n+1维的向量组 B1=(an,a12 1),i=1,2 也线性无关 定理2设a1,a2,…a与B1,B2,…B,是两个向量组如果 1)向量组a2a2…a,可以经B,月2…,B,线性表出, 2)r>s, 那么向量组a1a2…a必线性相关 推论1如果向量组a1,a2…,a,可以经向量组B1,B2,…,B,线性表出,且 a,a2,…a线性无关,那么r≤s 推论2任意n+1个n维向量必线性相关 推论3两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 定理2的几何意义是清楚的:在三维向量的情形,如果s=2,那么可以由 向量B1,B2线性表出的向量当然都在B1,B2所在的平面上,因而这些向量是共面 的,也就是说,当>2时,这些向量线性相关两个向量组a1,a2与B1,B2等价, 就意味着它们在同一平面上. 二、极大线性无关组 定义13一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组 本身是线性无关的,并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得 的部分向量组都线性相关 个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身 极大线性无关组的一个基本性质是,任意一个极大线性无关组都与向量组本 身等价 例4看P3的向量组 a1=(1,00),a2=(0,10,a3=(1,10) 在这里{a1a2}线性无关,而a3=a1+a2,所以{a12a2}是一个极大线性无 关组.另一方面,{a12a3},{a2,a3}也都是向量组{a1,a2,a3}的极大线性无n +1 维的向量组 a a a a i s i i i i n i n ( , , , , ) , 1,2, ,  = 1 2  , +1 =  (5) 也线性无关. 定理 2 设   r , , , 1 2  与    s , , , 1 2  是两个向量组.如果 1）向量组   r , , , 1 2  可以经    s , , , 1 2  线性表出， 2） r  s， 那么向量组   r , , , 1 2  必线性相关. 推论 1 如果向量组   r , , , 1 2  可以经向量组    s , , , 1 2  线性表出，且   r , , , 1 2  线性无关，那么 r  s . 推论 2 任意 n +1 个 n 维向量必线性相关. 推论 3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量. 定理 2 的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果 s = 2 ，那么可以由 向量 1 2  ,  线性表出的向量当然都在 1 2  ,  所在的平面上，因而这些向量是共面 的，也就是说，当 r  2 时，这些向量线性相关.两个向量组 1 2  , 与 1 2  ,  等价， 就意味着它们在同一平面上. 二、极大线性无关组 定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组 本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得 的部分向量组都线性相关. 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本 身等价. 例 4 看 3 P 的向量组 (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0) 1 =  2 = 3 = 在这里｛ 1 2  , ｝线性无关，而 3 =1 + 2 ，所以｛ 1 2  , ｝是一个极大线性无 关组.另一方面，｛ 1 3  , ｝，｛ 2 3  , ｝也都是向量组｛ 1 2 3  , , ｝的极大线性无