·290* 北京科技大学学报 1995年No.3 由此定理，容易得到下述推论： 推论1如果方程(1)满足条件： q(x)=p'(x)+p2(x)/3+A (6) r(x)=p'(x)/3+p(x)q(x)/3-2p3(x)/27+B (7) 这里A、B均为实常数，则方程(1)经代换(4)可化为常系数线性方程： u""+Au'Bu=0 (8) 且(8)的特征方程，+Ar+B=0的根可由卡尔丹公式给出.特别地，当A=B=0,即： q(x)=p'(x)+p2(x)/3 (9) r(x)=p'"(x/3+p(x)p'(x)/3+p3(x)/27 (10) 时，方程()的通解为：y=(C,+C,x+C,xExp-p(xx/31,其中CCC,为任意常数· 推论2如果方程(1)满足条件： q(x)=p'(x)+p2(x)/3-p"(x)/p(x) (11) r(x)=p'(x)/3+p(x)9(x)/3-2p3(x)/27 (12) 这里函数p(x)在所论区间上二阶可微且p(x)≠0，则方程(1)的通解为： =[C(dx+C:((((xdx+C,lexp[-p(x)dx/3]. 2关于因变量代换y=uexp-2 p(x)dx/31的两个结论 首先证明一个引理， 引理1三阶线性微分方程 u"+A(x)u”+1u+2A(x)u=0,(亿为常数) (13) 的通解为： (1)当2<0时， u=C,explv-元刘+C,cxp-√-元刘+C,(expl习/xexp[-√-idx -exp[-√-ix刘x)expl-ix刘dxy/2√-i; (2)当1=0时， u=C,+C,x+C,[x/x)dx-)dxi划： (3)当1>0时， u=Cos√反x+Csin反x+C-os√反xinxdx+sinV反xxos√反xd以W反， 其中fx)=exp[-A(xdxy 事实上，方程(13)可变形为：(u”+元u)'+A(x)(u”+2u)=0,进而可转化为二阶常 系数非齐次线性方程：北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 由此 定 理 ， 容 易 得 到 下 述 推 论 推 论 如 果 方 程 满 足 条 件 夕 ’ 夕 夕 ‘ 夕 叮 一 夕， 这 里 、 均 为 实 常 数 ， 则 方 程 经 代 换 可 化 为 常 系 数 线 性 方 程 “ ‘ ‘ 且 的特 征 方 程 尸 二 的根 可 由卡 尔 丹 公 式 给 出 特 别 地 ， 当 ， 即 夕 ‘ 一 于尸， 夕 ‘， 尸 户 ’ 尸， 方程 “ ，的通解 为 ，一 · 二 一 殆· 。一 ， · 。 · ， ， 其 中 、 、 为任意常数 推 论 如 果 方 程 满 足 条 件 夕 ‘ 夕’ 一职 ‘ ’ 中 夕” 夕 一 夕’ 这 里 函 数 价 在 所 论 区 间上 二 阶可 微 且 沪 手 ， 则 方 程 的 通 解 为 ，一 · · 二 · · 关于 因 变量代换 一 ‘ ， · 》 · 一 卜· 丁 · · 〕 · 仄 的两 个结论 首 先 证 明一 个 引理 引理 三 阶线 性 微 分 方 程 ’ “ ” 又 ‘ 的 通 解 为 当 兄 时 ， 一 ， 寸二丁 一 寸二万 又 二 ， 又 为 常 数 一 卜 二 · 〕 · 二 【二 ·卜 二 门 · 少 · 二 卜 二 · 〕 · 寸二万 当 又 时 ， 一 · 二 【 · · 一 孙 · · 当 又 时 ， 一 万 二 ， 抓 二 卜 抓 、 ‘ ·抓 · 一 ‘· 。 · 少、 。 · 二 ” 中 一 【一 ‘ 、 · 事实上 ， 方 程 可 变形 为 ” 兄的 ‘ ， 又 ， 进 而 可 转 化 为 二 阶 常 系 数非 齐次 线 性 方 程