Vol.17 No.3 吴檀等：三阶线性微分方程的若于新的可积类型 293· 3关于因变量代换y=uexp- p(x)dxl 引理3三阶线性方程： u'+A(x)u"+2A'(x)u'+A"(x)u=0 (28) 的通解为： u=expl-4(x)dx(C +C:x)exp[4(x)dxldx+C,) 事实上，这只需注意方程(28)可变形为： [u'+A(x)]'=0或u'+A(x)u=C,+C,x 即可. 现在来求一种因变量代换y=u心，以使方程(1)转化为方程(28).为此，在方程(3)中，令： 了3u"7D+2p(x)e'/e+q(x)=2[3'/v+p(x] (29) v""/v +p(x)v"/v+q(x)v'/v +r(x)=[3v'/v+p(x)]" (30) 以待定所需要的函数(x).在(29)式中，注意到： 3[u"/e-(u'7oy]=3(7w)2 则当取： q(x)=-p'(x)-p2(x) (31) 时，便可将(29)式化为： [3D'/u-p(xw'/u+p(x]=3[w'/)+p(x' 显然，欲使上式成立，应取： '/D+p(x)=0 即 v=Cexp[-p(x)dx] 这里C为非零常数，为简便不妨取C=1.于是，变换 y=uexp[-p(x)dx] (32) 即为所求.再将所得之v及q(x)代入(30)式，又可知(x)应满足的条件为： r(x)=-p"x)-3p(x)p'(x)-p3(x) (33) 定理4三阶变系数线性微分方程(1)经因变量代换(32)化为方程： u"-2p(x)u"-4p'(x)u'-2p"(x)u=0 (34) 的充分必要条件是(31)及(33)式同时成立，此时，方程(1)的通解为： y-(Cexp-2Pxdx+Cxexp-2(dxx+C,)exp[ (35) 证明：必要性已证.现证充分性. 作因变量代换(32)，方程(1)可化为： u"-2p(x)u"+[q(x)-3p'(x)+p2(xu'+[r(x)-p"(x)+2p(x)p'(x)-p(x)q(x)u=0 (下接301页)吴 檀 等 三 阶 线 性 微 分 方 程 的 若 干 新 的 可 积 类 型 ， 关 于 因“ 量“ 换 ，一 卜 丁 仄 引理 三 阶线性 方 程 ’ ‘ ’ ’ ‘ ‘ ’ ‘， “ 的通解 为 一 卜 丁 · 〔 · 丁 ‘ · · 二 丁 · · · 二 ， 事 实上 ， 这 只 需 注 意 方 程 可 变 形 为 【 。 ‘ 」“ 或 ’ 即 可 现在来求一种 因变量代换 ， 以使方程 转化为方程 为此 ， 万 ， ， ， ’ ” ，’ 、 月 ” ‘ ” 、 十 一 “ ” ‘ ” 十 ‘ 气 沙 ” ’ 〔 ‘ ， 以 待定 所 需 要 的 函 数 。 在 式 中 ， 注 意 到 【 ‘， 一 ，。 ’ 」 。 ，。 ， 则 当取 叮 一 夕 ‘ 一 夕’ 时 ， 便 可 将 式 化 为 ‘ 加 一 」「 ’ 卜 「 ’ ‘ 显 然 ， 欲使上 式 成 立 ， 应 取 在方程 中 ， 令 夕 三 ， 一 二 卜 丁 ， · · 这 里 为 非 零 常 数 为 简便 不 妨 取 二 于 是 ， 变 换 ，一 卜 丁 · · 即 为所 求 再 将所 得 之 · 及 代 人 式 ， 又 可 知 应 满 足 的条 件 为 一 夕，’ 一 夕 ‘ 一 尸’ 定 理 三 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 经 因 变 量 代 换 化 为方 程 龟了︼，内、 扭了、 、 ‘ ’ ‘ 一 ” 一 ‘ 、 ‘ 一 飞 “ 的充 分 必 要 条 件 是 及 式 同 时 成 立 此 时 ， 方 程 的 通 解 为 ，一 丁 二 卜 丁 ， · · 二 丁 · 卜 丁 ， · · 二 二 【丁 ， · ” 证 明 必 要 性 已 证 现 证 充 分 性 作 因 变 量 代 换 ， 方 程 可 化 为 。 ’ ‘ ’ 一 尸 ’‘ 宁 一 夕 ‘ 夕’ ‘ 【 一 夕 ‘， 夕 夕 ‘ 一 夕 口 下接 页