教案第二章牛顿定律 第二章牛顿定律Newton'slaw 在第一章质点运动学中，通过引入位置矢量、速度和加速度描述了质点的运动，而 没有研究引起运动改变的原因。质点运动状态的变化，它是与作用在质点上的力有关的 这部分内容属于牛顿定律涉及的范围。以牛顿定律为基础建立起来的宏观物体运动规律 的动力学理论称之为牛顿力学或经典力学。本章将概括地阐述牛顿定律的内容及其在质 点运动方面的初步应用。 一基本要求 1掌握牛顿定律及其应用条件： 2能用微积分方法求解一维变力作用下的简单质点的动力学问题： 3了解惯性力的概念和非惯性系中应用牛顿定律的方法。 二基本内容 1牛顿运动定律 牛顿运动定律第一定律数学表达式F=0v=恒矢量 牛顿第二定律数学表达式F-出=m出 牛顿第三定律数学表达式F2=-F 2应用牛顿定律解题的一般方法和步骤 根据题意选择研究对象，对研究对象进行受力分析： 考察运动情况，建立坐标系，列出牛顿定律方程的矢量式及其分量式： 正确求解，并对结果作必要的分析。 3力学中常见力 万有引力F=-G 重力（忽略地球自转的影响）P=Gm”=服 弹性力（弹簧的弹力）F=-: 摩擦力 14
教案 第二章 牛顿定律 14 第二章 牛顿定律 Newton’s law 在第一章质点运动学中，通过引入位置矢量、速度和加速度描述了质点的运动，而 没有研究引起运动改变的原因。质点运动状态的变化，它是与作用在质点上的力有关的， 这部分内容属于牛顿定律涉及的范围。以牛顿定律为基础建立起来的宏观物体运动规律 的动力学 ．．．理论称之为牛顿力学或经典力学。本章将概括地阐述牛顿定律的内容及其在质 点运动方面的初步应用。 一 基本要求 1 掌握牛顿定律及其应用条件； 2 能用微积分方法求解一维变力作用下的简单质点的动力学问题； 3 了解惯性力的概念和非惯性系中应用牛顿定律的方法。 二 基本内容 1 牛顿运动定律 牛顿运动定律第一定律数学表达式 F = 0 v = 恒矢量 牛顿第二定律数学表达式 t m t d d d dp v F = = 牛顿第三定律数学表达式 F12 = −F21 2 应用牛顿定律解题的一般方法和步骤 根据题意选择研究对象，对研究对象进行受力分析； 考察运动情况，建立坐标系，列出牛顿定律方程的矢量式及其分量式； 正确求解，并对结果作必要的分析。 3 力学中常见力 万有引力 r 1 2 2 F e r m m = −G 重力（忽略地球自转的影响） mg r m m P G E = = 2 弹性力（弹簧的弹力） F = −kx 摩擦力
教案第二章牛顿定律 静摩擦力 F和Fnm,F≤Fm,Fm=μoFN 滑动摩擦力F=FN 4惯性力 平动加速参考系中惯性力F=-mao 匀速转动参考系中惯性（离心）力F:=mlo2e, 非惯性系中牛顿第二定律数学表达式F+F=m 15
教案 第二章 牛顿定律 15 静摩擦力 f0 f0m fo fom fom μ 0 N F 和F , F F , F = F 滑动摩擦力 Ff = FN 4 惯性力 平动加速参考系中惯性力 Fi = −ma0 匀速转动参考系中惯性（离心）力 r 2 i F = ml e 非惯性系中牛顿第二定律数学表达式 F + Fi = ma
教案第二章牛顿定律 S1牛顿定律Newton'slaw 一牛顿第一定律 按照古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle,.公元前384322)的说法，静止是物体的 自然状态，要使物体以某一速度作匀速运动，必须有力对它作用才行。意大利物理学家 和天文学家伽利略指出，如果没有外力作用，物体将以恒定的速度运动下去。力不是维 持物体运动的原因，而是使物体运动状态改变的原因。 1686年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中写道：任何物体都要保持 静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止，这就是牛顿第一定律， 牛顿第一定律的数学形式表示为： F=0时，"=恒矢量 (2-1) 第一定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性， 一定要有其他物体对它作用，这种作用被称之为力。 二牛顿第二定律 1.动量 物体运动时总具有速度，我们把物体的质量m与其运动速度ⅴ的乘积叫做物体的动 量，用P表示，即 P=my (2-2） 动量P显然也是一个矢量，其方向与速度v的方向相同。与速度可表示物体运动状态 样，动量也是表述物体运动状态的量，但动量较之速度其涵义更为广泛，意义更为重要， 当外力作用于物体时，其动量发生改变，牛顿第二定律阐明了作用物体的外力与物体动 量变化的关系。 2.牛顿第二定律 牛顿第二定律表明，动量为P的物体，在合外力F(=∑F)的作用下，其动量随时 间的变化率应当等于作用物体的合外力，即 F=史-dmy (2-3a) dtdt 当物体在低速情况下运动时，即物体的运动速度ⅴ远小于光速(<<c)时，物体的质量可 6
教案 第二章 牛顿定律 16 §1 牛顿定律 Newton’s law 一 牛顿第一定律 按照古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前 384-322）的说法，静止是物体的 自然状态，要使物体以某一速度作匀速运动，必须有力对它作用才行。意大利物理学家 和天文学家伽利略指出，如果没有外力作用，物体将以恒定的速度运动下去。力不是维 持物体运动的原因，而是使物体运动状态改变的原因。 1686 年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中写道：任何物体都要保持 ．．．．．．．． 静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，这就是牛顿第一定律 ．．．．．．， 牛顿第一定律的数学形式表示为： F = 0时，v = 恒矢量 (2-1) 第一定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性， 一定要有其他物体对它作用，这种作用被称之为力。 二 牛顿第二定律 1. 动量 物体运动时总具有速度，我们把物体的质量 m 与其运动速度 v 的乘积叫做物体的动． 量．，用 P 表示，即 P = mv (2-2) 动量 P 显然也是一个矢量，其方向与速度 v 的方向相同。与速度可表示物体运动状态一 样，动量也是表述物体运动状态的量，但动量较之速度其涵义更为广泛，意义更为重要， 当外力作用于物体时，其动量发生改变，牛顿第二定律阐明了作用物体的外力与物体动 量变化的关系。 2. 牛顿第二定律 牛顿第二定律表明，动量为 ．．．P 的物体 ．．．，在合外力 ．．．． ( ) F =Fi 的作用下 ．．．．，其动量随时 ．．．．． 间的变化率应当等于作用物体的合外力 ．．．．．．．．．．．．．．．．．，即 t dt d(m v) d d = = p F (2-3a) 当物体在低速情况下运动时，即物体的运动速度 v 远小于光速 c(v<<c)时，物体的质量可
教案第二章牛顿定律 以视为是不依赖于速度的常量，于是上式可写成 (2-3b 或 F=ma 3.直角坐标系中分量形式 在直角坐标系中也可写成 F=出告0警 即 F=ma i+mayj+ma.k (2-3d) 式(2-3)是牛顿第二定律的数学表达式，又称牛顿力学的质点动力学方程。 牛顿第二定律是牛顿力学的核心，应用它解决问题时必须注意以下几点。 (1)牛顿第二定律只适用于质点的运动，物体作平动时，物体上各质点的运动情况完 全相同，所以物体的运动可看作是质点的运动，此时这个质点的质量就是整个物体的质 量，以后如不特别指明，在论及物体的平动时，都是把物体当作质点来处理的。 (②)牛顿第二定律所表示的合外力与加速度之间的关系是瞬时关系，也就是说，加速 度只在外力有作用时才产生，外力改变了，加速度也随之改变。 (3)力的叠加原理。当几个外力同时作用于物体时，其合外力所产生的加速度a,与 每个外力F所产生加速度a的矢量和是一样的，这就是力的叠加原理。式(2-3)是牛顿 第二定律的矢量式，它在直角坐标系Ox、Oy和O:轴上的分量式分别为 F.=ma,.F =may,F.=ma. (2-4) 式中Fx、F,和F:分别表示作用在物体上所有的外力在Ox、Oy和O:轴上的分量之和： a、a,和a.分别表示物体加速度a在Ox、Oy和O:轴上的分量。 4.自然坐标系的分量形式 当质点在平面上作曲线运动时，我们可取图2-1所 示的自然坐标系为法向单位矢量，A为切向单位矢 量，于是质点在点A的加速度a在自然坐标系的两个相 互垂直方向上的分矢量m和a,这样，质点平面上作曲 线运动时，在自然坐标系中牛顿第二定律写成 图2-1 dy F=ma=m(a+a）=m ,+m。 (2-5a） 17
教案 第二章 牛顿定律 17 以视为是不依赖于速度的常量，于是上式可写成 t m d dv F = (2-3b) 或 F = ma 3. 直角坐标系中分量形式 在直角坐标系中也可写成 k v j v i v v F t m t m t m t m x y z d d d d d d d d = = + + 即 F = max i + may j + mazk (2-3d) 式(2-3)是牛顿第二定律的数学表达式 ．．．．．．．．．．．．，又称牛顿力学的质点动力学方程 ．．．．．．．．．．．．。 牛顿第二定律是牛顿力学的核心，应用它解决问题时必须注意以下几点。 (1)牛顿第二定律只适用于质点．．的运动，物体作平动时，物体上各质点的运动情况完 全相同，所以物体的运动可看作是质点的运动，此时这个质点的质量就是整个物体的质 量，以后如不特别指明，在论及物体的平动时，都是把物体当作质点来处理的。 (2)牛顿第二定律所表示的合外力与加速度之间的关系是瞬时．．关系，也就是说，加速 度只在外力有作用时才产生，外力改变了，加速度也随之改变。 (3)力的叠加原理。当几个外力同时作用于物体时，其合外力所产生的加速度 a，与 每个外力 Fi 所产生加速度 ai 的矢量和是一样的，这就是力的叠加原理 ．．．．．．。式(2-3)是牛顿 第二定律的矢量式，它在直角坐标系 Ox、Oy 和 Oz 轴上的分量式分别为 Fx = max Fy = ma y Fz = maz , , (2-4) 式中 Fx、Fy和 Fz 分别表示作用在物体上所有的外力在 Ox、Oy 和 Oz 轴上的分量之和； ax、ay和 az 分别表示物体加速度 a 在 Ox、Oy 和 Oz 轴上的分量。 4. 自然坐标系的分量形式 当质点在平面上作曲线运动时，我们可取图 2-1 所 示的自然坐标系 en 为法向单位矢量， et 为切向单位矢 量，于是质点在点 A 的加速度 a 在自然坐标系的两个相 互垂直方向上的分矢量 at 和 an，这样，质点平面上作曲 线运动时，在自然坐标系中牛顿第二定律写成 n 2 n t d d F a (a a e e v m t v = m = m t + )= m + (2-5a) en et a 图 2-1
教案第二章牛顿定律 如以F和F。代表合外力F在切向和当向的分矢量，则有 (2-5b) 式中F叫做切向力，F叫做法向力（或向心力）：a和m相应地叫做切向加速度和法向 加速度。 三牛顿第三定律 牛顿第一定律指出物体只有在外力作用下才改变其运动状态，牛顿第二定律给出物 体的加速度与作用于物体的力和物体质量之间的数量关系，牛顿第三定律说明力具有物 体间相互作用的性质。 两个物体之间的作用力F和反作用力F,沿同一直线，大小相等，方向相反，分别 作用在两物体上，这就是牛顿第三定律，其数学表达式为 F=-F' (2-6) 作用力和反作用力是同时产生、同时消灭、分别作用在两个物体上的属于同种性质 的力。 思考题 试分析下列问题： ()物体的运动方向和合外力方向是香一定相同？ (2)物体受到几个力的作用，是否一定产生加速度？ (③)物体运动的速率不变，所受合外力是否为零？ S2物理量的单位和量纲The international system of units 国际单位制中规定：力学的基本量是长度、质量和时间，长度的基本单位名称为米， 单位符号为m,质量的基本单位名称为千克，单位符号为kg:时间的基本单位名称为秒， 单位符号为5。其它力学量都是导出量，导出量与基本量之间的关系可用量纲来表示，我 们用L、M、T分别表示长度、质量、时间的量纲，其它力学量Q的量纲与基本量量纲之 间的关系，可按下列形式表示：
教案 第二章 牛顿定律 18 如以 Ft 和 Fn 代表合外力 F 在切向和当向的分矢量，则有 = = = = n n n t t t ρ d 2 F a e F a e v m m t v m m d (2-5b) 式中 Ft 叫做切向力，Fn 叫做法向力（或向心力）；at 和 an 相应地叫做切向加速度和法向 加速度。 三 牛顿第三定律 牛顿第一定律指出物体只有在外力作用下才改变其运动状态，牛顿第二定律给出物 体的加速度与作用于物体的力和物体质量之间的数量关系，牛顿第三定律说明力具有物 体间相互作用的性质。 两个物体之间的作用力 ．．．．．．．．．．F 和反作用力 ．．．．．F，沿同一直线 ．．．．．．，大小相等 ．．．．，方向相反 ．．．．，分别．． 作用在 ．．．两物体上 ．．．．，这就是牛顿第三定律 ．．．．．．，其数学表达式为 F = −F （2-6） 作用力和反作用力是同时产生、同时消灭、分别作用在两个物体上的属于同种性质 的力。 思考题 试分析下列问题： (1) 物体的运动方向和合外力方向是否一定相同？ (2) 物体受到几个力的作用，是否一定产生加速度？ (3) 物体运动的速率不变，所受合外力是否为零？ §2 物理量的单位和量纲 The international system of units 国际单位制中规定：力学的基本量是长度、质量和时间，长度的基本单位名称为米， 单位符号为 m，质量的基本单位名称为千克，单位符号为 kg；时间的基本单位名称为秒， 单位符号为 s。其它力学量都是导出量，导出量与基本量之间的关系可用量纲来表示，我 们用 L、M、T 分别表示长度、质量、时间的量纲，其它力学量 Q 的量纲与基本量量纲之 间的关系，可按下列形式表示：
教案第二章牛顿定律 dimo=LMTS 在一个等式的两边，量纲必须相同，故一般可用量纲来初步检查等式的正确性。 国际单位制的基本单位有七个，其定义如下： 1)长度：米是光在真空中(1299792458)s时间间隔内是经路径的长度： 2)质量：千克等于国际千克原器的质量： 3)时间：秒是绝-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770 个周期的持续时间： 4)电流：在真空中，截面积可忽略的两根相距1m的无限长平行圆直导线内通以等量恒 定电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为2x10N,则每根导线中的电流为1A: 5)热力学温度：热力学温度开尔文是水三相点热力学温度的1273.16： 6)物质的量：摩尔是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012kg碳-12 的原子数目相等。在使用摩尔时，基本单元应指明，可以是原子、分子、离子、电子及 其它粒子，或是这些粒子的特定组合： 7)发光强度：坎德拉是一光源在给定方向上发光强度，该光源发出频率为540x102Hz 的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为(1/683)W/sr。 s3几种常见的力The forces ofnature 在动力学中，分析物体受力情况是十分重要的。力学中常见的力有弹性力、摩擦力、 万有引力等，它们分属不同性质的力，弹性力和摩擦属接触力，而万有引力属场力。下 面我们来介绍弹性力、摩擦力和万有引力。 一万有引力 牛顿继承了前人的研究成果，提出了著名的万有引力定律。这个定律指出，星体之 间，地球与球表面附近的物体之间，以及所有物体与物体之间都存在着一种相互吸引的 力，所有这些力都遵循同一规律，这种相互吸引力叫做万有引力。万有引力定律可表达 为：在两个相距为”质量为m、m的质点间有万有引力，其方向沿着它们的连线，其 大小与它们的质量乘积成正比，与它们之间距离，的二次方成反比，即 19
教案 第二章 牛顿定律 19 p q S dimQ = L M T 在一个等式的两边，量纲必须相同，故一般可用量纲来初步检查等式的正确性。 国际单位制的基本单位有七个，其定义如下： 1）长度：米是光在真空中（1/299792458）s 时间间隔内是经路径的长度； 2）质量：千克等于国际千克原器的质量； 3）时间：秒是铯−133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的 9192631770 个周期的持续时间； 4）电流：在真空中，截面积可忽略的两根相距 1m 的无限长平行圆直导线内通以等量恒 定电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为 210−7N，则每根导线中的电流为 1A； 5）热力学温度：热力学温度开尔文是水三相点热力学温度的 1/273.16； 6）物质的量：摩尔是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与 0.012kg 碳−12 的原子数目相等。在使用摩尔时，基本单元应指明，可以是原子、分子、离子、电子及 其它粒子，或是这些粒子的特定组合； 7）发光强度：坎德拉是一光源在给定方向上发光强度，该光源发出频率为 54010Hz 的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为(1/683)W/sr。 §3 几种常见的力 The forces of nature 在动力学中，分析物体受力情况是十分重要的。力学中常见的力有弹性力、摩擦力、 万有引力等，它们分属不同性质的力，弹性力和摩擦属接触力，而万有引力属场力。下 面我们来介绍弹性力、摩擦力和万有引力。 一 万有引力 牛顿继承了前人的研究成果，提出了著名的万有引力定律。这个定律指出，星体之 间，地球与球表面附近的物体之间，以及所有物体与物体之间都存在着一种相互吸引的 力，所有这些力都遵循同一规律，这种相互吸引力叫做万有引力。万有引力定律 ．．．．．．．．．．．可表达 为：在两个相距为 ．．．．．．r．，质量为 ．．．m．1．、．m．2．的质点间有万有引力 ．．．．．．．．．，其方向沿着它们的连线 ．．．．．．．．．．，其． 大小与它们的质量乘积成正比 ．．．．．．．．．．．．．，与它们之间距离 ．．．．．．．r 的二次方成反比 ．．．．．．．，即
教案第二章牛顿定律 F=GM (2-7a) 式中G为一普适常数，叫做引力常量。引力常量最早是由英国物理学家卡文迪许 (H.Cavendish,1731-1810)于1798年由实验测出的。一般计算时取 G=6.67×101lN.m2kg2 用矢量形式表示，万有引力定律可写成 F=Gme (2-7b) G 图2-2万有引力示意图 如以由m指向m的有向线段为m的位矢，那么式中（为沿位矢方向的单位矢量 它等于m。而上式中的负号则表示m:施于m的万有引力的方向始终与沿位矢的单位矢 量的方向相反。 应该注意，万有引力定律中的F是两个质点之间的引力。若欲求两个物体间的引力， 则必须把每个物体分成很小部分，把每个小部分看成是一个质点，然后计算所有这些质 点间的相互作用力。 重力 通常的地球对地面附近物体的万有引力叫做重力P,其方向通常是指向地球中心的。 重力的大小又叫重量。在重力P的作用下，物体具有的加速度叫重力加速度g,有 8- 如以代表地球的质量，r为地球中心与物体之间的距离，由式(2-7)可得 在地球表面附近，物体与地球中心的距离r与地球的半径R相差很小即”R<R。故 上式可近似表示为
教案 第二章 牛顿定律 20 2 1 2 r m m F = G （2-7a） 式中 G 为一普适常数，叫做引力常量。引力常量最早是由英国物理学家卡文迪许 （H.Cavendish, 1731-1810）于 1798 年由实验测出的。一般计算时取 G=6.67×10 11N.m2 .kg-2 用矢量形式表示，万有引力定律可写成 r r m m F G e 2 1 2 = − (2-7b) 如以由 m1 指向 m2 的有向线段为 m2 的位矢 r，那么式中 er为沿位矢方向的单位矢量， 它等于 m/r。而上式中的负号则表示 m1 施于 m2 的万有引力的方向始终与沿位矢的单位矢 量的方向相反。 应该注意，万有引力定律中的 F 是两个质点 ．．．．之间的引力。若欲求两个物体间的引力， 则必须把每个物体分成很小部分，把每个小部分看成是一个质点，然后计算所有这些质 点间的相互作用力。 重力 通常的地球对地面附近物体的万有引力叫做重力 P，其方向通常是指向地球中心的。 重力的大小又叫重量。在重力 P 的作用下，物体具有的加速度叫重力加速度 g，有 m P g = 如以 mE 代表地球的质量，r 为地球中心与物体之间的距离，由式(2-7)可得 2 E r Gm g = 在地球表面附近，物体与地球中心的距离 r 与地球的半径 R 相差很小即 r−R<<R。故 上式可近似表示为 m1 m2 r 图 2-2 万有引力示意图
教案第二章牛顿定律 g=0 二弹性力 当两物体相互接触而挤压时，它们要发生形变。物体形变时欲恢复原来的形状，物 体间会有作用力产生。这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性力。 常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力：绳索被拉紧时所产生的 张力：重物放在支承面上产生的压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）等。 图2-4弹性力示意图 例题1 质量为m、长为1的柔软细绳，一端系着放在光滑 桌面上质量为m的物体，如图2-2(a)所示，在绳的另一 端加如图所示的F。绳被拉紧时会略有伸长（形变），一般 伸长甚微，可略去不计。现设绳的长度不变，质量分布 图2-5a 是均匀的。求：(1)绳作用在物体上的力：(2)绳上任意点的张力。 解如图2-2(b)所示，设想在绳索上点P将绳索分为 两段，它们之间有拉力F和F作用，这一对拉力称为张 力，它们的大小相等、方向相反。 ()由题意知，绳和物体均被约束在如图（©）所示的Ox 图2-5b) 轴上运动，且绳的长度不变，故它们的 加速度相等，均为α，设绳作用物体上 2 图2-5(c)
教案 第二章 牛顿定律 21 2 E R Gm g = 二 弹性力 当两物体相互接触而挤压时，它们要发生形变。物体形变时欲恢复原来的形状，物 体间会有作用力产生。这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性力。 常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被拉紧时所产生的 张力；重物放在支承面上产生的压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）等。 例题 1 质量为 m、长为 l 的柔软细绳，一端系着放在光滑 桌面上质量为 m的物体，如图 2-2(a)所示，在绳的另一 端加如图所示的 F。绳被拉紧时会略有伸长(形变)，一般 伸长甚微，可略去不计。现设绳的长度不变，质量分布 是均匀的。求：(1)绳作用在物体上的力；(2)绳上任意点的张力。 解 如图 2-2(b)所示，设想在绳索上点 P 将绳索分为 两段，它们之间有拉力 FT和 F T作用，这一对拉力称为张． 力．，它们的大小相等、方向相反。 (1)由题意知，绳和物体均被约束在如图(c)所示的 Ox 轴上运动，且绳的长度不变，故它们的 加速度相等，均为 a，设绳作用物体上 图 2-5(a) l m F m P FT FT 图 2-5(b) m FT0 a F m FT0 a 图 2-5(c) N F 图 2-4 弹性力示意图
教案第二章牛顿定律 的拉力为Fm,物体作用在绳端的力为F0,它们是作用力与反作用力，故Fm=一Fm 由牛顿第二定律，对物体与绳可分别有 Fto=m'a 和 F-F'To =ma 由于FD=Fo所以，物体与绳的加速度为 a- (1) m'+m 绳对物体的拉力为 从上式可以看出，由绳传递给物体的力F小于作用在绳另一端的外力F。只有当绳 的质量m远小于物体的质量m'时，绳的质量可忽略不计时，下才与F近似相等 ②由于绳的长度不变，且质量分布均匀，一 故其单位长度的质量即质量线密度为mM。在图 dx Fr dx Fr+dF ()中，取物体与绳连接处为原点O,在距原点 dm dm O为x的绳上，取一线元dx,其质量元为 图2-5(d) dr=mdv1。按图(d所示的示力图，由牛顿第二定律，有 (Fr+dFt)-F;=(ma="adx 利用式(1)，上式为 mF dF(m'm 从图(c)有时，F=F,所以上式的积分为 ∫5d,= m'mifdx F 得 Fm 斤=F-m+m0-刊 化简，得 22
教案 第二章 牛顿定律 22 的拉力为 FT0，物体作用在绳端的力为 F T0，它们是作用力与反作用力，故 FT0=－F T0。 由牛顿第二定律，对物体与绳可分别有 FTO = m a 和 F − F TO = ma 由于 FT0=FT0 所以，物体与绳的加速度为 m m F a + = （1） 绳对物体的拉力为 F m m m F + TO = 从上式可以看出，由绳传递给物体的力 FT0 小于作用在绳另一端的外力 F。只有当绳 的质量 m 远小于物体的质量 m 时，绳的质量可忽略不计时，FT0 才与 F 近似相等。 (2)由于绳的长度不变，且质量分布均匀， 故其单位长度的质量即质量线密度为 m/l。在图 (d)中，取物体与绳连接处为原点 O，在距原点 O 为 x 的绳上，取一线元 dx，其质量元为 dx=mdx/l。按图(d)所示的示力图，由牛顿第二定律，有 ( ) a x l m FT + dFT − FT = (dm)a = d 利用式(1)，上式为 x m m l mF F d ( ) d T + = 从图(c)有 x=l 时，FT=F，所以上式的积分为 + = F x F r x m m l mF F T 0 d ( ) d 得 ( ) ( ) T l x l m m Fm F F − + = − 化简，得 l dx dm FT dx FT+dFT dm 图 2-5(d)
教案第二章牛顿定律 F=(d+m宁+n F (2) 从式(2)中可以看出，绳中各点的张力是随位置而变的，即F=F(x)。当m'>m时， F≈F,此时绳中各点的张力近似相等，均约等于外力F。 三摩掾力 两个互相接触的物体间有相对 滑动的趋势但尚未相对滑动时，在 接触面上便产生阻碍发生相对滑动 的力，这个力称为静摩擦力。把物 7777777777777777 体放在一水平面上，有一外力F沿 水平面作用在物体上，若外力F较 F 小，物体尚未滑动，这时静摩擦力 777777777777777 F和与外力F在数值上相等，方向则 与F相反。静摩擦力Fm随着F的 图2-6摩擦力示意图 增大而增大，直到F增大到某一定数值时，物体相对平面即将滑动，这时静摩擦力达到 最大值，称为最大静摩擦力Fm。实验表明，最大静摩擦力的值与物体的正压力F、成正 比，即 Fsm =HoFN 血叫做静摩擦因数。静摩擦因数与两接触物体的材料性质以及接触面的情况有关，而与 接触面的大小无关。应强调指出，在一般情况下，静摩擦力总是满足下述关系的： Fs Fom 当物体在平面上滑动时，仍受摩擦力作用。这个摩擦力叫做滑动摩擦力F,其方向 总是与物体相对平面的运动方向相反，其大小也是与物体的正压力F、成正比，即 F=HF 叫做滑动摩擦因数。4与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、干湿度等有 关，还与两接触物体的相对速度有关。在相对速度不太大时，为计算简单起见，可以认 为滑动摩擦因数略小于静摩擦因数：在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相 等的。 23
教案 第二章 牛顿定律 23 m m F l x F m m + = ( + ) T （2） 从式（2）中可以看出，绳中各点的张力是随位置而变的，即 FT=FT(x)。当 m＇>>m 时， FT≈F，此时绳中各点的张力近似相等，均约等于外力 F。 三 摩擦力 两个互相接触的物体间有相对 滑动的趋势但尚未相对滑动时，在 接触面上便产生阻碍发生相对滑动 的力，这个力称为静摩擦力 ．．．．。把物 体放在一水平面上，有一外力 F 沿 水平面作用在物体上，若外力 F 较 小，物体尚未滑动，这时静摩擦力 Ff0 与外力 F 在数值上相等，方向则 与 F 相反。静摩擦力 Ff0 随着 F 的 增大而增大，直到 F 增大到某一定数值时，物体相对平面即将滑动，这时静摩擦力达到 最大值，称为最大静摩擦力 ．．．．．．Ffom。实验表明，最大静摩擦力的值与物体的正压力 FN 成正 比，即 Ffom = oFN 0 叫做静摩擦因数。静摩擦因数与两接触物体的材料性质以及接触面的情况有关，而与 接触面的大小无关。应强调指出，在一般情况下，静摩擦力总是满足下述关系的： Ff0 Ffom 当物体在平面上滑动时，仍受摩擦力作用。这个摩擦力叫做滑动摩擦力 ．．．． ．Ff，其方向 总是与物体相对平面的运动方向相反，其大小也是与物体的正压力 FN 成正比，即 Ff = FN 叫做滑动摩擦因数。与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、干湿度等有 关，还与两接触物体的相对速度有关。在相对速度不太大时，为计算简单起见，可以认 为滑动摩擦因数略小于静摩擦因数0；在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相 等的。 F F Ff1 Ff2 Ff1 图 2-6 摩擦力示意图
