提示 12-1（1） abcd = B Sabcd bfec ahf dce afed ahcd cos180 , = = = 0, = − 0 （2） B dS S abcd afed bfec ahf dce = + + + + = 0 12-11：要使悬线中张力为零，应满足条件 FB=mg，而 FB =BIL，故 I=mg/BL。 12-17：每一条边在 O 点产生的磁感应强度 B ( ) I a 1 0 0 0 4 2 = 45 − −45 sin sin 各条边产生的磁感应强度方向相同，均垂直纸面向里，故 B0 =4B1。 12-23：如图 12-10 所示，选 P 点为坐标原点，OX 轴向左为正，在金属板上，任选一宽度为 dx 的细长条，每根细条可以看成载有电流 dI 的无 限长直导线 dI I a = dx 。这些细条在 P 点产生的磁 感应为 dB dI x I a dx x = = 0 0 2 2 所 有 dB 方向均垂直纸面向里，故 B dB I a dx x I a a a = = = 0 2 0 2 2 ln2 12-24：如图 12-11 所示，在圆盘上任取一个半径为 ，宽度为 d 的细环，它所带电量 dq = 2d ，当圆环转动时，它相当于一个圆电流其大小 为: dI = n dq = d = d 2 2 此圆环在中心 O 处产生的磁感应强度 dB dI = = d 0 0 2 2 因而总磁感应强度 B dB d r r = = = 0 0 0 2 2 12-30：如图 12-12 所示，由于对称性，知上下两边受力的大小相等，方向相反，即 F1 + F1 = 0 ， F B I l I I a l F B I l I I a b l 2 A 2 B 0 1 2 2 2 0 1 2 2 2 = = = = + , dI x P x dx 图 12-10 r O 图 12-11
第十二章 大学物理辅导 磁场 b 图12-1 图12-13 12-31:如图12-13所示，选取好坐标在矩形面积中任选一细长条其面积dS=1~ 适过比面职的世道量为的，一存否：会兰体 总通整为：。=6，-会停会m名 -70
第十二章 大学物理辅导 磁场 ～70～ 故合力为 F F I I l a a b 2 2 0 1 2 2 1 1 − = − + 12-31：如图 12-13 所示，选取好坐标在矩形面积中任选一细长条其面积 dS = l dx 通过此面积的磁通量为 d B dS I x ldx B = = 0 2 总磁通量为： B B a b d Il dx x Il b a = = = 0 0 2 2 ln 。 C D I x dx l x F E a b 图 12-13 F1 I1 F2 I2 l I2 F 2 a F1 b 图 12-12