第十五章 大学物理辅导 机械振动 第十五章 机械振动 一、教材安排与教学目的 1、教学安排 本章从什么叫简谐振动及其特点讲起，根据加速度与坐标的函数关系，用积分法推求 简谐振动的运动方程，进而阐述周期、频率、周相的物理意义以及谐振动的图象表示。在 此基础上，讨论各种简谐振动现象及其周期。介绍阻尼振动和受迫振动的常识，最后，讨 论振动的合成问题。 2、教学目的 本章的教学目的是使学生掌握简谐振动的特点和规律，理解振幅、频率、周相等概念。 二、教学要求 1、要求学生明确谐振动的特点，会推求谐振动的运动方程，并能理解谐振动方程中各 项的物理意义： 2、已知运动方程，能求出各个时刻的坐标、速度和加速度，并要求会用图象描述谐振 动的有关量： 3、明确旋转矢量与振幅、周期、频率及相位的对应性，能利用旋转矢量求出相位与相 位差 4、掌握单摆的振动周期公式： 5、了解阻尼振动、受迫振动和共振现象： 6、会利用旋转矢量法，研究两个谐振动的合成，掌握同方向同频率的简谐振动的合成 规律。 (1)定义：物体在弹性恢复力F=KX作用下的振动，叫做简谐振动。 「从运动学角度看，它是变加速运动： (2)特点： 从能量角度看，振动系统的机械能是守恒的。 (3)运动方程：x=Acos(or-+) 2、振幅、周期、频率与周相 )：活振子高开平衡位置的大位移的数值，叫做人一。由 系统的性质与初始条件共同决定。 （2)周期：质点完成一次全振动所需的时间T=2江 (3)频率：单位时间内物体完成全振动的次数，用“∫”表示，它与周期的关系是 f= (4)园频率：0=2可，但要注意，只在旋转矢量中，园频率才等于旋转的角速度， ~78
第十五章 大学物理辅导 机械振动 ～78～ 第十五章 机械振动 一、教材安排与教学目的 1、教学安排 本章从什么叫简谐振动及其特点讲起，根据加速度与坐标的函数关系，用积分法推求 简谐振动的运动方程，进而阐述周期、频率、周相的物理意义以及谐振动的图象表示。在 此基础上，讨论各种简谐振动现象及其周期。介绍阻尼振动和受迫振动的常识，最后，讨 论振动的合成问题。 2、教学目的 本章的教学目的是使学生掌握简谐振动的特点和规律，理解振幅、频率、周相等概念。 二、教学要求 1、要求学生明确谐振动的特点，会推求谐振动的运动方程，并能理解谐振动方程中各 项的物理意义； 2、已知运动方程，能求出各个时刻的坐标、速度和加速度，并要求会用图象描述谐振 动的有关量； 3、明确旋转矢量与振幅、周期、频率及相位的对应性，能利用旋转矢量求出相位与相 位差； 4、掌握单摆的振动周期公式； 5、了解阻尼振动、受迫振动和共振现象； 6、会利用旋转矢量法，研究两个谐振动的合成，掌握同方向同频率的简谐振动的合成 规律。 三、内容提要 1、简谐振动 （1）定义：物体在弹性恢复力 F=-KX 作用下的振动，叫做简谐振动。 （2）特点： 从运动学角度看，它是变加速运动； 从能量角度看，振动系统的机械能是守恒的。 （3）运动方程： x = Acos(t +) 2、振幅、周期、频率与周相 （1）振幅：谐振子离开平衡位置的最大位移的数值，叫做振幅 = + 2 2 2 0 0 v A x 。由 系统的性质与初始条件共同决定。 （2）周期：质点完成一次全振动所需的时间 T = 2 。 （3）频率：单位时间内物体完成全振动的次数，用“ f ”表示，它与周期的关系是 f T = 1 。 （4）园频率： = 2f ，但要注意，只在旋转矢量中，园频率才等于旋转的角速度
第十五章 大学物理辅导 机械振动 园频率由系统本身的性质所决定，即。=】 ,式中K为弹簧的劲度系数，m为振子的质 量。 (5)周相：量(1+)就叫周相，它是描写质点在 某时刻的位置和谏度的物理量。 (6)初相：量中叫初相，它表达了质点在初始时刻 M 的位置和初速度。 3、旋转矢量 (1)对应关系：见图151 (2)应用：它的端点在X轴上的投影点的运动作简 0. 谐振动，因为投影：x=Acos(ol+) 图15-1 4单：周期7=2→条作：摆角0≤ 5、谐振动的能量 （1)动能：E:=m2=m024sin(or+) a)势能：E,=x2-mo2cow6+到 （3)总能量：E=E&+E,=)M2→守恒 6、谐振动的合成：两个同方向、同频率谐振动的合成 (1)合振幅：A=√A+A好+24A2c0sp2-1) 2)合振动的初相：中=g4s血白+4血2 A1C0s中1+A2C0sp, 四、解题要求与思路 题 是能应用描写谐振动的三要素：振幅A、园频率0与初相写出 谐振动的运动方程：其次是根据给定的谐振动方程，能找出它的A、0与中。解题时应注 意： 系A可根据公式A+一求出。 上式中x,为振子的初始位移，为初速度，而。为系统的固有园频率。 2、园频率0，可根据公式0= 出，它是线本身的属与物始条件无关。 3、初相：可根据公式中=g 二】 求出，但利用旋转矢量来求更方便一些。 79
第十五章 大学物理辅导 机械振动 ～79～ 园频率由系统本身的性质所决定，即 = K m ，式中 K 为弹簧的劲度系数，m 为振子的质 量。 （5）周相：量 (t + ) 就叫周相，它是描写质点在 某时刻的位置和速度的物理量。 （6）初相：量 叫初相，它表达了质点在初始时刻 的位置和初速度。 3、旋转矢量 （1）对应关系：见图 15-1 （2）应用：它的端点在 X 轴上的投影点的运动作简 谐振动，因为投影： x = Acos(t +) 4、单摆：周期 T l g = 2 条件：摆角 5 0。 5、谐振动的能量 （1）动能： Ek = mv = m A ( t + ) 1 2 1 2 2 2 2 2 sin （2）势能： Ep = kx = m A ( t + ) 1 2 1 2 2 2 2 2 cos （3）总能量： E = Ek + Ep = kA 1 2 2 守恒 6、谐振动的合成：两个同方向、同频率谐振动的合成 （1）合振幅： A = A1 + A + A A ( − ) 2 2 2 2 1 2 2 1 cos （2）合振动的初相： = + + − tg A A A A 1 1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin cos cos 四、解题要求与思路 本章的主要解题要求是能应用描写谐振动的三要素：振幅 A、园频率 与初相 写出 谐振动的运动方程；其次是根据给定的谐振动方程，能找出它的 A、 与 。解题时应注 意： 1、振幅 A 可根据公式 = + 2 2 2 0 0 v A x 求出。 上式中 x0 为振子的初始位移， v0 为初速度，而 为系统的固有园频率。 2、园频率 ，可根据公式 = K m 求出，它是系统本身的属性与初始条件无关。 3、初相 ：可根据公式 = − − tg v x 1 0 0 求出，但利用旋转矢量来求更方便一些。 y M t + M0 x 0 x p 图 15-1
第十五章 大学物理辅导 机械振动 五、典型例题 例1、若谐银动方程为x=0.1co20m+m,求：（①）振幅、频率、角频率、周期和 初相：(2)2S时的位移、速度和初速度。 解：已知x=01cor20a+m 所议0A01米0=20，了=元=10E,=号 2)2s时x=01cm40m+9=01cm子=707×102m v=-2sin0-2sin-4.44m--! a-0 cod0m-280m. 例2、一质量为1.0×102kg的物体作谐振动，其振幅为24×102m,周期为4.0S,当时， 位移为2.4×102m,求： (1)在t0.50S时，物体所在位置和物体所受的力： (2)由起始位置运动到x=-1.2×102m,所需要的最短时间。 2π 0时，x=24x102c0s年=17×102m 0 f=-Kx=-m2x=-4.2×104N 图15 Q)见图152，相位差4的=号所以 2 4 例3、如图153所示，质量为10克的子弹，以1000米秒1的速度射入木块并嵌在木块中， 使弹簧压缩从而作谐振动，若木块质量为4.99千克，弹簧的倔强系数为8×103牛米，求 振动的振幅。 解：v= 10×10-3 M m+M-4.99x00×100=2米秒 因为)(m+M0m2-)K(能量守恒) -80
第十五章 大学物理辅导 机械振动 ～80～ 五、典型例题 例 1、若谐振动方程为 x = t + m 0 1 20 4 . cos ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 初相；（2）t=2S 时的位移、速度和初速度。 解：已知 x = t + m 0 1 20 4 . cos 所以（1）A=0.1 米， = − 20 1 S ， f = = Hz 2 10 ， = 4 ； （2）t=2S 时 x = t + m = = − 0 1 40 4 0 1 4 7 07 10 2 . cos . cos . v = − t + m S = − = − − 2 40 4 2 4 4 44 1 sin sin . a = − t + m S = − = − − 40 40 4 40 4 280 2 2 2 cos cos 例 2、一质量为 1.0×10-2kg 的物体作谐振动，其振幅为 2.4×10-2m，周期为 4.0S，当时， 位移为 2.4×10-2m，求： （1）在 t=0.50S 时，物体所在位置和物体所受的力； （2）由起始位置运动到 x=-1.2×10-2m，所需要的最短时间。 解：（1）A=2.4×10-2m, = = 2 − 2 1 T S t=0 时， x = = m − − 2 4 10 4 1 7 10 2 2 . cos . f = −Kx = −m x = − N − 2 4 4.2 10 （2）见图 15-2，相位差 = 2 3 所以 tmin = = = = . S 2 3 2 4 3 1 33 例 3、如图 15-3 所示，质量为 10 克的子弹，以 1000 米秒-1 的速度射入木块并嵌在木块中， 使弹簧压缩从而作谐振动，若木块质量为 4.99 千克，弹簧的倔强系数为 8×103 牛米-1，求 振动的振幅。 解： v m m M = v + = = − 0 3 10 10 4 99 0 01 1000 2 . . 米秒-1 因为 1 2 1 2 2 2 (m + M)v = KA （能量守恒） A 2 3 3 0 A 图 15-2 v M m 图 15-3
第十五章 大学物理辅导 机械振动 所4==05米 六、课堂练习题 判断题 (1)完全弹性球在硬地面上的跳动是谐振动。( (2)如果把弹簧振子拿到月球上去，它的振动周期会变大。( (3)把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成日角，然后放手任其振动，那么单 摆振动的初相就等于0。() (4)弹簧的倔强系数为K,如果把弹簧分为长度相等的两半，则每一半的倔强系数为 K2。 (5)弹簧振子作谐振动时，如果振幅增为原来的两倍，而频率减小为原来的一半，则 它的总能量保持不变。( 2、填空题 (1)一弹簧振子，当仁0时，物体处在平衡位置且向正方向运动，则它的振动的初相 位为 位相为 (2)将单摆从地面拿到高空，则它的振动周期会 因为 (3)旋转矢量以角速度按逆时针方向作匀速圆周运动时，它的端点在水平X轴上的投 影是 它作的是 (4)谐振动系统的动能是 ,势能是 ,总能量是 (5)一汽车载有四和人，他们的质量共为250kg,上车后把汽车的弹簧压下5×10 米。若该汽车弹簧共负载1000kg的质量，则汽车的固有频率为 3、单重选择题 (1)一弹簧的倔强系数为K,一质量为m的物体挂在它下面，若把弹簧分割成两半， 物体挂在分割后的一根弹簧上，则弹簧分制前后的振动频率之比为： A、1.B、05.C、2.D、以上全不对。 (2)如图15-4所示的振动系统的周期为 1K+K A、2元m c25.2 2:B、m m K+K2 图15-4 图15-5 (3)如图15-5所示的振动系统的周期为： 密高c密高 (4)一弹簧振子，当0时，物体处在x=AW2处且向负方向运动，则它的初相为 81
第十五章 大学物理辅导 机械振动 ～81～ 所以 A m M K = v + = 0.05 米 六、课堂练习题 1、判断题 （1）完全弹性球在硬地面上的跳动是谐振动。（ ） （2）如果把弹簧振子拿到月球上去，它的振动周期会变大。（ ） （3）把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成 角，然后放手任其振动，那么单 摆振动的初相就等于 。（ ） （4）弹簧的倔强系数为 K，如果把弹簧分为长度相等的两半，则每一半的倔强系数为 K/2。（ ） （5）弹簧振子作谐振动时，如果振幅增为原来的两倍，而频率减小为原来的一半，则 它的总能量保持不变。（ ） 2、填空题 （1）一弹簧振子，当 t=0 时，物体处在平衡位置且向正方向运动，则它的振动的初相 位为 ，位相为 。 （2）将单摆从地面拿到高空，则它的振动周期会 ，因为 。 （3）旋转矢量以角速度按逆时针方向作匀速圆周运动时，它的端点在水平 X 轴上的投 影是 ，它作的是 。 （4）谐振动系统的动能是 ，势能是 ，总能量是 。 （5）一汽车载有四和人，他们的质量共为 250kg，上车后把汽车的弹簧压下 5×10-2 米。若该汽车弹簧共负载 1000kg 的质量，则汽车的固有频率为 。 3、单重选择题 （1）一弹簧的倔强系数为 K，一质量为 m 的物体挂在它下面，若把弹簧分割成两半， 物体挂在分割后的一根弹簧上，则弹簧分割前后的振动频率之比为： A、1；B、0.5；C、2；D、以上全不对。 （2）如图 15-4 所示的振动系统的周期为 A、 1 2 1 2 K K m + ；B、 1 2 1 2 m K + K ；C、2 1 2 K K m + ；D、2 1 2 m K + K 。 （3）如图 15-5 所示的振动系统的周期为： A、 1 2 1 2 1 2 K K K K m + ；B、 ( ) 1 2 1 2 1 2 K K K K m + ；C、2 1 2 1 2 K K K K m + ；D、 ( ) 2 1 2 1 2 K K K K m + 。 （4）一弹簧振子，当 t=0 时，物体处在 x=A/2 处且向负方向运动，则它的初相为 K1 K2 K1 K2 m m 图 15-4 图 15-5
第十五章 大学物理辅导 机械振动 6 (5)两质点沿同一直线作同振幅、同频率的谐振动。在振动过程中，每当它们经过振 幅一半的地方时，它们之间的相位差为 七、阅读范围与作业 1、阅读范围：P139(第三册) 2、作业：P40,15-1,15-2,15-7,15-8,15-9,15-11,15-13,15-17,15-27。 3。想示 15-8:见图15-6，取平衡位置为原点，选X轴向右为正 方向。当物体的位移为X时，两个弹簧对它的作用力 +=-Kx-K2x=-(K+K)x 故沿X方向有=(K1+K2)x 15-6 由此可证得系统作谐振动的频率为？= a西 159见157所际，取向右为X装正方向则多 物体向右移动X后，有+三0 m LK1=K(2) 图157 解(1)、（2)两式得=K十K K2x 由运动方程-不茶 =1m 1K1K2 可得7=2元区+Km 图15-8 15-13见图15-8所示 解7=2-2as频7-=05,=2=34 (2)开始时，摆角最大日=50 但此时它的初相为零，注意摆角是角位移，绝不要与初相相混。 由此得振动方程x=Acos@1 其中报幅A=1x5×180=8,72cm 故振动方程x=8.72cos3.141cm （G)当摆角0=时，位移大小X=x3×风=523am 一82~
第十五章 大学物理辅导 机械振动 ～82～ A、 3 ；B、 − 3 ；C、 6 ；D − 6 。 （5）两质点沿同一直线作同振幅、同频率的谐振动。在振动过程中，每当它们经过振 幅一半的地方时，它们之间的相位差为 A、 2 3 ；B、 3 4 ：C、0；D、以上全不对。 七、阅读范围与作业 1、阅读范围：P1-39（第三册） 2、作业：P40，15-1，15-2，15-7，15-8，15-9，15-11，15-13，15-17，15-27。 3、提示 15-8：见图 15-6，取平衡位置为原点，选 X 轴向右为正 方向。当物体的位移为 X 时，两个弹簧对它的作用力 为 f f K x K x (K K )x 1 + 2 = − 1 − 2 = − 1 + 2 故沿 X 方向有 mx = −(K + K )x 1 2 由此可证得系统作谐振动的频率为 = 1 + 2 K1 K2 m 15-9 见图 15-7 所示，取向右为 X 轴正方向，则 物体向右移动 X 后，有 x x x K x K x 1 2 1 1 2 2 1 2 + = = ( ) ( ) 解（1）、（2）两式得 x K x K K 1 2 1 2 = + 由运动方程 mx K x K K K K = − = − x + 1 1 1 2 1 2 可得 ( ) = + 1 2 1 2 1 2 K K K K m 15-13 见图 15-8 所示 解： T l g = 2 = 2.0S ,频率 = = 1 − 0 5 1 T . S , = = − 2 314 1 . S （2）开始时，摆角最大 = 5 0 但此时它的初相为零，注意摆角是角位移，绝不要与初相相混。 由此得振动方程 x = Acost 其中振幅 A = l 5 = cm 180 8 72 . 故振动方程 x = 8.72cos3.14tcm （3）当摆角 = 3 0 时，位移大小 x = l 3 = cm 180 5 23 . K1 K2 m o x 图 15-6 K1 K2 m o x 图 15-7 5 0 l=1m m 图 15-8
第十五章 大学物理辅导 机械振动 所以eos3141=523 所以v, 3=-A@sin3.14r=-21.9cm-S- 负号表明单摆此时同左摆动。 15-17:见图15-9所示 △p=π/6 3) △p=3 图15-9 π/6 15-27:见图15-10所示A=V62+82=10厘米 =行-g1=0403度 π/3 所以合振动方程为x=10c0s21-0.403)厘米 图15-10 83
第十五章 大学物理辅导 机械振动 ～83～ 所以 cos . . . 314 . 5 23 8 72 t = = 0 6 所以 vx= A t cm S − = − = − 5 23 1 . sin3.14 21.9 负号表明单摆此时向左摆动。 15-17：见图 15-9 所示 = = = = = 2 2 2 2 1 4 ， ， T T T T = = = 6 6 2 1 12 ， t T T = = = 3 3 2 1 6 ， t T T 15-27：见图 15-10 所示 A = 6 +8 = 10 2 2 厘米 = − = − 3 6 3 0 403 1 tg . 弧度 所以合振动方程为 x = 10cos(2t − 0.403) 厘米 （ 1 ） （ 2 ） = 6 （ 3 ） = 3 图 15-9 A1 6 x 3 A A2 图 15-10