《数学分析》教案 第十二章数项级数 海南大学数学系 例4、应用级数收敛的阿西准则正明级数∑一收敛。 证明：由于 k+++nm+m+2r+.+m+p 1 故对Vc>0,取N=白，使当m>N及对任何正整数p,都有 kh+。a++<<6。 故级数∑是收敛。 定理2若级数三，与，都有收敛，则对任意常数c,d,级数(，+小，)也收敛， 且 豆m+)=+空 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 定理3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。 (即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的)。 若级数∑收敛，设其和为S,则级数4+2+.也收敛，且其和为 Rn=S-S。并称为级数∑4n的第n个余项（简称余项），它代表用S代替S时所产生的误差。 定理4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如：1-1)+1-1)+.+1-1)+.=0+0++0+. 收敛，而级数 1-1+1-1+. 是发散的。 作业：P5；1,2,3,4,5,6,7. 《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 4 例 4、应用级数收敛的柯西准则证明级数  2 1 n 收敛。 证明：由于 um +1 + um +2 ++ um + p = 2 2 2 ( ) 1 ( 2) 1 ( 1) 1 m m m + p + + + + +  1)( ) 1 ( 1)( 2) 1 ( 1) 1 m m m m m + p − m + p + + + + + +   m m p m 1 1 1  + = − 。 故对   0 ，取 ] 1 [  N = ，使当 m  N 及对任何正整数 p ，都有 um +1 + um +2 ++ um + p    m 1 。 故级数  2 1 n 收敛。 定理 2 若级数   n=1 n u 与   n=1 n v 都有收敛，则对任意常数 c, d ，级数 ( ) 1 n n  cun + dv  = 也收敛， 且 ( ) 1 n n  cun + dv  =    =  = = + 1 n 1 n n n c u d v 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 定理 3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。 （即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。 若级数   n=1 n u 收敛，设其和为 S，则级数 un+1 + un+2 + 也收敛，且其和为 Rn = S − Sn 。并称为级数   n=1 n u 的第 n 个余项（简称余项），它代表用 n S 代替 S 时所产生的误差。 定理 4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + = 0+ 0++ 0+ 收敛，而级数 1−1+1−1+ 是发散的。 作业： P5；1,2,3,4,5,6,7