Vol.17 No.3 吴檀等：三阶线性微分方程的若干新的可积类型 .291· u"u=C;exp[ A(x)dx] 故由文献[2]可知引理1成立， 现寻求1种因变量代换y=uv,以使方程(1)经该代换可转化为方程(13)·为此， 在方程(3)中，令， 3u"/v+2p(x)D/u+q(x)=1 (14) (v"'/m+p(x加"/u+q(x)D'/e+r(x)=2[3D'/D+p(x] (15) 以待定所需要的函数(x)同时，确定p(x)、q(x)、(x)之间所应具备的条件· 注意到(14)式可变形为： v"+[2p(xu'+(g(x)-1)]/3=0 可知，若选取： q(x)=2P(x)+1 (16) 则可将其进一步化为： v"+2[p(x)]/3=0,即v'+2p(x)D/3=C1, 由此可解得： =exp[-2p(xdx/3H(Cexp(2p(x)dx/3dx +C:C+) 为简便，不妨取C,=0,C=1.于是，所求因变量代换为： y=uexp[-2 p(x)dx/3] (17) 再将已确定的函数(x)及q(x)代人(15)式，又可得知(x)应满足的条件为： r(x)=2p"(x)/3+2p(x)p'(x)/3-4p3(x)/27-1p(x)/3 (18) 定理2三阶变系数线性微分方程(1)经因变量代换(17)化为方程： u'-p(x)u"+1u'-1p(x)u=0 (19) 的充要条件是(16)及(18)式同时成立· 此时，方程(1)的通解可由(17)式及二阶常系数非齐次方程： u"Au=C3 exp[ p(x)dx] 的通解给出， 证明：必要性已证，现证充分性· 方程(1)经因变量代换(17)可化为方程： w"-px)u"+[qx)-2p(x)u'+{[x)-2p"(x)/3+2px)p'(x)3+4px)/27-2px)q(x)/3u=0, 将(16)及(17)式代人，即为方程(19)，又由引理1立即可知本定理后半部分结论正确， 为得到第二个结论，再给出一个引理· 引理2如果(x)、2(x)是二阶线性方程 :”-2A'(x)z=0 的基本解组，则三阶线性方程：丫 心 昊 檀等 三 阶 线性 微 分 方 程 的 若 干 新 的 可 积 类 型 · ” · “ 一 二 【一 ‘ · · 〕 为 此 故 由文 献 可 知 引理 成 立 现 寻 求 种 因变量 代换 ， 以 使 方 程 经 该 代 换 可 转 化 为 方 程 在 方 程 中 ， 令 ， ，，， 了 ， ， ’ 妙 丫 ” 招 ‘，扮 ， ， ， 、 ， 气 一 气 一 十 叹 几 一 气 以 待定 所 需 要 的 函数 。 林 同 时 ， 确 定 、 抓 、 之 间 所 应 具 备 的条 件 注 意到 式 可 变 形 为 ” 【 ’ 一 又 可 知 ， 若选 取 ‘ 又 则 可 将其 进 一 步 化 为 “ 夕 ’ ， 即 ‘ 夕 ， 由此 可 解 得 一 卜 ， · · ，】 二 丁 ， · · ，‘二 · ‘ 子 为 简便 ， 不 妨 取 ， 厂 于 是 ， 所 求 因变量 代换 为 、， 少 了、、了 、 曰二 ，城︺︷了、尹， ，一 【一 ， · ‘ · ，】 再 将 已 确 定 的 函 数 。 及 代人 式 ， 又 可 得 知 应 满足 的 条件 为 夕“ 夕 夕 ‘ 一 ’ 汉 定 理 三 阶变 系 数 线 性 微 分 方 程 经 因变 量 代 换 化 为方 程 ‘ ’ ‘ 一 “ 又 ‘ 一 义 的充 要 条件 是 及 式 同 时成 立 此 时 ， 方 程 的 通 解 可 由 式 及 二 阶 常 系 数 非 齐次 方 程 一 “ 一 二 【丁 ， · · 的通 解 给 出 证 明 必 要 性 已 证 ， 现 证 充 分 性 方 程 经 因 变 量 代 换 可 化 为方 程 ’ “ 一 办孙 一 夕 ‘ 」 ‘ 代 一 夕“ 冰 ‘ 夕 一 仄 ， 将 及 式 代人 ， 即为方程 又 由引理 立 即可知本定理后半部分结论正确 为 得 到 第 二 个 结 论 ， 再 给 出一 个 引 理 引理 如 果 、 是 二 阶 线 性 方 程 了 一 ‘ 灭 二 的基 本 解 组 ， 则 三 阶 线 性 方 程