·292 北京科技大学学报 1995年No.3 u"+A(x)u"+[A"(x)-2A(x)A(x)]u=0 (20) 的通解可表示为： uepl-∫+时46eatr+c) 事实上，方程(20)可变形为： [4'+A(x)u”-2A'(x)[u+A(x)u=0 进而有： u'+A(x)u=: 、:”-2A'(x):=0 由此即知引理2成立， 下面来证明：当p(x),q(x),(x)之间满足某种关系时，前述因变量代换(17)也可化方程 (1)为方程(20).为此在方程(3)中令： 了3u"+2p(x)v'+q(x)D=0 (21) 1v"e+p(x)D'1e+q(x)D'm+r)=3v'+p(x"-2[3v'e+p(x[3D'/e+p(xI(22) 易见，若取： q(x)=2p'(x) (23) 则以)为未知函数的方程(21)可变形为： v”+2[p(x)j/3=0 由此可求得： =exp[-2p(xdx/3C exp[2 p(dx/3x+C;} 这里C+C≠0.当取C,=0,C,=1时，即得代换(17)中之函数(x).将此v(x)及由(23) 式所给出的q(x)代入(22)式，又可得： r(x)=-p"(x)/3-4p(x)p'(x)/3-4p3(x)/27 (24) 反之，如果方程(1)满足条件(23)及(24)，也易推知：方程(1)经因变量代换(17)可转 化为形如(20)的方程： u”-p(xu"-[p"(x)+2p(x)p'(x)]u=0 (25) 显然，这里A(x)=一p(x). 综合上述分析，并注意到引理2，便有下述定理， 定理3三阶变系数线性微分方程(1)经因变量代换(17)化为方程(25)的充分必要条 件是(23)及(24)式同时成立. 又若(x,2(x)是二阶线性方程： :"+2p'(x)z=0 (26) 的基本解组，则方程(1)的通解可由下式给出： y=expl p(xdx/3(C+C:)exp(-p(x)dxlx+C} (27)北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 “ ‘ ” 【 ，’ 一 ‘ 〕 的通 解 可 表 示 为 一 卜 ， · ” · 丁 】一 二 。 ‘ · ‘ · 二 事 实 上 ， 方 程 可 变 形 为 【 ’ 』” 一 ‘ ’ 卜 进 而 有 厂 ‘ 夭 ， 一 ’ 由此 即 知 引 理 成 立 下 面 来 证 明 当 ， ， 之 间满 足 某 种 关 系 时 ， 前 述 因 变 量 代 换 也 可 化 方 程 为 方 程 为 此 在 方 程 中令 干 少州广 “ ‘冲气 一， ， 、 ， 宁 气 个 气 十 气 “ 一 【 ‘ 尸 』【 ‘ 夕 』 ‘ 易 见 ， 若 取 ‘ 则 以 。 为 未 知 函 数 的方 程 可 变 形 为 “ ‘ 由此 可 求得 一 卜 丁 ， · · 丁 二 【 丁 ， · ‘ · ， 二 这 里 举 当取 ， 时 ， 即得 代换 中之 函 数 将 此 。 及 由 式 所 给 出 的 代 人 式 ， 又 可 得 一 尸 ’ ‘ 一 夕 夕 ‘ 一 ， 反 之 ， 如 果 方 程 满 足 条 件 及 ， 也 易 推 知 方 程 经 因 变 量 代 换 可 转 化 为 形 如 的方 程 “ ‘ 一 。 ‘ ’ 一 【 ‘， ’ 」 显 然 ， 这 里 二 一 综 合 上 述 分 析 ， 并 注 意 到 引理 ， 便 有 下 述 定 理 定 理 三 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 经 因 变 量 代 换 化 为 方 程 的 充 分 必 要 条 件 是 及 式 同 时 成 立 又 若 ， ， 是 二 阶 线 性 方 程 艺 ’ ‘ ‘ 的基 本 解 组 ， 则 方 程 的通 解 可 由下 式 给 出 夕一 ， · · ， 丁一 二 卜 · · 〕 二 ‘