教案第一章质点运动学 第一章质点运动学Motion of particles 说明：由于本章内容在高中已有接触，故在讲解中着重于从下入手，导出下、ā，然后 利用积分方法，重点是建立瞬时的概念。 §1质点运动的描述Discription of motion of particles 1.位置矢量 表示质点在坐标系中的位置， F=xi+习+k P(x.V.Z) 质点运动时，位置矢量下是随时间变化的。因此下是时间的 函数，即：下=(1) 我们称上式为质点的运动方程。 例题1.如图，设绳的原长为lo,人以匀速%拉绳 0 子，试写出小船的运动学方程。 解：建立如图所示的Ox坐标轴，1-0时，绳长为 0 ~m:此时船的坐标是：x=。-o)- 上式即为小船的运动学方程，它指出小船的 位置x随时间t的变化规律。 讨论：v=本 (船的速度如何？)讲速度之前的思考讨论题。 (lo-vot) ,负号表示速度方向，与x轴正相反。 h0。-wP-H 问题：在中学也处理过此问题，当时是怎样解决此 问题的，为什么要那样处理，与现在的办法比较， 质点的运动路径 哪种简单一些？ 当质点运动时，其位置矢量发生变化，这个变 化，我们用位移来描述，如右图所示
教案 第一章 质点运动学 1 第一章 质点运动学 Motion of particles 说明：由于本章内容在高中已有接触，故在讲解中着重于从 r 入手，导出 v 、a ，然后 利用积分方法，重点是建立瞬时的概念。 §1 质点运动的描述 Discription of motion of particles 1. 位置矢量 表示质点在坐标系中的位置， r xi yj zk = + + 质点运动时，位置矢量 r 是随时间变化的。因此 r 是时间的 函数，即： r r(t) = （1） 我们称上式为质点的运动方程。 例题 1．如图,设绳的原长为 l0，人以匀速 v0 拉绳 子，试写出小船的运动学方程。 解：建立如图所示的 ox 坐标轴，t=0 时，绳长为 l0-v0t；此时船的坐标是： ( ) 2 x = l 0 − v0 t − H 上式即为小船的运动学方程，它指出小船的 位置 x 随时间 t 的变化规律。 讨论： dt dx v = (船的速度如何？)讲速度之前的思考讨论题。 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 l v t H l v t dt dx v − − − = = − 负号表示速度方向，与 x 轴正相反。 问题：在中学也处理过此问题，当时是怎样解决此 问题的，为什么要那样处理，与现在的办法比较， 哪种简单一些？ 当质点运动时，其位置矢量发生变化，这个变 化，我们用位移来描述，如右图所示， x H v0 l x x O H v0 l x O H v0 l x O y x z P(x,y,z) r y x z r rA rB 质点的运动路径
教案第一章质点运动学 △F=万8-元4 .F=xi+yaj Fa=xgi +ygj ∴.=(xB-x)万+6ya-y月 说明：位置矢量可以确定质点当前位置，与坐标系选取的原点有关：位移是位置矢量的 变化量，与坐标系选取的原点无关。 2.速度、加速度 而，同理：石本 定义时宝回- 说明：速度的方向是位移的方向，不是位置矢量的方向：加速度的方向是速度增量的方 向，不一定是速度的方向，圆周运动就是例子。 已知7可按石=在求得石，从而运用F=m面求得下：现在倒过来通过积分，即可 求得运动方程，以ā为恒量。 例：设1=0时，下=，下=下得 C下=下o+al r-元=w+5ad 2.1位移一时间曲线与速度时间曲线 点：A点表示时刻1质点的位置为x。 斜率：曲线上A点切线的斜率为该时刻质点瞬时速度的大小，v=gQ= dx d
教案 第一章 质点运动学 2 B A r r r = − r x i y j A A A = + r x i y j B B B = + r (x x )i (y y )j B A B A = − + − 说明：位置矢量可以确定质点当前位置，与坐标系选取的原点有关；位移是位置矢量的 变化量，与坐标系选取的原点无关。 2．速度、加速度 定义瞬时速度： dt dr x r v x = = → lim 0 , dt dr v = ，同理： dt dv a = 说明：速度的方向是位移的方向，不是位置矢量的方向；加速度的方向是速度增量的方 向，不一定是速度的方向，圆周运动就是例子。 已知 r 可按 dt dv a = 求得 a ，从而运用 F ma = 求得 F ；现在倒过来通过积分，即可 求得运动方程，以 a 为恒量。 例：设 t=0 时， 0 r r = ， 0 v v = 得 v v at = 0 + 2 0 0 2 1 r − r = v t + at 2.1 位移－时间曲线与速度时间曲线 点：A 点表示时刻 t 质点的位置为 x。 斜率：曲线上 A 点切线的斜率为该时刻质点瞬时速度的大小， dt dx v = tg = ； x x 0 t t A x x 0 t t A v B 0 t t v0 v v B 0 t t v0 v
教案第一章质点运动学 点：B点切线的斜率表示该时刻质点加速度的大小，Q=gB=中 dt 面积：曲线与o轴所围的面积为该段时间内的位移，上方为正，下方为负。 例题2：一质点的运动方程为x=b1-c12;b,c>0,x一1图如下图所示，试求任一时刻 的v,a,并作图。 T A b b 解：由速度的定义有：v=血=b-2c 同理有：4=小=-2c 讨论：由作出的v一1图形，可求得该质点1=0→1= 名时间内的位移为上边三角形面 14 积6.662 26·=二：同理名→2的位移为、6 2c c ：而 2e 0→的位移为：即质点又回到原点。 2 S2加速度为恒量时的质点运动Motion of particles with constant acceleration 1.加速度为恒矢量时质点的运动方程： 当石为恒矢量时，由加速度的定义ā-东得： [d=ad:设t0时，vvo有 下=i。+al 3
教案 第一章 质点运动学 3 点：B 点切线的斜率表示该时刻质点加速度的大小， dt dv a = tg = ; 面积：曲线与 ot 轴所围的面积为该段时间内的位移，上方为正，下方为负。 例题 2：一质点的运动方程为 ( ) 2 x t = bt − ct ;b，c>0，x－t 图如下图所示，试求任一时刻 的 v，a，并作图。 解：由速度的定义有： b ct dt dx v = = − 2 同理有： c dt dv a = = −2 讨论：由作出的 v－t 图形，可求得该质点 c b t t 2 = 0 → = 时间内的位移为上边三角形面 积 c b c b b 2 2 4 1 2 = ； 同理 c b c b → 2 的位移为 c b 4 2 − ； 而 c b 0 → 的位移为 0；即质点又回到原点。 §2 加速度为恒量时的质点运动 Motion of particles with constant acceleration 1．加速度为恒矢量时质点的运动方程： 当 a 为恒矢量时，由加速度的定义 dt dv a = 得： = v t v vdt adt 0 0 ；设 t=0 时，v=v0 有 v v at = 0 + c b 4 2 b 2c b c x o y v b 0 t c b 2 c b a 0 c b 2 c b t -2c
教案第一章质点运动学 在y坐标系中有：y,=yo+a,l y,="0+a,1 设0时，质点的位矢为。，根据速度的定义有： 广d=di+adh,即r-后=+ar 上式即为此情况下质点的运动方程，写成分量形式为： =+ y-Yo=Yl+,f 在oxy坐标系中，其分量式和矢量式的图形如图所示。 在运动方程中消去时间t可得到y(x)函数表达式，这就是质点在平面上运动时的轨迹方程。 2.斜抛运动 在y坐标系中的斜抛运动中，ā=ā，=g即考虑地球表面附近的斜抛运动，则有： F=w1+58到 由图中可以看出，斜抛运动可作看是沿x轴成α角的匀速直线运动与y轴方向匀加速直线 运动叠加而成。而且这两个运动是互不影响的，这就是通常所说的运动叠加原理。 下面讨论斜抛运动中的轨迹方程和最大射程问题： 设0时，x0=0,0=0:o=c0sa,o=osn 则有：x=1 y=vosmna.-8 消去时间t得其轨迹方程：为=g2-2行cos a 上式是一个抛物线方程，说明抛体的路径为一抛物线。 抛物的射程即当y0时，其x值，由y=,sna1-8得： 1=2m:代入x=,sma1得： g
教案 第一章 质点运动学 4 在 xy 坐标系中有： v v a t x = x0 + x v v a t y = y0 + y 设 t=0 时，质点的位矢为 0 r ，根据速度的定义有： = + r t t r dr v dt a dt 0 0 0 0 ，即 2 0 0 2 1 r r v t at − = + 上式即为此情况下质点的运动方程，写成分量形式为： 2 0 0 2 1 x x v t a t − = x + x 2 0 0 2 1 y y v t a t − = y + y 在 oxy 坐标系中，其分量式和矢量式的图形如图所示。 在运动方程中消去时间t可得到y(x)函数表达式，这就是质点在平面上运动时的轨迹方程。 2．斜抛运动 在 xy 坐标系中的斜抛运动中， a ay g = = 即考虑地球表面附近的斜抛运动，则有： 2 0 2 1 r v t gt = + 由图中可以看出，斜抛运动可作看是沿 x 轴成角的匀速直线运动与 y 轴方向匀加速直线 运动叠加而成。而且这两个运动是互不影响的，这就是通常所说的运动叠加原理。 下面讨论斜抛运动中的轨迹方程和最大射程问题： 设 t=0 时，x0=0，y0=0； v0x = v0 cos ，v0y = v0 sin 则有： x = v cos t 0 2 0 2 1 y = v sin t − gt 消去时间 t 得其轨迹方程为： 2 2 2 0 2 cos 2 x v y y xtg = − 上式是一个抛物线方程，说明抛体的路径为一抛物线。 抛物的射程即当 y=0 时，其 x 值，由 2 0 2 1 y = v sin t − gt 得： g v t 2 0 sin = ；代入 x = v sin t 0 得：
教案第一章质点运动学 x=2visn acosa=sin g 最大射程条件为：产=0：即a=受时、-一是 若考虑空气阻力，则物体经过的路径为一不对称的 曲线，实际射程要比真空中的射程小很多，示意图如右 、真空中路径 图所示。 实际路径 下面给出几个真空中和空气中弹力的射程数据 初速mls射角 真空射程m实际射程m 7.6mm子弹 800150 32700 3870 85mm炮弹 700 450 50000 16000 82mm炮弹60450367 350 利用斜抛体的运动方程，经适当修正，可粗略估算出洲际导弹的射程。 s3圆周运动、切向加速度和法向加速度Circular motion, centripetal acceleration 1.圆周运动的切向加速度和法向加速度 如图作圆周运动的质点在△1时间内，由A到B,速度 △ 18 由下，变为下B,△行=下。-下4，若以下4为半径作圆弧交下a于 c点，画出△节n和△币，则有：△=△in+△， 显然△下，反映速度的数值变化，而△，反映其方向变 △币 =a+a 化，a-m智-m是+m怨 当f→0时，0→0，△y,=v4-Va=△v △_ .a.=lim di' 方向为切线方向
教案 第一章 质点运动学 5 2 2 0 2 0 sin 2 sin cos g v g v x = = 最大射程条件为： = 0 d dx ；即 4 = 时， g v x 2 0 max = 若考虑空气阻力，则物体经过的路径为一不对称的 曲线，实际射程要比真空中的射程小很多，示意图如右 图所示。 下面给出几个真空中和空气中弹力的射程数据 初速 m/s 射角 真空射程 m 实际射程 m 7.6mm子弹 800 150 32700 3870 85mm 炮弹 700 450 50000 16000 82mm 炮弹 60 450 367 350 利用斜抛体的运动方程，经适当修正，可粗略估算出洲际导弹的射程。 §3 圆周运动、切向加速度和法向加速度 Circular motion, centripetal acceleration 1．圆周运动的切向加速度和法向加速度 如图作圆周运动的质点在 t 时间内，由 A 到 B，速度 由 A v 变为 B v ， B A v v v = − ，若以 A v 为半径作圆弧交 B v 于 c 点，画出 n v 和 v ，则有： v v v n = + 显然 v 反映速度的数值变化，而 n v 反映其方向变 化， a a t v t v t v a n t n t t = + + = = → → → lim 0 lim 0 lim 0 当 t →0 时， →0， v v v v = A − B = dt dv t v a t = = → lim 0 ，方向为切线方向， O A B vA vB vC vA vA v vC C 真空中路径 实际路径
教案第一章质点运动学 注意：ā，是对速度大小的求导。 △v a,=lim A 2,方向为向心方向， 因为A0AB与速度三角形相似，所以有AL=B,即△，=B,当N→0时， Va r AB → a,=m28 写成一段的形式为：， r 注意：a= ，a=a.+a,g0-g a. 此时，加速度不再指向圆心，其方向有g来决定。 对一般曲线运动，半径r由曲率半径印来代替，即： . h p 时论当：不变时，空=a=0,Q,=二，为匀速圆照运动此时只有向心加遣度。 例题3：求以初速度%平抛的质点切向加速度和向心加速度。 解：在任一时刻1有： v=Vvi+(gi)d,=thv= 8'1 h2√8+gT a=g--g-+g7 g72 问：an和a,的方向如何求得？
教案 第一章 质点运动学 6 注意： a 是对速度大小的求导。 t v a n t = → lim 0 ，方向为向心方向， 因为 ΔOAB 与速度三角形相似，所以有 r AB v v A n = ，即 n A v r AB v = ，当 t →0 时， → t AB vA r v t AB r v a A A t n 2 0 lim = = → 写成一般的形式为： r v an 2 = 注意： dt dv a = ，而 dt dv a = ， a an a = + ， a a tg n = 此时，加速度不再指向圆心，其方向有 tg来决定。 对一般曲线运动，半径 r 由曲率半径来代替，即： 2 v an = ； dt dv a = 讨论：当 v 不变时， = a = 0 dt dv ， r v an 2 = ，为匀速圆周运动，此时只有向心加速度。 例题 3：求以初速度 v0 平抛的质点切向加速度和向心加速度。 解：在任一时刻 t 有： ( ) 2 2 v = v0 + gt 2 2 2 0 2 2 v g t g t dt dv a + = = 2 2 2 0 2 2 2 2 2 v g t g t an g a g + = − = − 问： n a 和 a 的方向如何求得？ O an a a x y o x y R v
教案第一章质点运动学 2.加速度a、a的推导 如图5n0-r片 ,VcOsD a培安最盘日 =峦n0-发 aai+oi-(n-co-o0-nol =snG+ea)co-sn列 而：--sin所+cos牙；方=-cos所-sin写恰为切线和法线方向的单位矢量，如下图所示 则a=an+a, 这种推导方法的好处在于直接从速度、加速度的定义入手，比 原来的推导方法更直接。 S4相对运动Relative motion 设有两个参照系S、S,其中S,以速度ū相对S沿直线运动，经过时间At后，若一 质点在S中的位移为△F',则该质点在S系中的位移△F为： r=AF'+iiAt 这就是位移的相对性，由位移的相对性可得到速度的相对性，即： 下='+i
教案 第一章 质点运动学 7 2．加速度 an、a的推导 如图 R y v v v x = − sin = − R x v v v y = cos = sin cos sin 2 R v dt dv R v v dt dv R v dt dy R y dt dv dt dv a y x x = − − − − = = = − − cos sin 2 R v dt dv dt dx R v R x dt dv dt dv a y y = = − + = − ( ) ( i j) R v i j dt dv j R v dt dv i R v dt dv a a i a j x y sin cos cos sin sin cos cos sin 2 2 2 = − + + − − + − = + = − − 而 i j ˆ = −sin + cos ； n i j ˆ = −cos − sin 恰为切线和法线方向的单位矢量，如下图所示 则 a an a = + 其中 R v an 2 = ； dt dv a = 这种推导方法的好处在于直接从速度、加速度的定义入手，比 原来的推导方法更直接。 §4 相对运动 Relative motion 设有两个参照系 S、S1，其中 S1 以速度 u 相对 S 沿直线运动，经过时间t 后，若一 质点在 S1 中的位移为 r ，则该质点在 S 系中的位移 r 为： r = r +ut 这就是位移的相对性，由位移的相对性可得到速度的相对性，即： v v u = + v v u x y o x y n
教案第一章质点运动学 上式说明一物体的速度等于该物体相对另一运动参照系的速度与该参照系的速度之 和，对更一般的问题，可如此求相对速度。 下a对b=Vac+下e对b 例题：汽车在雨中行驶，雨滴以速度下落，方向偏竖直前方确，车后有一长为I的车 厢未被盖住。蓬高未h,为使后边不被淋湿，问车速2应为多大？ 解：利用相对速度法求解，雨滴相对车的速度ⅴ如 图，则有： V2 =vsin 0+v.cos0.tga V2 而ga h 即：汽车须以大于2的速度行驶。 例题：G.Gamov(伽莫夫，美)桥下失落空瓶命题： 小船在河中逆水而上，经过桥下时恰好失落一个带空瓶塞的空瓶于水中。半小时后 发觉，即掉头追寻。问：经过多少时间可追得此瓶？船对水的速度始终不变。 解：坐标选在岸上，设船相对于水的速度为：水相当于岸的速度为山，时间！后追寻到 瓶子。 逆水时，船相当于岸：y1=v-: 掉头时离桥距离为：I=(y-。 顺水时，船相当于岸：2=v+: 则1--以。+u+m v+u v+u 上式中1.4+1为瓶子漂离桥的距离。 解*式可得：tp=1ov,即：1=1o 经过半小时后可追得此瓶。 解二：如果把参照系选在水中，即空瓶上，问题则简单得多。因为在此参照系中，船速 8
教案 第一章 质点运动学 8 上式说明一物体的速度等于该物体相对另一运动参照系的速度与该参照系的速度之 和，对更一般的问题，可如此求相对速度。 a b a c c b v 对 v 对 v 对 = + 例题：汽车在雨中行驶，雨滴以 v1 速度下落，方向偏竖直前方角，车后有一长为 l 的车 厢未被盖住。蓬高未 h，为使后边不被淋湿，问车速 v2 应为多大？ 解：利用相对速度法求解，雨滴相对车的速度 v 如 图，则有： v2 = v1 sin + v1 cos tg 而 h l tg = 2 = 1 sin + 1 cos = 1 sin + cos h l v h l v v v 即：汽车须以大于 v2 的速度行驶。 例题：G.Gamov（伽莫夫，美）桥下失落空瓶命题： 小船在河中逆水而上，经过桥下时恰好失落一个带空瓶塞的空瓶于水中。半小时后 发觉，即掉头追寻。问：经过多少时间可追得此瓶？船对水的速度始终不变。 解：坐标选在岸上，设船相对于水的速度为 v；水相当于岸的速度为 u，时间 t 后追寻到 瓶子。 逆水时，船相当于岸： v1 = v −u ； 掉头时离桥距离为： ( ) 1 0 l = v − u t 顺水时，船相当于岸： v2 = v + u ； 则 ( ) v u t u tu v u v u t t + + + + − = 0 0 * 上式中 t 0u + tu 为瓶子漂离桥的距离。 解*式可得： tv t v = 0 ，即： 0 t = t 经过半小时后可追得此瓶。 解二：如果把参照系选在水中，即空瓶上，问题则简单得多。因为在此参照系中，船速 h l v1 v2 h l v1 v2 v v1 v2
教案第一章质点运动学 是不变的，船离开半小时后再来找，当然是半小时后在相遇。至于水速和船速，自然是 任意值。 说明：此题曾经在美国高校里来判断学生到底应该学物理系还是应该念数学系。是个有 趣的问题
教案 第一章 质点运动学 9 是不变的，船离开半小时后再来找，当然是半小时后在相遇。至于水速和船速，自然是 任意值。 说明：此题曾经在美国高校里来判断学生到底应该学物理系还是应该念数学系。是个有 趣的问题
