广东海洋大学：《大学物理》课程教学资源（教案讲义）第十八章 相对论 Special Theory of Relativity

教案第十八章相对论 第十八章相对论Special Theory of Relativity §1.伽利略变换式牛顿的绝时空观Galileo Transformation, Newton absolute Outlook on Time_space 1.变换 在上述两个惯性系中，洛仑兹求出同一事件的两组坐标之间的关系为： x'=y(x-) x=y(x'-） y=y y=y' 或=' (1) =÷到 式中y= 门-7元：①式称为洛仑数变换。当e时，Y。洛伦按变换过泼 1 为伽俐略变换，因此，伽俐略变换是洛仑兹变换在低速下的极限形式。 洛仑兹速度变换式 由洛仑兹坐标变换式可导得速度变换式如下 309

教案 第十八章 相对论 309 第十八章 相对论 Special Theory of Relativity §1. 伽利略变换式 牛顿的绝时空观 Galileo Transformation, Newton absolute Outlook on Time_space 1．变换 在上述两个惯性系中，洛仑兹求出同一事件的两组坐标之间的关系为：                 = −  =  =  = − x c u t t z z y y x x ut 2 ( )   或       =  − =  =  =  − x c u t t z z y y x x ut 2 ( )   （1） 式中 2 2 1 / 1 − u c  = ；（1）式称为洛仑兹变换。当 u<<c 时，→1，洛仑兹变换过渡 为伽俐略变换，因此，伽俐略变换是洛仑兹变换在低速下的极限形式。 洛仑兹速度变换式 由洛仑兹坐标变换式可导得速度变换式如下 Y X Z O Y X Z ut u O

教案第十八章相对论 g=是u v=tu V=- 或 V。= (2) 号 小+ 19 = := + 当u<c时，y→l,(2)式可变为伽俐略速度变换式 §2 相对论中同时性、长度和时间的相对性Outlook on Time_space of Special Theory of Relativity 1.同时性的相对性 问题的提出 4 设想一列车相对站台以速度 站台5系 山向右运动，当列车上的首尾两点 列车S系 → A'、B与站台上的A、B重合时， B 站台上的C观察到A、B两人同 A 时向对方开枪（激光枪）。那么： 列车上C点的观察者也观察到他们是同时开枪吗？ 由于列车向右行驶，C的观察者先接收到来自A点的激光，后接收到米自B点的激 光，因此C在法庭上提供证词说：A先开枪。 这就是说，对于站台参考系同时的事件，对于列车参考系不是同时的，事件的同时 性固参考系的选择而异，这就是同时性的相对性。 上述问题用洛仑兹变换解释如下： S系中：x4=l:xB=0:t4=1g:A1=0“同时 $系中：4=-名小=。-名月 310

教案 第十八章 相对论 310                      −  =       −  = − −  = 2 2 2 1 1 1 c uv v v c uv v v c uv v u v x z z x y y x x x   或                        +  =       +  = +  + = 2 2 2 1 1 1 c uv v v c uv v v c uv v u v x z z x y y x x x   （2） 当 u<<c 时，→1，（2）式可变为伽俐略速度变换式 §2 相对论中同时性、长度和时间的相对性 Outlook on Time_space of Special Theory of Relativity 1．同时性的相对性 问题的提出 设想一列车相对站台以速度 u 向右运动，当列车上的首尾两点 A、B与站台上的 A、B 重合时， 站台上的 C 观察到 A、B 两人同 时向对方开枪（激光枪）。那么： 列车上 C点的观察者也观察到他们是同时开枪吗？ 由于列车向右行驶，C的观察者先接收到来自 A 点的激光，后接收到来自 B 点的激 光，因此 C在法庭上提供证词说：A 先开枪。 这就是说，对于站台参考系同时的事件，对于列车参考系不是同时的，事件的同时 性固参考系的选择而异，这就是同时性的相对性。 上述问题用洛仑兹变换解释如下： S 系中： x l A = ； xB = 0 ； A B t = t ； t = 0 “同时” S系中：        A = A − A x c u t t 2  ；        B = B − B x c u t t 2  ； B C A B C A u 站台 S 系 列车 S系

教案第十八章相对论 =g-=y0。-)+y2c-x)· =y兰(x4-x)>0:不同时，A开枪在先 讨论： 1)根据*式，若在S系中同时异地发生的事件，则在$系中不同时。 2)若在S系中同时同地，则在S'系中同时同地。如果在S系中观察到B先开枪，A 观察到B开枪后，马上开枪在法庭上C和C"会不会提供相反的证词呢？ =0,名=么=0，么（先台号传输时间) ∴6-1=y。-1a)+y兰x4-xa) 1-B20 -=(月r之岸8 即C仍然认为B(B)先开枪，A(A)后开枪，只不过是其时间间隔变小而己，（号 变为，、即他们在法起上不公类供和反的正词 这说明有因果关系的事件的先后顺序是不会发生变化的， 1.长度收缩 设有两个观察者，分别在S系和S'系中测量沿xx轴放置的刚性棒。此棒相对于S 系静止不动。S系中测得棒两端点坐标为、x。可知棒的长度为。=了-，S系中 怎样测量此棒的长度呢？他必须在某一时刻同时测量其端点坐标x1、x2,则S系中棒的 长度为L=x1。由洛仑兹变换可得 治器 注意，这里有= 会儿 即4=2或L==山，-B

教案 第十八章 相对论 311 x x ；不同时 A开枪在先 c u x x c u t t t t t A B B A B A A B ( ) 0 , ( ) ( ) * 2 2 = −    =  −  = − + −    讨论： 1）根据*式，若在 S 系中同时异地发生的事件，则在 S系中不同时。 2）若在 S 系中同时同地，则在 S系中同时同地。如果在 S 系中观察到 B 先开枪，A 观察到 B 开枪后，马上开枪在法庭上 C 和 C会不会提供相反的证词呢？  xB = 0 ， x l A = ，tB = 0 ， c l t A = （光信号传输时间） ( ) ( ) B A B A 2 A B x x c u t − t =  t − t + − 0 1 1 2  + −  +   = −       −  =  −     l c u c l t t B A 即 C仍然认为 B（B）先开枪，A（A）后开枪，只不过是其时间间隔变小而已，（ c l 变为 c l   + − 1 1 ），即他们在法庭上不会提供相反的证词。 这说明有因果关系的事件的先后顺序是不会发生变化的。 1．长度收缩 设有两个观察者，分别在 S 系和 S系中测量沿 xx轴放置的刚性棒。此棒相对于 S 系静止不动。S系中测得棒两端点坐标为 1 x  、 2 x  。可知棒的长度为 0 2 1 L = x  − x  ，S 系中 怎样测量此棒的长度呢？他必须在某一时刻同时测量其端点坐标 x1、x2，则 S 系中棒的 长度为 L=x2-x1。由洛仑兹变换可得 2 1 1 1 1−  −  = x ut x ； 2 2 2 2 1−  −  = x ut x 注意，这里有 t1=t2 L x x x x   = − −  −  = 2 2 1 2 1 1 即 L0 = L 或 2 0 0 1   = = L − L L

教案第十八章相对论 这就是说，与棒有相对运动的观测者测得棒的长度要比相对于棒静止的观测者测得 的L短一些，这种效应称为尺缩效应。L0称为固有长度。 在狭义相对论中，所有的惯性系彼此间是等价的，不承认有绝对静止的参照系。与 固有长度相比，其他参照系测得的长度都有收缩效应，所以，也不存在哪一根尺子缩短 的问题。尺缩效应是同时性的相对性带来的时空属性，而不是一种物质过程，这与我们 在不同位置测量某一建筑物的倾角不同是同样的道理。 下面讨论一下“雷击问题” 在地面参照系中，列车与隧道等长，均为1，对 地面的观察者来讲，当列车全部进入隧道时，在出 口和入口同时打下两个雷击，问列车能被击中吗？ B工工只4 讨论：对于地面的观察者，当然没有问题，列 ■0■0■0■■0■】 B 车会安然无恙。 对于列车上的观测者，错误的解释如下： 地面参考系 在$看来，隧道短于列车，故会击中列车，这不是矛盾吗？ 正确的解释：这里关键仍是同时相对怀的问题，这里的同时，对S系是对的，但对 S系则不是同时的，而是A处的雷击在先，这时列车还没出洞口，而B处的雷击在后， 这时车尾已进入隧道，具体计算 如下： x4=1 。。。。。。日4大第一个雷的时刻 SX=0 儿4=lg S中隧道运动方向 =总小总 7 '。。。 大第二个雷的时刻 =-总 △M=-(=y总>0：即B处雷击在后。 此时在S看来，隧道已向后起了d=△山u=1的距离。 而隧道收缩的长度为W=1-√-B1=--B2

教案 第十八章 相对论 312 这就是说，与棒有相对运动的观测者测得棒的长度要比相对于棒静止的观测者测得 的 L0 短一些，这种效应称为尺缩效应。L0 称为固有长度。 在狭义相对论中，所有的惯性系彼此间是等价的，不承认有绝对静止的参照系。与 固有长度相比，其他参照系测得的长度都有收缩效应，所以，也不存在哪一根尺子缩短 的问题。尺缩效应是同时性的相对性带来的时空属性，而不是一种物质过程，这与我们 在不同位置测量某一建筑物的倾角不同是同样的道理。 下面讨论一下“雷击问题” 在地面参照系中，列车与隧道等长，均为 l，对 地面的观察者来讲，当列车全部进入隧道时，在出 口和入口同时打下两个雷击，问列车能被击中吗？ 讨论：对于地面的观察者，当然没有问题，列 车会安然无恙。 对于列车上的观测者，错误的解释如下： 在 S看来，隧道短于列车，故会击中列车，这不是矛盾吗？ 正确的解释：这里关键仍是同时相对怀的问题，这里的同时，对 S 系是对的，但对 S系则不是同时的，而是 A处的雷击在先，这时列车还没出洞口，而 B处的雷击在后， 这时车尾已进入隧道，具体计算 如下：      = = = A B B A t t x x l S 0         =       = −        = −       = −  B B B B A A A A x t c u t t l c u x t c u t t S     2 2 2 0 2   =  −  = l  c u t t t B A  ；即 B处雷击在后。 此时在 S看来，隧道已向后起了 l c u d t u 2 2 =   =  的距离。 而隧道收缩的长度为 l l l ( )l 2 2  = − 1−  = 1− 1−  。 A B A  B 地面参考系 A A S中隧道运动方向 大第一个雷的时刻 B 大第二个雷的时刻 B

教案第十八章相对论 “分>w不会击中. d=51= 3.时间膨胀 1时间膨胀的直观图象 如图：光脉冲来回往返过程中，车上的钟走过 的时间为： 4=26 从K系来看，由于列车在前进，光线走的是锯 齿形路线，光线“来回”一次的时间为： K系 w 钟慢效应的理想实验 从两式中消去b,得△t、△r之间的关系为： △1 At' g胶 △>△r这就是说，在一个惯性系中，运动的钟比静止的钟走的慢，这种效应叫时间膨 胀或钟慢效应。 今后我们把相对于物体静止的钟所显示的时间间隔△τ叫做该物体的固有时，上式中 △就是列车中乘客的固有时△t,故M=Mt。 这就如图长度不是绝对的一样，时间间隔也不是绝对的，它与运动有关，它也不存 在“哪一只钟变慢”的问题，动钟变慢是同时性的相对性带来的一种时空属性。也不是 一种物质过程。 下面由洛仑兹变换来导出钟慢效应。 这里需要强调的是：对于固有时间必须是存在$系中同一地点测得的时间间隔。 设在S系中有两件事发生于x=x=去处。 发生的时间分别为、时刻，则其时间间隔为 △'=5- 根据洛仑兹变换有 313

教案 第十八章 相对论 313 l l l c u d   − = = 2 2 2 2 1     不会击中。 3．时间膨胀 1 时间膨胀的直观图象 如图：光脉冲来回往返过程中，车上的钟走过 的时间为： c b t 2   = ； 从 K 系来看，由于列车在前进，光线走的是锯 齿形路线，光线“来回”一次的时间为： 2 2 2 2        +   = = V t b c c l t 从两式中消去 b，得t、t之间的关系为： t t c v t t =   −   = −    =   2 2 2 1 1 t>t这就是说，在一个惯性系中，运动的钟比静止的钟走的慢，这种效应叫时间膨 胀或钟慢效应。 今后我们把相对于物体静止的钟所显示的时间间隔叫做该物体的固有时，上式中 t就是列车中乘客的固有时，故 t =  。 这就如图长度不是绝对的一样，时间间隔也不是绝对的，它与运动有关，它也不存 在“哪一只钟变慢”的问题，动钟变慢是同时性的相对性带来的一种时空属性。也不是 一种物质过程。 下面由洛仑兹变换来导出钟慢效应。 这里需要强调的是：对于固有时间必须是存在 S系中同一地点测得的时间间隔。 设在 S系中有两件事发生于 x1  = x2  = 去处。 发生的时间分别为 1 t 、 2 t 时刻，则其时间间隔为 2 1 t = t − t 根据洛仑兹变换有 钟慢效应的理想实验 M V K系 K 系 M l l b b

教案第十八章相对论 *)明 6=6+ 由此可得，在s系中其同隔为N=6-4=6+)-化+)G- 即M= 也就是说，在作相对运动的惯性系中所量出的时间，要比静止惯性系中所量的时间 长一些，用0表示固有时间，应有 Al=Yto 上式说明：一时钟由一个与它作相对运动的观察者来观察时，与相对静止的观察者 相比，要走得慢些，所以有时也讲：运动的时钟变慢。 相对论的时间延长和长度收缩在经典力学中是不可想象的，但它们在近代物理中却 得到实验的证明。 地球大气层中产生的uz,其速率为2.994×10ms,即0.998c,实验室中测其平均寿 命为。=2.15x105S,衰变为产→e+y+,实验测得它们从高空到达地球所走过的 路程为1万米左右，下面由相对论力学对其进行解释。 按经典理论2在t=2.15×10S时间内所经过的路程为 ,=。·v=2.994×10×2.15×105=644m。这显然与实验所测得的1万米数据不相符（因 为0为相对μz静止参照系中测得的寿命)。 下面由时间延缓效应来解释上述现象τ0为z在S系中的平均寿命，在S系中，其平 均寿金为：=元定=40105 va 则其相对地面所经过的路程为： y=vr=2.994×10×34.0×105=10190m 与实验结果是一致的。 对于不是固有时间和固有长度的变换，绝对不能用尺缩公式和时间膨胀公式求解， 这一点要特别注意，如下面的问题。 例题1S'系中以0.9c沿S系的x轴正向运动，在S'系的x轴上先后发生两个事件， 314

教案 第十八章 相对论 314       =  +    c t t 1 1 ；       =  +    c t t 2 2 ； 由此可得，在 S 系中其间隔为 ( ) 2 1 2 1 2 1 t t c t c t t t t  =  −        −  +       = − =  +        即 t = t 也就是说，在作相对运动的惯性系中所量出的时间，要比静止惯性系中所量的时间 长一些，用0 表示固有时间，应有 0 t =  上式说明：一时钟由一个与它作相对运动的观察者来观察时，与相对静止的观察者 相比，要走得慢些，所以有时也讲：运动的时钟变慢。 相对论的时间延长和长度收缩在经典力学中是不可想象的，但它们在近代物理中却 得到实验的证明。 地球大气层中产生的z，其速率为 2.994×108m/s，即 0.998c，实验室中测其平均寿 命为 S 6 0 2.15 10−  =  ，衰变为  → + +   e ，实验测得它们从高空到达地球所走过的 路程为 1 万米左右，下面由相对论力学对其进行解释。 按 经 典 理 论 z 在 S 6 0 2.15 10−  =  时 间 内 所 经 过 的 路 程 为 y v 2.994 10 2.15 10 644m 8 6 0 = 0  =    = −  。这显然与实验所测得的 1 万米数据不相符（因 为0 为相对z 静止参照系中测得的寿命）。 下面由时间延缓效应来解释上述现象0 为z 在 S系中的平均寿命，在 S 系中，其平 均寿命为 S c v 6 0 2 2 0 34.0 10 1 − =  −  =  =  则其相对地面所经过的路程为： y v 2.994 10 34.0 10 10190m 8 6 = =    = −  与实验结果是一致的。 对于不是固有时间和固有长度的变换，绝对不能用尺缩公式和时间膨胀公式求解， 这一点要特别注意，如下面的问题。 例题 1 S系中以 0.9c 沿 S 系的 x 轴正向运动，在 S系的 x轴上先后发生两个事件

教案第十八章相对论 其空间距离为1.0×102m,时间间隔为1.0×106S,求在S系中观察到的时间间隔和空间 间隔。 解：分析，对于空间间隔，虽然这个间隔是在$中测得的，但在S系中，不可能同 时测得这两个事件的空间间隔，这与同时测运动尺子两端坐标不同，故不能用长度收缩 来处理。也就是说，在S系中观察到的时间间隔不为0，故解题必须从洛仑兹变换出发。 对于时间间隔：因为在$系中，两事件不同发生在同一地点，故$系中测得的不是 固有时间，因而不能用时间膨胀来求解。 x=y+):x3=y:+) .x3-x=y-x)+ng-) 1-0.9*10x10:+ 1 -0.g*0.9ex1.0x10- 1 =8.48×102m 空间距离变大了。 同理 5-4=6,-0+y6-) f0910x10+ 1 -0g*x1.0x10: 1 09 =2.98×10m 例题2飞船以0.8c的速度相对不地球飞行，光脉冲从船尾发出传到船头，飞船上 观察到飞船长为90m。问地球上测得这两个事件空间间隔。 解：此题不能用长度收缩公式求解，因为地球上的观察者不是同时观察到这两个事 件，须由洛仑兹变换求解。 -=+延写+ 1-B21-B2 a属-啡- -0890+0ex90） 1 =270m 说明：时间膨胀要求$系中对时间的测量必须是同地的，△x=0,即为固有时间，长 度收缩要求在S系中对长度的测量必须是同时的，即要求△0，只有满足上述条件的问 题，才能应用公式。否则，须运用洛仑兹变换来求解。这点在解题中一定要注意。 315

教案 第十八章 相对论 315 其空间距离为 1.0×102m，时间间隔为 1.0×10-6S，求在 S 系中观察到的时间间隔和空间 间隔。 解：分析，对于空间间隔，虽然这个间隔是在 S中测得的，但在 S 系中，不可能同 时测得这两个事件的空间间隔，这与同时测运动尺子两端坐标不同，故不能用长度收缩 来处理。也就是说，在 S 系中观察到的时间间隔不为 0，故解题必须从洛仑兹变换出发。 对于时间间隔：因为在 S系中，两事件不同发生在同一地点，故 S系中测得的不是 固有时间，因而不能用时间膨胀来求解。 ( ) 1 1 1 x =  x  + ut ； ( ) 2 2 2 x =  x  + ut ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 x − x =  x  − x  +u t − t m c 2 6 2 2 2 8.48 10 0.9 1.0 10 1 0.9 1 1.0 10 1 0.9 1 =     −   + − = − 空间距离变大了。 同理 ( ) ( ) m c c x x c u t t t t 6 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2.98 10 1.0 10 0.9 1 0.9 1 1.0 10 1 0.9 1 − =     −   + − = − =  −  +  −  例题 2 飞船以 0.8c 的速度相对不地球飞行，光脉冲从船尾发出传到船头，飞船上 观察到飞船长为 90m。问地球上测得这两个事件空间间隔。 解：此题不能用长度收缩公式求解，因为地球上的观察者不是同时观察到这两个事 件，须由洛仑兹变换求解。 ( ) ( ) m c c x x u t t x ut x ut x x 270 90 90 0.8 1 0.8 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 =       +  − =  −  +  −  − = −  +  − −  +  − =    说明：时间膨胀要求 S系中对时间的测量必须是同地的，x=0，即为固有时间，长 度收缩要求在 S 系中对长度的测量必须是同时的，即要求t=0，只有满足上述条件的问 题，才能应用公式。否则，须运用洛仑兹变换来求解。这点在解题中一定要注意

教案第十八章相对论 §3相对论动力学基础Relativistic mechanics 一、相对论中的动量和质量 相对论中引入运动质量的概念，定义m=m,/W1-,21c2，m为物体以速度v运动的 质量，m0为物体静止时的质量称为静止质量，上式说明，物体以速度v运动的质量m为 其静止质量m0的y倍，因此，在相对论中，质量也是相对于运动状态而改变的量。 对一般物体m0>0,当v一o,这时无论对物体加多大的力，也不可能使物体的速度 再增加，因此，一切运动物体的速度，不可能大于光速，这与由洛仑兹变换得到的结论 是一致的。 物体的动量P为 P=m=m,/W-21c2: 上式满足：(1)动量？恒定律在洛仑兹变换下是保持不变的。 (2)当v<c时，还原为经典力学中的形式。 因此，相对论中动力学的基本方程可以写为 a时-号m-F (2) 二、相对论中的能量 下面根据(2)式推导相对论中的动能表达式，根据动能定义是有： dE=F.d=F.d=下(Fd)=下dm) 为使问题简单，设物体受力方向与运动方向相同，设物体由a到b,速度由0增至下 E-∫a,=dm)=dm" V1-v2/c2 :利用B=得 1 mca-严，c0-

教案 第十八章 相对论 316 §3 相对论动力学基础 Relativistic mechanics 一、相对论中的动量和质量 相对论中引入运动质量的概念，定义 2 2 0 m = m / 1− v / c ，m 为物体以速度 v 运动的 质量，m0 为物体静止时的质量称为静止质量，上式说明，物体以速度 v 运动的质量 m 为 其静止质量 m0 的倍，因此，在相对论中，质量也是相对于运动状态而改变的量。 对一般物体 m0>0，当 v→，这时无论对物体加多大的力，也不可能使物体的速度 再增加，因此，一切运动物体的速度，不可能大于光速，这与由洛仑兹变换得到的结论 是一致的。 物体的动量 P  为 2 2 0 P = mv = m v / 1− v / c    ； 上式满足：（1）动量？恒定律在洛仑兹变换下是保持不变的。 （2）当 v<<c 时，还原为经典力学中的形式。 因此，相对论中动力学的基本方程可以写为 m v F dt d mv dt d    ( ) = ( 0 ) = 或 dt dm v dt dv m dt d mv F     = = + ( ) （2） 二、相对论中的能量 下面根据（2）式推导相对论中的动能表达式，根据动能定义是有： dE F ds F vdt v (Fdt) vd(mv) k         =  =  =  = 为使问题简单，设物体受力方向与运动方向相同，设物体由 a 到 b，速度由 0 增至 v  ， 则         − = = =    2 2 0 0 0 1 / ( ) v c m v E dE vd mv vd v v k k ；利用 c v  = 得 ( 1) (1 ) 1 1 (1 ) 2 0 0 2 1/ 2 2 0 0 2 3/ 2 2 0 2 0 0 = −       − = − =         − =             m c m c d m c m c E cd v k

教案第十八章相对论 即E=mc2-m,c2 (3) 定义E0=mc2为物体的静能，E=mc2=oc2+E.为物体动能与静能之和，称为物体的总 能量。 由E=mc2知，物体的质量和能量这两个重要的物理量之间有着密切的联系，若物体 的质量发生△m的变化，物体的能量也一定有相应的变化。 △E=△(mc2)=△mc2(4) 反过来也是如此，核能的释放和应用，就是相对论质能关系的一个重要实验证明， 也是质能关系的重大应用之一。 三、能量的动量的关系 P=m=movl-v lc E=me2 moc2/-vlc2 利用以上两式消去ⅴ可得动量和能量之间的关系为： E2=mic+p2c2=E+p'c2 (5) 317

教案 第十八章 相对论 317 即 2 0 2 E mc m c k = − （3） 定义 E0=m0c 2 为物体的静能，E=mc2=m0c 2+Ek为物体动能与静能之和，称为物体的总 能量。 由 E=mc2 知，物体的质量和能量这两个重要的物理量之间有着密切的联系，若物体 的质量发生m 的变化，物体的能量也一定有相应的变化。 2 2 E = (mc ) = mc （4） 反过来也是如此，核能的释放和应用，就是相对论质能关系的一个重要实验证明， 也是质能关系的重大应用之一。 三、能量的动量的关系 2 2 0 P = mv = m v / 1− v / c ； 2 2 2 0 2 E = mc = m c / 1− v / c ； 利用以上两式消去 v 可得动量和能量之间的关系为： 2 2 2 0 2 4 2 2 0 2 E = m c + P c = E + p c （5）