第十大章 大学物理辅导 机械波 第十六章 机械波 一、教材安排与教学目的 】、教学安排 我们从弹性媒质中一个质点的振动会引起邻近质点的振动说起，引入到振动状态以 定速率由近及远地向各个方向传播出去，从而说明机械波的产生要有两个条件一波源、媒 质。振动方向与传播方向可以垂直或平行，从而有所谓横波与纵波的概念。由振动状态相 貌的传播出发，相继引入几个常用名词一波振面、波前以及平面波与球面波。波线上两个 相邻的周相差为2π的振动质点之间的距离称为波长，定义了波的周期之后，导出了波速、 波长与频率的基本关系。更讲一步想用数学表示式来描述一个前讲中的波，于是导入一个 平面简谐行波的波动方程，并以入，T,”,山，v的关系，将波动方程表示成不同的外形。振动 的传播会伴随着能量的传播，从而应对波的能量与能流密度作进一步的研究。最后，我们 对如何求出下一时刻的新阵面，即惠更斯原理也作了介绍。 2、教学目的 本章的主要教学目的是：能确切地理解波速、波长、频率等概今，能堂据简诺行被波 动方程的导出及其物理意义，能较好运用波动方程作练习趣。 是振动状态的传播，区分开质点振动速度与波动传播速度。掌握入，T,八， 间的关系式。理解波长入反映波的空间周期性，周期T反映波的时间周期性： 2、要确切理解平面简谐行波波动方程是怎样引入的，式中时刻t的意思要弄清楚。熟 悉波动方程的几种形式： 3、应了解机械波的能量与振幅的平方、频率 平方以及媒质密度都成正比： 4、了解惠史斯原理，并能用惠史斯原理解摔波的反射和折射： 5、理解波的迭加原理，初步掌握波的干涉现象。 三、内容提要 1、机械波 (1)产生条件：[源：作机被振动的物体 媒质：能传播机械波的物质 (2)分 类：[横：报动方向与传括方向垂直 纵波：根动方向与传播方向相同 2、波长、波的周期 频率与波速 (1)波长：波线上两个相邻的、相差为2π的振动质点之间的距离，它表达了波的空 间周期性。 (2)波的周期：波前进一个波长所需的时间。它反映了波的时间周期性。 (3)波的频率：周期的倒数。 (4)波速：某一振动状态在单位时间内的传播距离，实际上，它就是质点振动相位的 传播速度，故也叫“相速度”,T,1之间的关系为：v=二=y以 -84
第十六章 大学物理辅导 机械波 ～84～ 第十六章 机械波 一、教材安排与教学目的 1、教学安排 我们从弹性媒质中一个质点的振动会引起邻近质点的振动说起，引入到振动状态以一 定速率由近及远地向各个方向传播出去，从而说明机械波的产生要有两个条件—波源、媒 质。振动方向与传播方向可以垂直或平行，从而有所谓横波与纵波的概念。由振动状态相 貌的传播出发，相继引入几个常用名词—波振面、波前以及平面波与球面波。波线上两个 相邻的周相差为 2 的振动质点之间的距离称为波长，定义了波的周期之后，导出了波速、 波长与频率的基本关系。更进一步想用数学表示式来描述一个前进中的波，于是导入一个 平面简谐行波的波动方程，并以 ,T, ,, v 的关系，将波动方程表示成不同的外形。振动 的传播会伴随着能量的传播，从而应对波的能量与能流密度作进一步的研究。最后，我们 对如何求出下一时刻的新阵面，即惠更斯原理也作了介绍。 2、教学目的 本章的主要教学目的是：能确切地理解波速、波长、频率等概念，能掌握简谐行波波 动方程的导出及其物理意义，能较好运用波动方程作练习题。 二、教学要求 1、明确波动是振动状态的传播，区分开质点振动速度与波动传播速度。掌握 ,T, , v 间的关系式。理解波长 反映波的空间周期性，周期 T 反映波的时间周期性； 2、要确切理解平面简谐行波波动方程是怎样引入的，式中时刻 t 的意思要弄清楚。熟 悉波动方程的几种形式； 3、应了解机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及媒质密度都成正比； 4、了解惠更斯原理，并能用惠更斯原理解释波的反射和折射； 5、理解波的迭加原理，初步掌握波的干涉现象。 三、内容提要 1、机械波 （1）产生条件： 波源：作机械振动的物体 媒质：能传播机械波的物质 （2）分 类： 横波：振动方向与传播方向垂直 纵波：振动方向与传播方向相同 2、波长、波的周期、频率与波速 （1）波长：波线上两个相邻的、相差为 2 的振动质点之间的距离，它表达了波的空 间周期性。 （2）波的周期：波前进一个波长所需的时间。它反映了波的时间周期性。 （3）波的频率：周期的倒数。 （4）波速：某一振动状态在单位时间内的传播距离，实际上，它就是质点振动相位的 传播速度，故也叫“相速度” v,T, 之间的关系为： v T = =
第十六章 大学物理辅导 机械波 3、简谐波的波动方程 公y=4osoi--4cs2行-月=4o2-别 (2)说明：[方程中有，两个自变量 L位移是x,的二元函数 (3)物理意义 「a、x一定时，y=),→退化为该点的振动方程 、一定时，y=,→给出了时刻的波形 x,均变化时，y=,)描述了波的传播 （④相位花与波程流的关系：A的=受A 4、惠更斯原理 (1)表述：波面上各点可看作是许多子波的波源，这些子波的包络面就是下时刻的波 面。 (2)应用：求出下一时刻的表面，由此可对波的反射和折射作出解释 5、波的干涉 (1)相干波：振动频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两列波 A=√4+A+2A42c0s△p (2)合振幅与初相 4n-2+4n,-2 中=g 4coy,-2+4r,-22） (3)极大与极小条件 (a加强条件：△0=42-4，-2x5:4=2K石，K=0L2 合振幅：A=A+A2 (b)减弱条件：△的=42-41-25二=K+1元，K=0,L2 合振幅：A=A1-A 四、解题要求与思路 1、本章的解题要求有三方面 (1)能根据给定的T,1,A以及给定点的振动方程写出波动方程 (2)根据给定的波动方程，可求出波线上任一质点的振动方程： (3)能计算出相干波的合振幅与初相，能根据位相差或波程差求出干涉的极大值与极 小值 2、解题时应注意： 85
第十六章 大学物理辅导 机械波 ～85～ 3、简谐波的波动方程 （1）公式： y A t x v A t T x A vt x = − = − = − cos cos cos 2 2 （2）说明： 方程中有 两个自变量 位移 是 的二元函数 x t y x t , , （3）物理意义 ( ) ( ) ( ) a x y y t b t y y x t c x t y y x t 、 一定时， ， 退化为该点的振动方程 、 一定时， ， 给出了 时刻的波形 、 均变化时， 描述了波的传播 = = = , , （4）相位差与波程差的关系： = 2 x 4、惠更斯原理 （1）表述：波面上各点可看作是许多子波的波源，这些子波的包络面就是下时刻的波 面。 （2）应用：求出下一时刻的表面，由此可对波的反射和折射作出解释。 5、波的干涉 （1）相干波：振动频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两列波 （2）合振幅与初相： A A A A A tg A A A A = + + = − + − − + − − 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos cos （3）极大与极小条件 （a）加强条件： = − − − 2 1 = = 2 1 2 2 0 1 2 r r K , K , , 合振幅：A=A1 +A2 （b）减弱条件： ( ) = − − − 2 1 = + = 2 1 2 2 1 0 1 2 r r K , K , , 合振幅： A = A1 − A2 四、解题要求与思路 1、本章的解题要求有三方面 （1）能根据给定的 T， ，A 以及给定点的振动方程写出波动方程； （2）根据给定的波动方程，可求出波线上任一质点的振动方程； （3）能计算出相干波的合振幅与初相，能根据位相差或波程差求出干涉的极大值与极 小值。 2、解题时应注意：
第十六章 大学物理辅导 机械波 要热流动方程的最常用夫型=A-副 ,确实搞清式中各量的物 理意义： )限一=2与=灯这些关系。即可写出另外青种天型的动 方程。 (3)要对x一t曲线，y一x曲线作出区分 五典型例题 例1 横波沿 弦上任一质点的最大速度，(6)图中，b两点的位相差，(7)三T时的波形曲线。 A 解：由波形曲线可看出 (厘米) 6 M 4 M M M; 0 ◆X(厘米》 10:20/30:405060 7080=0时刻波形 6 时刻波形 图16-1 (1)A=5.0厘米：(2)1=40厘米： G3.6 (4)波的周期T=2-04.1 230秒 (5)质点的最大速率为：=A0=A2=50×102×2=9.42(米形) 30 (6)a、b两点相隔半波长，b点处质点比a点处质点的位相落后π： ()T时刻的波形如图中实际线所示，波峰M和M:已分别右移子而到达和M奶 处。 例2、波源振动方程为y=6×102cosT(m),它所形成的波以2.0ms的速度在一直线上 86
第十六章 大学物理辅导 机械波 ～86～ （1）要熟练掌握波动方程的最常用类型 y A t x v = − cos ，确实搞清式中各量的物 理意义； （2）再根据 = = 2 2 T 与 v T = = 这些关系，即可写出另外两种类型的波动 方程。 （3）要对 x—t 曲线，y—x 曲线作出区分 五 典型例题 例 1、一横波沿一弦线传播，设已知 t=0 时的波形图如图 16-1 中虚线所示，弦上张力 3.6 牛 顿，线密度为 25 克/米，求：（1）振幅，（2）波长，（3）波的周期，（4）波速，（5） 弦上任一质点的最大速度，（6）图中 a，b 两点的位相差，（7） 3 4 T 时的波形曲线。 解：由波形曲线可看出 （1）A=5.0 厘米；（2） = 40 厘米； （3） v G = = = − 3 6 25 10 12 3 . 米/秒 （4）波的周期 T v = = = 0 4 12 1 30 . 秒 （5）质点的最大速率为： v A A T m = = = = − 2 5 0 10 2 1 30 9 42 2 . . （米/秒） （6）a、b 两点相隔半波长，b 点处质点比 a 点处质点的位相落后 ； （7） 3 4 T 时刻的波形如图中实际线所示，波峰 M1 和 M 解已分别右移 3 4 而到达 M 1 和 M 2 处。 例 2、波源振动方程为 y = t m − 6 10 5 2 cos ( ) ，它所形成的波以 2.0m/s 的速度在一直线上 y （厘米） 6 v 4 M1 M 1 M2 M 2 2 0 a b x （厘米） -2 10 20 30 40 50 60 70 80 t=0 时刻波形 -4 -6 t= ( 3 4 )T 时刻波形 图 16-1
第十六章 大学物理辅导 机械波 求 (2)该点与波源相位差：(3)该点的 解：因为波源振动方程y=6×102cosZ!m,v=2.0m/s。 所以波对方程为y=6×102cs-引 （①距源6a处质点的动方为y=6x10cm气o--6x10cm-剂 2）该点振动相位比波源落后。 3 账=片品知保 例3、刻图162所示，S1、S2为两相干被源，相距}，2为波长，S较S:的相位超前子 问在S1、S2的连线上，S:外侧各点的合振幅如何？又在S2外侧各点的合振幅如何？ 解：在S1左侧A的=41-92-2x1:5=+2m24=元 2 S 所以A=A1-A 4 在右侧4的=4-4-2学=号-号=0 图16-2 所以A=A+A2 六、课堂练习题 1、判断题 (1)能够同时产生横波和纵波的波源是不存在的。( (2)波长就是同一波线上，相位差为2π的两个振动质点之间的距离。(） (3)当简谐波在介质中传播时，波源振动的速度与波速是相同的。( (4)当机械波从空气进入水中时，它的波长和速度均会改变。() (5)所谓相干波源就是指两个振动方向相同、传播方向相同、位相差周定的两个波源。 2、填空题 (1)已知一声波在空气中的波长为入1，速度为y,当它进入另一介质时，波长变成2， 则它在这种介质中的传播速度V、= (2)己知波源的周期T=2.5×10S,振幅A=1.0×102m,波长1=1.0m,则它的波动 方程为 87
第十六章 大学物理辅导 机械波 ～87～ 传播，求：（1）距波源 6.0m 处一点的振动方程；（2）该点与波源相位差；（3）该点的 振幅和频率；（4）此波的波长。 解：因为波源振动方程 y = t m − 6 10 5 2 cos ，v = 2.0m / s。 所以波动方程为 y x = − − 6 10 5 2 2 cos 。 （1）距波源 6m 处质点的振动方程为 y = − t = − − − 6 10 5 6 2 6 10 5 3 5 2 2 cos cos ； （2）该点振动相位比波源落后 3 5 ； （3）振幅 A=6×10-2m，频率 = = = 2 5 2 1 10 Hz ； （4）波长 = = = v 2 0 1 10 20 . （米） 例 3、如图 16-2 所示，S1、S2 为两相干波源，相距 1 4 ， 为波长，S1 较 S2 的相位超前 2 ， 问在 S1、S2 的连线上，S1 外侧各点的合振幅如何？又在 S2 外侧各点的合振幅如何？ 解：在 S1 左侧 = − − − 1 2 = + = 1 2 2 2 2 r r 4 所以 A = A1 − A2 在 S2 右侧 = − − − 1 2 = − = 1 2 2 2 2 0 r r 所以 A=A1 +A2 。 六、课堂练习题 1、判断题 （1）能够同时产生横波和纵波的波源是不存在的。（ ） （2）波长就是同一波线上，相位差为 2 的两个振动质点之间的距离。（ ） （3）当简谐波在介质中传播时，波源振动的速度与波速是相同的。（ ） （4）当机械波从空气进入水中时，它的波长和速度均会改变。（ ） （5）所谓相干波源就是指两个振动方向相同、传播方向相同、位相差固定的两个波源。 （ ） 2、填空题 （1）已知一声波在空气中的波长为 1 ，速度为 v1 ，当它进入另一介质时，波长变成 2 ， 则它在这种介质中的传播速度 v2 = 。 （2）已知波源的周期 T=2.5×10-3S，振幅 A=1.0×10-2m，波长 =1.0m，则它的波动 方程为 。 S1 S2 4 图 16-2
第十大章 大学物理辅导 机械波 3)在流动方程y=As(-到中，式中的子表示 在技动方程y-中，和时间一定，则该方程桃表示一 （)根累动方y=Aa-如，当一定移y是时间：的余数 则经过 时间，位移y就重复一次。 3、单重洗择颗 (1)一沿X轴正向传播的谐波，波速为2ms,采用S时，原点0的振动方程为 y=6×102c0s(m),则它的波动方程可表示为： Ay=6x102cma-引：B=6x102cma-9 cJ=6x10cos-引：ny=6x102cs-》 (2)当机械波从一种媒质进入另一种媒质时， A、波长不变，周期和频率改变：B、波长不变，周期不变，频率变： C、波长改变，周期和频率不变：D、以上说法均不正确。 （3)一平面话液y=50g+3x+引则该波 A、沿X轴正方向传播：B、沿X轴负方向传播：C、沿OX、OY的分角线传播： D、以上说法均不正确。 (4)两相干波源的振动相位差为π，它们发出的波，经过相同的距离相遇，其干涉结 果为： A、加强：B、减弱：C、既不加强也不减弱：D、条件不足无法确定。 (5)两相干波源，振幅分别为A1与A2,频率为100,周期为π，两者相距20m 在两波源的中垂线上，距波源为15m的点的振幅为 A、AAA:B、A=4-:C、A=4+):D、以上均不对： 七、阅读范围与作业 1、问凌范围，p0(下册) 2、作业：162,163,166,1613.16-15,16-20. 3、提示 161见周53所示，相酸若40=受a.24C-8四 88
第十六章 大学物理辅导 机械波 ～88～ （3）在波动方程 y A t x v = − cos 中，式中的 x v 表示 。 （4）在波动方程 y A t x v = − cos 中，若时间 t 一定，则该方程就表示 。 （5）根据波动方程 y A t x v = − cos 知，当 x 一定时，位移 y 是时间 t 的余弦函数， 则经过 时间，位移 y 就重复一次。 3、单重选择题 （1）一沿 X 轴正向传播的谐波，波速为 2ms-1，采用 SI 时，原点 O 的振动方程为 y = t − 6 10 2 cos (m)，则它的波动方程可表示为： A、 y t x = − − 6 10 2 2 cos ；B、 y t x = − − 6 10 4 2 cos ； C、 y t x = − − 6 10 2 2 cos ；D、 y t x = − − 6 10 4 2 cos 。 （2）当机械波从一种媒质进入另一种媒质时， A、波长不变，周期和频率改变；B、波长不变，周期不变，频率变； C、波长改变，周期和频率不变；D、以上说法均不正确。 （3）一平面谐波 y = t + x + 5 8 3 4 cos ，则该波 A、沿 X 轴正方向传播；B、沿 X 轴负方向传播；C、沿 OX、OY 的分角线传播； D、以上说法均不正确。 （4）两相干波源的振动相位差为 ，它们发出的波，经过相同的距离相遇，其干涉结 果为： A、加强；B、减弱；C、既不加强也不减弱；D、条件不足无法确定。 （5）两相干波源，振幅分别为 A1 与 A2，频率为 100Hz，周期为 ，两者相距 20m， 在两波源的中垂线上，距波源为 15m 的点的振幅为： A、A=A1 +A2 ；B、 A = A1 − A2 ；C、 A = ( A + A ) 1 2 1 2 ；D、以上均不对。 七、阅读范围与作业 1、阅读范围：P46-80（下册） 2、作业：P99 16-2，16-3，16-6，16-13，16-15，16-20。 3、提示 16-13：见图 15-3 所示，相位差 ( ) = = 2 2 − r AC BC
第十六章 大学物理辅导 机械被 又=y-05 8-x102m,Ac加 BC=V32+0.072-2×3×0.07c0s30°=3-0.07c0s30°(m)=3m A B 故A0=2xx007xV52-7267 0.07m 3x10 162m04的=2兰-2r×子-n (2)A=4-4 -89
第十六章 大学物理辅导 机械波 ～89～ 又 = = = v − m 0 5 30 5 3 10 2 . ，AC=r=3m BC = 3 + 0 07 − 2 3 0 07 30 = 3− 0 07 30 2 2 0 0 . . cos . cos (m) 所以 AC − BC = 0 07 30 m = 0 07 m 3 2 0 . cos . 故 = = − 2 0 07 3 2 5 3 10 7 26 2 . . 16-20：（1） = 2 = 2 = 3 2 3 r （2） A = A1 − A2 C r=3m 300 A B 0.07m
