第二章牛顿定律Newton'slaw 在第一章质点运动学中，通过引入位置矢量、速度和加速度描述了质点的运动，而没有研 究引起运动改变的原因。质点运动状态的变化，它是与作用在质点上的力有关的，这部分内容 属于牛顿定律涉及的范围。以牛顿定律为基础建立起来的宏观物体运动规律的动力学理论称之 为牛顿力学或经典力学。本章将概括地阐述牛顿定律的内容及其在质点运动方面的初步应用。 一基本要求 1掌握牛顿定律及其应用条件 2能用微积分方法求解一维变力作用下的简单质点的动力学问题： 3了解惯性力的概念和非惯性系中应用牛顿定律的方法。 二基本内容 1牛顿运动定律 牛顿运动定律第一定律数学表达式 F=0y=恒矢量 牛顿第二定律数学表达式 出m出 F 牛顿第三定律数学表达式 F2=-Fa 2应用牛顿定律解题的一般方法和步骤 根据题意选择研究对象，对研究对象进行受力分析： 考察运动情况，建立坐标系，列出牛顿定律方程的矢量式及其分量式： 正确求解，并对结果作必要的分析。 3力学中常见力 万有引力 P=G"m"=限 重力（忽略地球自转的影响） 2 弹性力（弹簧的弹力）F=-: 摩擦力 静摩擦力Fo和Fom,Fo≤Fom,Fonm=μo厂 滑动摩擦力F=F 4惯性力 平动加速参考系中惯性力 F=-ma 匀速转动参考系中惯性（离心）力F=moe, 非惯性系中牛顿第二定律数学表达式 F+F=ma
第二章 牛顿定律Newton’s law 在第一章质点运动学中，通过引入位置矢量、速度和加速度描述了质点的运动，而没有研 究引起运动改变的原因。质点运动状态的变化，它是与作用在质点上的力有关的，这部分内容 属于牛顿定律涉及的范围。以牛顿定律为基础建立起来的宏观物体运动规律的动力学理论称之 为牛顿力学或经典力学。本章将概括地阐述牛顿定律的内容及其在质点运动方面的初步应用。 一 基本要求 1 掌握牛顿定律及其应用条件； 2 能用微积分方法求解一维变力作用下的简单质点的动力学问题； 3 了解惯性力的概念和非惯性系中应用牛顿定律的方法。 二 基本内容 1 牛顿运动定律 牛顿运动定律第一定律数学表达式 F = 0 v = 恒矢量 牛顿第二定律数学表达式 t m t d d d dp v F = = 牛顿第三定律数学表达式 F12 = −F21 2 应用牛顿定律解题的一般方法和步骤 根据题意选择研究对象，对研究对象进行受力分析； 考察运动情况，建立坐标系，列出牛顿定律方程的矢量式及其分量式； 正确求解，并对结果作必要的分析。 3 力学中常见力 万有引力 r 1 2 2 F e r m m = −G 重力（忽略地球自转的影响） mg r m m P G E = = 2 弹性力（弹簧的弹力） F =−kx 摩擦力 静摩擦力 f0 f0m fo fom fom μ 0 N F 和F , F F , F = F 滑动摩擦力 Ff = FN 4 惯性力 平动加速参考系中惯性力 Fi = −ma0 匀速转动参考系中惯性（离心）力 r 2 i F = ml e 非惯性系中牛顿第二定律数学表达式 F + Fi = ma
S1牛顿定律Newton'slaw 一牛顿第一定律 按照古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle,公元前384-322)的说法，静止是物体的自然状 态，要使物体以某一速度作匀速运动，必须有力对它作用才行。意大利物理学家和天文学家伽 利略指出，如果没有外力作用，物体将以恒定的速度运动下去。力不是维持物体运动的原因， 而是使物体运动状态改变的原因。 1686年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中写道：任何物体都要保持静止或 匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止，这就是牛顿第一定律，牛顿第一定律 的数学形式表示为： F=0时，v=恒矢量 2-1) 第一定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性，一定要 有其他物体对它作用，这种作用被称之为力。 二牛顿第二定律 1.动量 物体运动时总具有速度，我们把物体的质量m与其运动速度的乘积叫做物体的动量，用P 表示，即 P=nv (2-2) 动量P显然也是一个矢量，其方向与速度的方向相同。与速度可表示物体运动状态一样，动量 也是表述物体运动状态的量，但动量较之速度其涵义更为广泛，意义更为重要，当外力作用于 物体时，其动量发生改变，牛顿第二定律阐明了作用物体的外力与物体动量变化的关系。 2.牛顿第二定律 牛领第二定律表明，动量为P的物体，在合外力F(一∑F)的作用下，其动量随时间的变 化率应当等于作用物体的合外力，即 F= dp d(mv) dtdt (2-3a) 当物体在低速情况下运动时，即物体的运动速度v远小于光速(<©)时，物体的质量可以视为 是不依赖于速度的常量，于是上式可写成 F=盘 (2-3b) 或 F=ma 3.直角坐标系中分量形式 在直角坐标系中也可写成 F=mdv
§1 牛顿定律Newton’s law 一 牛顿第一定律 按照古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前384-322）的说法，静止是物体的自然状 态，要使物体以某一速度作匀速运动，必须有力对它作用才行。意大利物理学家和天文学家伽 利略指出，如果没有外力作用，物体将以恒定的速度运动下去。力不是维持物体运动的原因， 而是使物体运动状态改变的原因。 1686年，牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》一书中写道：任何物体都要保持静止或 匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止，这就是牛顿第一定律，牛顿第一定律 的数学形式表示为： F = 0时，v = 恒矢量 (2-1) 第一定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性，一定要 有其他物体对它作用，这种作用被称之为力。 二 牛顿第二定律 1. 动量 物体运动时总具有速度，我们把物体的质量m与其运动速度v的乘积叫做物体的动量，用P 表示，即 P = mv (2-2) 动量P显然也是一个矢量，其方向与速度v的方向相同。与速度可表示物体运动状态一样，动量 也是表述物体运动状态的量，但动量较之速度其涵义更为广泛，意义更为重要，当外力作用于 物体时，其动量发生改变，牛顿第二定律阐明了作用物体的外力与物体动量变化的关系。 2. 牛顿第二定律 牛顿第二定律表明，动量为P的物体，在合外力 ( ) F =Fi 的作用下，其动量随时间的变 化率应当等于作用物体的合外力，即 t dt d(mv) d d = = p F (2-3a) 当物体在低速情况下运动时，即物体的运动速度v远小于光速c(v<<c)时，物体的质量可以视为 是不依赖于速度的常量，于是上式可写成 t m d dv F = (2-3b) 或 F = ma 3. 直角坐标系中分量形式 在直角坐标系中也可写成 k v j v i v v F t m t m t m t m x y z d d d d d d d d = = + +
F=mai+ma j+mak (2-3d) 式(2-3)是牛顿第二定律的数学表达式，又称牛顿力学的质点动力学方程。 牛顿第二定律是牛顿力学的核心，应用它解决问题时必须注意以下几点。 (1)牛顿第一定律只话用于质点的运动，物体作平动时，物体上各质点的运动情况完全相 同，所以物体的运动可看作是质点的运动，此时这个质点的质量就是整个物体的质量，以后如 不特别指明，在论及物体的平动时，都是把物体当作质点来处理的。 (②)牛顿第二定律所表示的合外力与加速度之间的关系是瞬时关系，也就是说，加速度只 在外力有作用时才产生，外力改变了，加速度也随之改变。 (3)力的叠加原理。当几个外力同时作用于物体时，其合外力所产生的加速度，与每个外 力F所产生加速度a,的矢量和是一样的，这就是力的叠加原理。式(2-3)是牛顿第二定律的矢量 式，它在直角坐标系Ox、O和O轴上的分量式分别为 F =md,Fy =may,F:=ma (2-4) 式中F、F,和F分别表示作用在物体上所有的外力在Ox、Oy和O:轴上的分量之和：ax、a,和a 分别表示物体加速度a在Ox、O和O轴上的分量。 4.自然坐标系的分量形式 当质点在平面上作曲线运动时，我们可取图2-1所示的自然坐标系为法向单位矢量， 为切向单位矢量，于是质点在点4的加速度a在自然坐标系的两个相互垂直方向上的分矢量a和 a,这样，质点平面上作曲线运动时，在自然坐标系中牛顿第二定律写成 F=ma=ma,+a,)=m+m (2-5a) 如以F和F代表合外力F在切向和当向的分矢量，则有 Fma,mre F=mdo-mp (2-5b) 式中F叫做切向力，F叫做法向力（或向心力）：a和相应地叫做切向加速度和法向加速度。 三牛顿第三定律 牛顿第一定律指出物体只有在外力作用下才改变其运动状态，牛顿第二定律给出物体的加 速度与作用于物体的力和物体质量之间的数量关系，牛顿第三定律说明力具有物体间相互作用 的性质。 两个物体之间的作用力和反作用力F,沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在 两物体上，这就是牛顿第三定律，其数学表达式为 F=-F (2.6) 作用力和反作用力是同时产生、同时消灭、分别作用在两个物体上的属于同种性质的力。 思者职 试分析下列问题：
即 F = max i + may j + maz k (2-3d) 式(2-3)是牛顿第二定律的数学表达式，又称牛顿力学的质点动力学方程。 牛顿第二定律是牛顿力学的核心，应用它解决问题时必须注意以下几点。 (1)牛顿第二定律只适用于质点的运动，物体作平动时，物体上各质点的运动情况完全相 同，所以物体的运动可看作是质点的运动，此时这个质点的质量就是整个物体的质量，以后如 不特别指明，在论及物体的平动时，都是把物体当作质点来处理的。 (2)牛顿第二定律所表示的合外力与加速度之间的关系是瞬时关系，也就是说，加速度只 在外力有作用时才产生，外力改变了，加速度也随之改变。 (3)力的叠加原理。当几个外力同时作用于物体时，其合外力所产生的加速度a，与每个外 力Fi所产生加速度ai的矢量和是一样的，这就是力的叠加原理。式(2-3)是牛顿第二定律的矢量 式，它在直角坐标系Ox、Oy和Oz轴上的分量式分别为 Fx =max Fy =may Fz =maz , , (2-4) 式中Fx、Fy和Fz分别表示作用在物体上所有的外力在Ox、Oy和Oz轴上的分量之和；ax、ay和az 分别表示物体加速度a在Ox、Oy和Oz轴上的分量。 4. 自然坐标系的分量形式 当质点在平面上作曲线运动时，我们可取图2-1所示的自然坐标系en为法向单位矢量， et 为切向单位矢量，于是质点在点A的加速度a在自然坐标系的两个相互垂直方向上的分矢量at和 an，这样，质点平面上作曲线运动时，在自然坐标系中牛顿第二定律写成 n 2 n t d d F a (a a e e v m t v = m = m t + )= m + (2-5a) 如以Ft和Fn代表合外力F在切向和当向的分矢量，则有 = = = = n n n t t t ρ d 2 F a e F a e v m m t v m m d (2-5b) 式中Ft叫做切向力，Fn叫做法向力（或向心力）；at和an相应地叫做切向加速度和法向加速度。 三 牛顿第三定律 牛顿第一定律指出物体只有在外力作用下才改变其运动状态，牛顿第二定律给出物体的加 速度与作用于物体的力和物体质量之间的数量关系，牛顿第三定律说明力具有物体间相互作用 的性质。 两个物体之间的作用力F和反作用力F，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在 两物体上，这就是牛顿第三定律，其数学表达式为 F = −F （2-6） 作用力和反作用力是同时产生、同时消灭、分别作用在两个物体上的属于同种性质的力。 思考题 试分析下列问题：
(1)物体的运动方向和合外力方向是否一定相同？ (2)物体受到几个力的作用，是否一定产生加速度？ (3)物体运动的速奉不变，所受合外力是否为零？ S2物理量的单位和量纲The international system of units 国际单位制中规定：力学的基本量是长度、质量和时间，长度的基本单位名称为米，单位 符号为m,质量的基本单位名称为千克，单位符号为kg:时间的基本单位名称为秒，单位符号 为s。其它力学量都是导出量，导出量与基本量之间的关系可用量纲来表示，我们用L、M、T 分别表示长度、质量、时间的量纲，其它力学量Q的量纲与基本量量纲之间的关系，可按下列 形式表示： dimo=L'MTS 在一个等式的两边，量纲必须相同，故一般可用量纲来初步检查等式的正确性。 国际单位制的基本单位有七个，其定义如下： 1)长度：米是光在真空中(1/299792458)s时间间隔内是经路径的长度： 2)质量：千克等于国际千克原器的质量： 3)时间：秒是绝-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的 持续时间： 4)电流：在真空中，截面积可忽略的两根相距1m的无限长平行圆直导线内通以等量恒定电流 时，若导线间相互作用力在每米长度上为2×10N,则每根导线中的电流为1A 5)热力学温度：热力学温度开尔文是水三相点热力学温度的1/273.16： 6)物质的量：摩尔是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012kg碳-12的原子 数目相等。在使用摩尔时，基本单元应指明，可以是原子、分子、离子、电子及其它粒子，或 是这些粒子的特定组合： 7)发光强度：坎德拉是一光源在给定方向上发光强度，该光源发出频率为540x10Hz的单色辐 射，且在此方向上的辐射强度为1/683)W/。 S3几种常见的力The forces of nature 在动力学中，分析物体受力情况是十分重要的。力学中常见的力有弹性力、摩擦力、万有 引力等，它们分属不同性质的力，弹性力和摩擦属接触力，而万有引力属场力。下面我们来介 绍弹性力、摩擦力和万有引力。 一万有引力 牛顿继承了前人的研究成果，提出了著名的万有引力定律。这个定律指出，星体之间，地 球与球表面附近的物体之间，以及所有物体与物体之间都存在着一种相互吸引的力，所有这些 力都遵循同一规律，这种相互吸引力叫做万有引力。万有引力定律可表达为：在两个相距为， 质量为、m的质点间有万有引力，其方向沿着它们的连线，其大小与它们的质量乘积成正比
(1) 物体的运动方向和合外力方向是否一定相同？ (2) 物体受到几个力的作用，是否一定产生加速度？ (3) 物体运动的速率不变，所受合外力是否为零？ §2 物理量的单位和量纲The international system of units 国际单位制中规定：力学的基本量是长度、质量和时间，长度的基本单位名称为米，单位 符号为m，质量的基本单位名称为千克，单位符号为kg；时间的基本单位名称为秒，单位符号 为s。其它力学量都是导出量，导出量与基本量之间的关系可用量纲来表示，我们用L、M、T 分别表示长度、质量、时间的量纲，其它力学量Q的量纲与基本量量纲之间的关系，可按下列 形式表示： p q S dimQ = L M T 在一个等式的两边，量纲必须相同，故一般可用量纲来初步检查等式的正确性。 国际单位制的基本单位有七个，其定义如下： 1）长度：米是光在真空中（1/299792458）s时间间隔内是经路径的长度； 2）质量：千克等于国际千克原器的质量； 3）时间：秒是铯−133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的 持续时间； 4）电流：在真空中，截面积可忽略的两根相距1m的无限长平行圆直导线内通以等量恒定电流 时，若导线间相互作用力在每米长度上为210−7N，则每根导线中的电流为1A； 5）热力学温度：热力学温度开尔文是水三相点热力学温度的1/273.16； 6）物质的量：摩尔是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012kg碳−12的原子 数目相等。在使用摩尔时，基本单元应指明，可以是原子、分子、离子、电子及其它粒子，或 是这些粒子的特定组合； 7）发光强度：坎德拉是一光源在给定方向上发光强度，该光源发出频率为54010Hz的单色辐 射，且在此方向上的辐射强度为(1/683)W/sr。 §3 几种常见的力The forces of nature 在动力学中，分析物体受力情况是十分重要的。力学中常见的力有弹性力、摩擦力、万有 引力等，它们分属不同性质的力，弹性力和摩擦属接触力，而万有引力属场力。下面我们来介 绍弹性力、摩擦力和万有引力。 一 万有引力 牛顿继承了前人的研究成果，提出了著名的万有引力定律。这个定律指出，星体之间，地 球与球表面附近的物体之间，以及所有物体与物体之间都存在着一种相互吸引的力，所有这些 力都遵循同一规律，这种相互吸引力叫做万有引力。万有引力定律可表达为：在两个相距为r， 质量为m1、m2的质点间有万有引力，其方向沿着它们的连线，其大小与它们的质量乘积成正比
与它们之间距离的二次方成反比，即 F-Gm (2.7a) 式中G为一普适常数，叫做引力常量。引力常量最早是由英国物理学家卡文迪许(H.Cavendish, 1731-1810)于1798年由实验测出的。一般计算时取 G=6.67X10-1N.m2.kg 用矢量形式表示，万有引力定律可写成 F-Gze （2-7b 如以由m指向m的有向线段为m的位矢r,那么式中e,为沿位矢方向的单位矢量，它等于mr 而上式中的负号则表示m施于m的万有引力的方向始终与沿位矢的单位矢量的方向相反。 应该注意，万有引力定律中的F是两个质点之间的引力。若欲求两个物体间的引力，则必 须把每个物体分成很小部分，把每个小部分看成是一个质点，然后计算所有这些质点间的相互 作用力。 重力 通常的地球对地面附近物体的万有引力叫做重力P,其方向通常是指向地球中心的。重力的 大小又叫重量。在重力P的作用下，物体具有的加速度叫重力加速度g,有 如以代表地球的质量，r为地球中心与物体之间的距离，由式(27)可得 r2 在地球表面附近，物体与地球中心的距离r与地球的半径R相差很小即R<R。故上式可近 似表示为 p2 二弹性力 当两物体相互接触而挤压时，它们要发生形变。物体形变时欲恢复原来的形状，物体间会 有作用力产生。这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性力。 常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力：绳索被拉紧时所产生的张力： 重物放在支承面上产生的压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）等。 例题1 质量为m、长为的柔软细绳，一端系着放在光滑桌面上质量为m的物体，如图2-2(a)所示 在绳的另一端加如图所示的F。绳被拉紧时会略有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计。现 设绳的长度不变，质量分布是均匀的。求：()绳作用在物体上的力：(2)绳上任意点的张力
与它们之间距离r的二次方成反比，即 2 1 2 r m m F = G （2-7a） 式中G为一普适常数，叫做引力常量。引力常量最早是由英国物理学家卡文迪许（H.Cavendish, 1731-1810）于1798年由实验测出的。一般计算时取 G=6.67×10−11N.m2 .kg-2 用矢量形式表示，万有引力定律可写成 r r m m F G e 2 1 2 = − (2-7b) 如以由m1指向m2的有向线段为m2的位矢r，那么式中er为沿位矢方向的单位矢量，它等于m/r。 而上式中的负号则表示m1施于m2的万有引力的方向始终与沿位矢的单位矢量的方向相反。 应该注意，万有引力定律中的F是两个质点之间的引力。若欲求两个物体间的引力，则必 须把每个物体分成很小部分，把每个小部分看成是一个质点，然后计算所有这些质点间的相互 作用力。 重力 通常的地球对地面附近物体的万有引力叫做重力P，其方向通常是指向地球中心的。重力的 大小又叫重量。在重力P的作用下，物体具有的加速度叫重力加速度g，有 m P g = 如以mE代表地球的质量，r为地球中心与物体之间的距离，由式(2-7)可得 2 E r Gm g = 在地球表面附近，物体与地球中心的距离r与地球的半径R相差很小即r−R<<R。故上式可近 似表示为 2 E R Gm g = 二 弹性力 当两物体相互接触而挤压时，它们要发生形变。物体形变时欲恢复原来的形状，物体间会 有作用力产生。这种物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力叫做弹性力。 常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被拉紧时所产生的张力； 重物放在支承面上产生的压力（作用在支承面上）和支持力（作用在物体上）等。 例题1 质量为m、长为l的柔软细绳，一端系着放在光滑桌面上质量为m的物体，如图2-2(a)所示， 在绳的另一端加如图所示的F。绳被拉紧时会略有伸长(形变)，一般伸长甚微，可略去不计。现 设绳的长度不变，质量分布是均匀的。求：(1)绳作用在物体上的力；(2)绳上任意点的张力
解如图2-2b)所示，设想在绳素上点P将绳素分为两段，它们之间有拉力F和F作用，这 一对拉力称为张力，它们的大小相等、方向相反。 (1)由题意知，绳和物体均被约束在如图（©）所示的Ox轴上运动，且绳的长度不变，故它们的 加速度相等，均为a,设绳作用物体上的拉力为Fm,物体作用在绳端的力为F,它们是作用力 与反作用力，故Fw=一F。由牛顿第二定律，对物体与绳可分别有 Fo=m'a F-F'm=ma 由于Fo=F所以，物体与绳的加速度为 a=m+m (1) 绳对物体的拉力为 m Fto=m+m F 从上式可以看出，由绳传递给物体的力F小于作用在绳另一端的外力F。只有当绳的质量 远小于物体的质量m·时，绳的质量可忽略不计时，F。才与近似相等。 (2)由于绳的长度不变，且质量分布均匀，故其单位长度的质量即质量线密度为m1。在图 (d)中，取物体与绳连接处为原点O,在距原点O为x的绳上，取一线元dr,其质量元为dx-mdr/1。 按图(d所示的示力图，由牛顿第二定律，有 (G+d）r=(dma=%ad 利用式()，上式为 mF (m) 从图(C)有x=时，F=F,所以上式的积分为 a-rnla Ft=F- m 得 m+m-刘 化简，得 斤=㎡+宁不n (2) 从式(2)中可以看出，绳中各点的张力是随位置而变的，即F1=F(x)。当m'>m时，F≈F, 此时绳中各点的张力近似相等，均约等于外力F。 三摩擦力 两个互相接触的物体间有相对滑动的趋势但尚未相对滑动时，在接触面上便产生阻碍发生 相对滑动的力，这个力称为静摩擦力。把物体放在一水平面上，有一外力F沿水平面作用在物 体上，若外力F较小，物体尚未滑动，这时静摩擦力F与外力F在数值上相等，方向则与F相反
解 如图2-2(b)所示，设想在绳索上点P将绳索分为两段，它们之间有拉力FT和F T作用，这 一对拉力称为张力，它们的大小相等、方向相反。 (1)由题意知，绳和物体均被约束在如图(c)所示的Ox轴上运动，且绳的长度不变，故它们的 加速度相等，均为a，设绳作用物体上的拉力为FT0，物体作用在绳端的力为F T0，它们是作用力 与反作用力，故FT0=－F T0。由牛顿第二定律，对物体与绳可分别有 FTO = m a 和 F − F TO = ma 由于FT0=FT0所以，物体与绳的加速度为 m m F a + = （1） 绳对物体的拉力为 F m m m F + TO = 从上式可以看出，由绳传递给物体的力FT0小于作用在绳另一端的外力F。只有当绳的质量 m远小于物体的质量m 时，绳的质量可忽略不计时，FT0才与F近似相等。 (2)由于绳的长度不变，且质量分布均匀，故其单位长度的质量即质量线密度为m/l。在图 (d)中，取物体与绳连接处为原点O，在距原点O为x的绳上，取一线元dx，其质量元为dx=mdx/l。 按图(d)所示的示力图，由牛顿第二定律，有 ( ) a x l m FT + dFT − FT = (dm)a = d 利用式(1)，上式为 x m m l mF F d ( ) d T + = 从图(c)有x=l时，FT=F，所以上式的积分为 + = F x F r x m m l mF F T 0 d ( ) d 得 ( ) ( ) T l x l m m Fm F F − + = − 化简，得 m m F l x F m m + = ( + ) T （2） 从式（2）中可以看出，绳中各点的张力是随位置而变的，即FT=FT(x)。当m＇>>m时，FT≈F， 此时绳中各点的张力近似相等，均约等于外力F。 三 摩擦力 两个互相接触的物体间有相对滑动的趋势但尚未相对滑动时，在接触面上便产生阻碍发生 相对滑动的力，这个力称为静摩擦力。把物体放在一水平面上，有一外力F沿水平面作用在物 体上，若外力F较小，物体尚未滑动，这时静摩擦力Ff0与外力F在数值上相等，方向则与F相反
静摩擦力F和随着F的增大而增大，直到F增大到某一定数值时，物体相对平面即将滑动，这时静 摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力Fm。实验表明，最大静摩擦力的值与物体的正压力F 成正比，即 F=uF ®叫做静摩擦因数。静摩擦因数与两接触物体的材料性质以及接触面的情况有关，而与接触面 的大小无关。应强调指出，在一般情况下，静摩擦力总是满足下述关系的： F。≤ 当物体在平面上滑动时，仍受摩擦力作用。这个摩擦力叫做滑动摩擦，其方向总是与 物体相对平面的运动方向相反，其大小也是与物体的正压F成正比，即 F:=wFN 叫做滑动摩擦因数。与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、干湿度等有关，还 与两接触物体的相对速度有关。在相对速度不太大时，为计算简单起见，可以认为滑动摩擦因 数略小于静摩擦因数：在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相等的。 思考题 下列几种说法是否正确？为什么？ (1)物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反 (2)摩擦力，总是阻碍物体运动的 (3)静摩擦的大小等于FN,为静摩擦因数，F为物体的正压力 S4惯性参考系力学相对性原理Inertial reference frames,Principle of invariance 一惯性参考系 1.惯性系 在运动学中，研究物体的运动可任选参考系，只是所选择的参考系应给物体运动的研究带 来方便。那么在动力学中，应用牛顿运动定律研究物体的运动时，参考系还能不能任意选择呢？ 我们通过下面的例子来进行讨论。 在火车车厢内的一个光滑桌面上，放一个小球。当车厢相对地面以匀速前进时，这个小球 相对桌面处于静止状态，而路基旁的人则看到小球随车厢一起作匀速直线运动。这时，无论是 以车厢还是以地面作为参考系，牛顿运动定律都是适用的，因为小球在水平方向不受外力作用， 它保持静止或匀速直线运动状态，但当车厢突然相对于地面以向前的加速度运动时，车厢内的 乘客观察到此小球相对于车厢内的桌面以加速度-向后作加速运动。这个现象，对处于不同参 考系的观察者，可以得出不同的结论。站在路基旁的人，觉得这件事是很自然的。因为小球和 桌面之间非常光滑，它们之间的摩擦力可以忽略不计，因此，当桌面随车厢一起以加速度向前 运动时，小球在水平方向并没有受到外力作用，所以它仍保持原来的运动状态，牛顿运动定律 此时仍然是适用的。然而对于坐在车厢内的乘客来说，这就很不好理解了，既然小球在水平方 向没有受到外力作用，小球怎么会在水平方向具有-的加速度呢？
静摩擦力Ff0随着F的增大而增大，直到F增大到某一定数值时，物体相对平面即将滑动，这时静 摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力Ffom。实验表明，最大静摩擦力的值与物体的正压力FN 成正比，即 Ffom = o FN 0叫做静摩擦因数。静摩擦因数与两接触物体的材料性质以及接触面的情况有关，而与接触面 的大小无关。应强调指出，在一般情况下，静摩擦力总是满足下述关系的： Ff0 Ffom 当物体在平面上滑动时，仍受摩擦力作用。这个摩擦力叫做滑动摩擦力Ff，其方向总是与 物体相对平面的运动方向相反，其大小也是与物体的正压力FN成正比，即 Ff = FN 叫做滑动摩擦因数。与两接触物体的材料性质、接触表面的情况、温度、干湿度等有关，还 与两接触物体的相对速度有关。在相对速度不太大时，为计算简单起见，可以认为滑动摩擦因 数略小于静摩擦因数0；在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相等的。 思考题 下列几种说法是否正确？为什么？ （1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反 （2）摩擦力，总是阻碍物体运动的 （3）静摩擦的大小等于0FN，0为静摩擦因数，FN为物体的正压力 §4 惯性参考系 力学相对性原理Inertial reference frames, Principle of invariance 一 惯性参考系 1. 惯性系 在运动学中，研究物体的运动可任选参考系，只是所选择的参考系应给物体运动的研究带 来方便。那么在动力学中，应用牛顿运动定律研究物体的运动时，参考系还能不能任意选择呢？ 我们通过下面的例子来进行讨论。 在火车车厢内的一个光滑桌面上，放一个小球。当车厢相对地面以匀速前进时，这个小球 相对桌面处于静止状态，而路基旁的人则看到小球随车厢一起作匀速直线运动。这时，无论是 以车厢还是以地面作为参考系，牛顿运动定律都是适用的，因为小球在水平方向不受外力作用， 它保持静止或匀速直线运动状态，但当车厢突然相对于地面以向前的加速度a运动时，车厢内的 乘客观察到此小球相对于车厢内的桌面以加速度−a向后作加速运动。这个现象，对处于不同参 考系的观察者，可以得出不同的结论。站在路基旁的人，觉得这件事是很自然的。因为小球和 桌面之间非常光滑，它们之间的摩擦力可以忽略不计，因此，当桌面随车厢一起以加速度a向前 运动时，小球在水平方向并没有受到外力作用，所以它仍保持原来的运动状态，牛顿运动定律 此时仍然是适用的。然而对于坐在车厢内的乘客来说，这就很不好理解了，既然小球在水平方 向没有受到外力作用，小球怎么会在水平方向具有−a的加速度呢？
由此可见，（牛顿运动定律不是对任意的参考系都适用的。我们把适用牛顿运动定律的参考 系叫做惯性参考系，简称惯性系：反之，就叫非惯性系。)例如前面所述的地面以及相对地面作 匀速直线运动的车厢，都是惯性系，相对地面作加速运动的车厢则是非惯性系。 2.近似的惯性参考系 要确定一个参考系是不是惯性系，只能依靠观察和实验，地球这个参考系能否看作是惯性 系呢？生活实践和实验表明，地球可视为惯性系，但考虑到地球的自转和公转，所以地球又不 是一个严格的惯性系，然而，一般在研究地面上物体的运动时，由于地球对太阳的向心加速度 和地面上的物体对地心的向心加速度都比较小，所以，地球仍可近似地看成是惯性系
由此可见，（牛顿运动定律不是对任意的参考系都适用的。我们把适用牛顿运动定律的参考 系叫做惯性参考系，简称惯性系；反之，就叫非惯性系。）例如前面所述的地面以及相对地面作 匀速直线运动的车厢，都是惯性系，相对地面作加速运动的车厢则是非惯性系。 2. 近似的惯性参考系 要确定一个参考系是不是惯性系，只能依靠观察和实验，地球这个参考系能否看作是惯性 系呢？生活实践和实验表明，地球可视为惯性系，但考虑到地球的自转和公转，所以地球又不 是一个严格的惯性系，然而，一般在研究地面上物体的运动时，由于地球对太阳的向心加速度 和地面上的物体对地心的向心加速度都比较小，所以，地球仍可近似地看成是惯性系
二力学相对性原理 设有两个参考系SOo)和S'(O'xy:'),它们对应的坐标轴都相互平行，且Ox轴与Ox轴相 重合，图2-7所示，其中S系是惯性系，S”系以恒定的速度4，沿x轴正向相对S系作匀速直线运 动，所以S'系也是惯性系。若有一质点P相对S'系的速度为为'，相对S系的速度为加，由第 14节关于速度相对性的讨论可知，它们之间的关系为 v=+4 将上式对时间求导数，并考虑到为常数，故可得 d业dw dr dt a=a' (2-8) 上式表明，当惯性参考系S”以恒定的速度相对惯性参考系S作匀速直线运动时，质点在这两个 惯性系中的加速度是相同的。由于Sy系也是惯性系，质点所受的力为F=d。考虑到d=a 所以 F=ma=md'=F 这就是说，在这两个惯性性系中，牛顿第二定律的数学表达式也具有相同形式。即 F= 当由惯性系S变换到惯性系时，牛顿运动方程的形式不变。换句话说，在所有惯性系中， 牛顿运动定律都是等价的。对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，在一惯性系 内部所作的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动。这个原理叫做 力学相对性原理或伽利略相对性原理。 思考题 (1)什么是惯性参考系？如何确定？ (2)什么是力学相对性原理？ S5牛顿定律的应用举例The application of Newton'slaw 牛顿定律是物体作机械运动的基本定律，它在实践中有着广泛的应用。本节将通过举例来
二 力学相对性原理 设有两个参考系S(Oxyz)和S (O x y z )，它们对应的坐标轴都相互平行，且Ox轴与Ox轴相 重合，图2-7所示，其中S系是惯性系，S＇系以恒定的速度u，沿x轴正向相对S系作匀速直线运 动，所以S＇系也是惯性系。若有一质点 P 相对S＇系的速度为为v ，相对S系的速度为v，由第 1-4节关于速度相对性的讨论可知，它们之间的关系为 v = v + u 将上式对时间t求导数，并考虑到u为常数，故可得 t dt d d dv v = 即 a = a (2-8) 上式表明，当惯性参考系S＇以恒定的速度相对惯性参考系S作匀速直线运动时，质点在这两个 惯性系中的加速度是相同的。由于S＇系也是惯性系，质点所受的力为 F =ma 。考虑到 a = a ， 所以 F =ma =ma =F 这就是说，在这两个惯性性系中，牛顿第二定律的数学表达式也具有相同形式。即 F = ma 当由惯性系S变换到惯性系S＇时，牛顿运动方程的形式不变。换句话说，在所有惯性系中， 牛顿运动定律都是等价的。对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，在一惯性系 内部所作的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动。这个原理叫做 力学相对性原理或伽利略相对性原理。 思考题 (1)什么是惯性参考系?如何确定? (2)什么是力学相对性原理? §5 牛顿定律的应用举例The application of Newton’s law 牛顿定律是物体作机械运动的基本定律，它在实践中有着广泛的应用。本节将通过举例来
说明如何应用牛顿定律分析问题和解决问题。 在牛顿第二定律F=m中，F作用在运动物体上的合外力，因此在应用牛顿第二定律时，首先要正确地分析 运动物体的受力情况。若一个物体上同时受到几个力的作用，为了便于分析物体受力的情况，应当把它们图示 出来；作示力图时，首先要把所研究的物体从与之相联系的其他物体中隔离”出来，然后把作用在此物体上的 力一个不漏地都酒出来，还必须正确地标明力的方向。这种分析物体受力的方法，叫做隔离体法， 对隔离体画出示力图后，还要根据题意选择适当的坐标系。对于直线运动来说，常选取加速度的方向为坐 标轴的正向，。然后按照所选定的坐标系，由牛顿第二定律列出每隔离体的运动方程的矢量式及其分量式，最 后对运动方程求解。 1.解题步骤 进行受力分析，作示力图： 判断加速度方向： 建立坐标系，列出运动方程（分量形式）： 求解，讨论。 2.解决两大类问题 积分法：由力求运动量： 微分法：由运动量求力 3.典型例题 例题1阿特伍德(Atwood)机。 (1)如图2-8(a)所示，一根细绳跨过定滑轮，在细绳两侧各悬挂质量分别为m1和m的物体， 且m>m,假设滑轮的质量与细绳的质量均略去不计，滑轮与细绳间的摩擦力以及轮轴的摩擦 力亦略去不计。试求重物释放后，物体的加速度和细绳的张力。 (2)若将上述装置固定在如图24b)所示的电梯顶部。当电梯以加速度a相对地面竖直向上运 动时，试求两物体相对电梯的加速度和细绳的张力。 解（山）选取地面为惯性参考系，并作如图24（所示的示力图，考虑到可忽略细绳和滑轮质量的 条件，故细绳作用两物体上的力Fm、F,与绳的张力F应相等，即F=F=Fm。又按图示的 加速度a,则根据牛顿第二定律，有 mg-Fr =m a F-mg=ma 联立求解以上两式，可得两物体的加速度的大小和绳的张力分别为 a=-m 2m1113 +院8万所+m8 (2)仍选取地面为惯性参考系，电梯相对地面的加速度为a,如图2-4(b)所示，如以a为物体1 相对电梯的加速度，那么物体1相对地面加速度为a1=r一a,由牛顿第二定律，有 P+F=ma 按如图所选的坐标，考虑到物体1被限制在轴上运动，且a=r一a。故上式为 mg-Fr =ma =m (d:-a) (1)
说明如何应用牛顿定律分析问题和解决问题。 在牛顿第二定律F=ma中，F作用在运动物体上的合外力，因此在应用牛顿第二定律时，首先要正确地分析 运动物体的受力情况。若一个物体上同时受到几个力的作用，为了便于分析物体受力的情况，应当把它们图示 出来；作示力图时，首先要把所研究的物体从与之相联系的其他物体中“隔离”出来，然后把作用在此物体上的 力一个不漏地都画出来，还必须正确地标明力的方向。这种分析物体受力的方法，叫做隔离体法。 对隔离体画出示力图后，还要根据题意选择适当的坐标系。对于直线运动来说，常选取加速度的方向为坐 标轴的正向。然后按照所选定的坐标系，由牛顿第二定律列出每一隔离体的运动方程的矢量式及其分量式，最 后对运动方程求解。 1. 解题步骤 进行受力分析，作示力图； 判断加速度方向； 建立坐标系，列出运动方程（分量形式）； 求解，讨论。 2. 解决两大类问题 积分法：由力求运动量； 微分法：由运动量求力。 3. 典型例题 例题1 阿特伍德（Atwood）机。 （1）如图2-8（a）所示，一根细绳跨过定滑轮，在细绳两侧各悬挂质量分别为m1和m2的物体， 且m1>m2，假设滑轮的质量与细绳的质量均略去不计，滑轮与细绳间的摩擦力以及轮轴的摩擦 力亦略去不计。试求重物释放后，物体的加速度和细绳的张力。 （2）若将上述装置固定在如图2-4(b)所示的电梯顶部。当电梯以加速度a 相对地面竖直向上运 动时，试求两物体相对电梯的加速度和细绳的张力。 解 (1)选取地面为惯性参考系，并作如图2-4(a)所示的示力图，考虑到可忽略细绳和滑轮质量的 条件，故细绳作用两物体上的力FT1、FT2，与绳的张力FT应相等，即FT1=FT2=FT。又按图示的 加速度a，则根据牛顿第二定律，有 m1 g − FT = m1 a FT − m2 g = m2 a 联立求解以上两式，可得两物体的加速度的大小和绳的张力分别为 g m m m m g F m m m m a 1 2 1 2 T 1 2 1 2 2 + = + − = , (2)仍选取地面为惯性参考系，电梯相对地面的加速度为a，如图2-4(b)所示，如以aT为物体1 相对电梯的加速度，那么物体1相对地面加速度为a1=aT−a，由牛顿第二定律，有 P1 + FT1 = m1 a1 按如图所选的坐标，考虑到物体1被限制在y轴上运动，且a1=aT−a。故上式为 ( ) m1 g − FT = m1 a1 = m1 ar − a (1)