部分习题分析与解答 第十四章机械振动 第十朦部分腾肯濞餐
部分习题分析与解答 第十四章机械振动
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 14-3一远洋货轮，质量为m,浮在水面时其水平截面积 为S。设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的 密度为，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振 幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期。 证货轮处于平衡状态，如图 (a),浮力大小为F=mg,当船 上下作微小振动时，取货轮处 于力平衡时的质心位置为坐标 原点O,竖直向下为x轴正向， 如图(b)所示，则当货轮向下 偏移x位移时，受合外力为 (a) (b） ∑F=P+F
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 证 货轮处于平衡状态，如图 （a)，浮力大小为F=mg，当船 上下作微小振动时，取货轮处 于力平衡时的质心位置为坐标 原点O，竖直向下为x轴正向， 如图（b)所示，则当货轮向下 偏移x位移时，受合外力为 F = P +F 14-3一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积 为S。设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的 密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振 幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期。 F P C (a) P C F’ x o x (b)
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 其中℉为此时货轮所受浮力，其方 向向上，大小为 F'=ig +pgSx 则货轮所受合外力 ∑F=P-F'=-PgS=-lx 式中k=pgS为常数，货轮作简谐运动 (a) (b) 由 ∑F=l2x/dh2可得货轮运动的微分方程为 d2x x=0 dr2 m 令o2=pgS1m, 可得其振动周期为 T=2π/o=2πVm/pgS
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 F = mg + gSx 其中F’为此时货轮所受浮力，其方 向向上，大小为 则货轮所受合外力 F = P −F = −gSx = −kx 式中k=ρgS为常数，货轮作简谐运动 0 2 2 + x = m gS dt d x 由 F = md 2 x / dt 2 可得货轮运动的微分方程为 令 gS / m ，可得其振动周期为 2 = T = 2 / = 2 m/ gS F P C (a) P C F’ x o x (b)
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 14-5如图(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和 k2,物体在光滑斜面上振动。（1)证明其运动仍是简 谐运动；(2)求系统的振动频率。 K 证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、 x2,则物体受力平衡，有 mg sin 0=kx=k2x2 1) (a) 按图(b)所取坐标，物体沿x轴移动 位移x时，两弹簧又分别被拉伸x',和 x2,即x=x'1+x'2,则物体受力为 F=mg sin -k2 (x2+x2) (b) =mg sin e-k (x+x) (2)
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 sin ( ) (2) sin ( ) 1 1 1 2 2 2 mg k x x F mg k x x = − + = − + 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、 x2，则物体受力平衡，有 sin (1) mg = k1 x1 = k2 x2 按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动 位移x时，两弹簧又分别被拉伸x’ 1 和 x’ 2，即x= x’ 1 +x’ 2,则物体受力为 14-5如图(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和 k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简 谐运动；（2）求系统的振动频率
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 将式(1)代入式(2)得 F=-kx=-k2x2 (3) 由式(3)得x=-F/k,,=-F/k2) 而x=X1+x2,则得到 kk2 (b) F-- x=-kox k +k2 式中k=kk,(k,+k,)为常数，则物体作简谐运 动，振动频率为 01 kk2 /(k+k2)m 2π1 2πVm 2元 讨论：斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 x kx k k k k F = − + = − 1 2 1 2 将式（1）代入式（2）得 (3) F k1 x1 k2 x2 = − = − 由式（3）得 而x= x’ 1 +x’ 2, ，则得到 / , / ) 1 1 2 2 x = −F k x = −F k 式中 为常数，则物体作简谐运 动，振动频率为 /( ) k = k1 k2 k1 + k2 k k k k m m k /( ) 2 1 2 1 2 = = = 1 2 1 + 2 讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 14-8一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A=2.0×10-2m,周期T=0.50s。当=0时，（1)物体 在正方向端点；(2)物体在平衡位置，向负方向运 动；（3)物体在x=1.0×10-2m处，向负方向运动； (4)物体在x=-1.0×10-2m处，向正方向运动。求以 上各种情况的运动方程。 分析在振幅A和周期T已知的条件下，确 定初相φ是求解简谐运动方程的关键。初 相的确定通常有两种方法。 M （1)解析法：由振动方程出发，根据初 始条件，即=0时，x=x和v=V来确定p值。 (2)旋转矢量法：如右图所示，将质点 P在ox轴上振动的初始位置x,和速度Vo的 方向与旋转矢量图相对应来确定φ
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 14-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 A=2.0×10-2m，周期T=0.50s。当t=0时，（1）物体 在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运 动；（3）物体在x=1.0×10-2m处，向负方向运动； （4）物体在x=-1.0×10-2m处，向正方向运动。求以 上各种情况的运动方程。 分析 在振幅A和周期T已知的条件下，确 定初相φ是求解简谐运动方程的关键。初 相的确定通常有两种方法。 （1）解析法：由振动方程出发，根据初 始条件，即t=0时，x=x0和v=v0来确定φ值。 x o N p x0 φ0 M ω （2）旋转矢量法：如右图所示，将质点 P在ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的 方向与旋转矢量图相对应来确定φ0
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 解由题给条件知A=2.0X10-2m,0=2π/T=4 而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求。 解析法：根据简谐运动方程x=ACos(ot+p), 当0时有x=Acos p,y。=-Aosin o.当 ()x=A时，c0s9=1,则p,=0; (2X,-0时cos9,=0-+号因，0，取0， 4π
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 1 2 / 4 − 解 由题给条件知A=2.0×10-2m， = T = s 而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求。 解析法：根据简谐运动方程 x = Acos(t +), 当t=0时有 x = Acos,v0 = −Asin .当 (1) ,cos 1, 0; x0 = A时 1 = 则1 = ; 2 , 0, 2 (2) 0 ,cos 0, 0 2 2 0 2 x = 时 = = 因v 取 = ; 3 , 0, 3 (3) 1.0 10 ,cos 0.5, 3 3 0 3 2 0 = = = = x − m时 因v 取 . 3 4 , 0, 3 (4) 1.0 10 ,cos 0.5, 4 4 0 4 2 0 = − = − = = x − m时 因v 取
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢 量图，如图所示，它们所对应的初相分别为 p1=002= 20, 3p4 4π 3 振幅A、角频率Q、初相φ均确定后， -A/2 则各相应状态下的运动方程为 (1)x=(2.0×10-2m)cos[(41)t] (2)x=(2.0×102m)cos[(4m1)t+元】 (3)x=(2.0×10-2m)cos[(4-1)t+ (4)x=(2.0×10-2m)cos[(4s-)t+ 41
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢 量图，如图所示，它们所对应的初相分别为 (1) (2.0 10 )cos[(4 ) ] 2 1 x m s t − − = x o A/2 ω -A/2 1 2 3 4 . 3 4 ; 3 ; 2 0; 1 2 3 4 = = = = 振幅A、角频率ω、初相φ均确定后， 则各相应状态下的运动方程为 ] 2 (2) (2.0 10 ) cos[(4 ) 2 1 = + − − x m s t ] 3 (3) (2.0 10 ) cos[(4 ) 2 1 = + − − x m s t ] 3 4 (4) (2.0 10 ) cos[(4 ) 2 1 = + − − x m s t
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 14-13一物体沿x轴简谐运动，振幅为0.06m,周期 为2.0s,当=0时位移为0.03m,且向x轴正向运动。 求（1)t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度； (2)物体从x=-0.03m处向x轴负方向运动，到达平 衡位置，至少需要多少时间？ 解（1)由题意知A=0.06m、0=2π/T= πs-l由旋转矢量图14-13(a)可确定初 相p0=-元3则运动方程为 A/2 x=(0.06m)cos[()t-π/3] 当=0.5s时质点的位移、速度、加 速度分别为 图14-13（a)
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 14-13 一物体沿x轴简谐运动，振幅为0.06m，周期 为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向x 轴正向运动。 求（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度； （2）物体从x=-0.03m处向x轴负方向运动，到达平 衡位置，至少需要多少时间？ 当t=0.5s时质点的位移、速度、加 速度分别为 (0.06 )cos[( ) / 3] 1 = − − x m s t 解 （1）由题意知A=0.06m、ω=2π/T= πs-1由旋转矢量图14-13（a）可确定初 相φ0=- π/3则运动方程为 x o φ0 ω A/2 图14-13（a）
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 当仁0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为 x=(0.06m)cos(π/2-π/3)=0.052m dx y= =-(0.06mm:s1)sin(π/2-π/3)=-0.094ms1 dt a 2=-(0.06x21s2)c0s(元/2-元/3)=-0.0513m:s2 d2x (2)质点从x=-0.03m运动到平衡位置 M 的过程中，旋转矢量从图14-13(b)中 的位置M转至位置N,矢量转过的角 度（即相位差）△0=5π/6。该过程所 A/2 △0 需时间为 △t=△p/o=0.833s N 图14-13(b)
部分习题分析与解答 第十四章机械振动 当t=0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为 x = (0.06m) cos( / 2 − / 3) = 0.052m 1 1 (0.06 )sin( / 2 / 3) 0.094 − − = = − ms − = − ms dt dx v 2 2 2 2 2 (0.06 )cos( / 2 / 3) 0.0513 − − = = − ms − = − ms dt d x a t = / = 0.833s (2)质点从x=-0.03m运动到平衡位置 的过程中，旋转矢量从图14-13(b)中 的位置M转至位置N，矢量转过的角 度（即相位差）Δφ=5π/6。该过程所 需时间为 x o Δφ ω -A/2 M N 图14-13（b）