Methods of Mathematical Physics(2016. I1) 则一般解为 (p.9)=∑R(pyn(q) Ao(1+Do In p)+2(A cos mp Bu sin mp)(p"+Dmpm) 对于本题定解问题的圆内问题(0P≤b),有自然边界条件团≠4因此 D=0,Dn=0(m=1,2,…)这时,一般解为, u(p, )=4o+2(Am cos mo+Bm sin mo)p 其中An,Bn由边界条件给出,它们是 偶函数部分:4=1CO,4=1C17101m0, 奇函数部分:B f(e)sin mede *对于下面例题的圆外问题(b≤p≤∞),上述一般解也适用,但需要增加 边界条件:有界,或是具体问题需要具体确定。 例2.在电场强度为E0的均匀电场中,放入一个半径为b的无限长导体圆柱,其 轴线垂直于E,单位长度的带电量为Q.求导体圆柱外的电势分布。 解:分析:以圆柱的轴线为z轴,显然这是平面问题,因 为这个问题本身与z无关(2+0D).以E0方向为x轴方 向取极坐标系,电势(p,q)所满足的定解问题是 Vu(p,p)=Ial,Ou )pc=0(>b) =0.t≈tl E1pso-Qmp(p>b见下) 这里我们选取导体表面p=b为电势零点。第二个边界条件的右端第一项uo 是待定常数;第二项是均匀电场E0的电势-E0x=- CoCos,第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势,记为a2当L→∞时,无穷多个点电荷在p处产Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 9 则一般解为 ( ) ( )( ) 0 0 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D           =  − = =  = + + + +   *对于本题定解问题的圆内问题 (0    b)，有自然边界条件   =0 u ，因此， D0 = 0， Dm = 0 ( m = 1,2,  ). 这时，一般解为， ( )  = = + + 1 0 ( , ) cos sin m m u   A Am m Bm m  ， 其中 Am Bm , 由边界条件给出，它们是： 偶函数部分：  =     2 0 0 ( )d 2 1 A f ，  =      2 0 ( ) cos d 1 f m a Am m ， 奇函数部分： 2 0 1 ( )sin d . m m B f m a      =  **对于下面例题的圆外问题 (b     )，上述一般解也适用，但需要增加 边界条件： → u 有界，或是具体问题需要具体确定。 例 2. 在电场强度为 E0 的均匀电场中，放入一个半径为 b 的无限长导体圆柱，其 轴线垂直于 E0 ，单位长度的带电量为 Q . 求导体圆柱外的电势分布。 解：分析：以圆柱的轴线为 z 轴，显然这是平面问题，因 为这个问题本身与 z 无关(2+0D). 以 E0 方向为 x 轴方 向取极坐标系，电势 u(,) 所满足的定解问题是 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( , ) 0, 0; cos ln , . 2 a u u u b Q u u u E b                =        = + =            =  − −    见下 这里我们选取导体表面  = b 为电势零点。第二个边界条件的右端第一项 0 u 是待定常数；第二项是均匀电场 E0 的电势 0 0 − = − E x E   cos ; 第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势，记为 2 u . 当 L → 时，无穷多个点电荷在  处产