《数学分析》教案 第十二章数项缓数 海南大学数学系 立心，是数列包，的另一表现形式。反之，对于任意的数列红，小总可视其为数项级数 .+(@-a)+(a-d)++ 的部分和数列，此时数列{an}与级数a,+(a2-a)+(a-a)++(a。-an)+.有 相同的敛散性，因此，有 定理1（级数收敛的Cauchy准则）级数(1)收敛的充要条件是：任给正数s,总存在正 整数N,使得当m>N以及对任意的正整数p,都有 um1+un2+.+unp<6。 注：级数(1)发散的充要条件是：存在某个6。>0，对任何正整数N,总存在正整数 m(N),P。,有 um州+4%+2+.+nm*n之6od 推论（必要条件）若级数(1)收敛，则 m“。=0。 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3 例3、讨论调和级数 的敛散性。 解：显然，有m山，=m月=0，但当令p=m时，有 ku+a*+t中2品 1 1 11 2m+2加*2m*叶202 111 因此，取，=)，对任何正整数N,只要m>N和p=m就有 um1+42+.+4之E0, 故调和级数发散。 3《数学分析》教案 第十二章 数项级数 海南大学数学系 3   n=1 n u 是数列 Sn  的另一表现形式。反之，对于任意的数列 an  ，总可视其为数项级数   n=1 n u = a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 的部分和数列，此时数列 an  与级数 a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 有 相同的敛散性，因此，有 定理 1（级数收敛的 Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数  ，总存在正 整数 N ，使得当 m  N 以及对任意的正整数 p ，都有 + + +   um +1 um +2  um + p 。 注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个  0  0 ，对任何正整数 N，总存在正整数 0 0 m ( N), p ，有 0 1 0 2 0 0 0 + + +   um + um +  um + p 。 推论（必要条件） 若级数（1）收敛，则 lim = 0 → n n u 。 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例 3。 例 3、讨论调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 的敛散性。 解：显然，有 0 1 lim = lim = → → n u n n n ，但当令 p = m 时，有 um+1 + um+2 + um+3 ++ u2m m m m 2m 1 3 1 2 1 1 1 + + + + + + + =  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  + + + + = m m m m  。 因此，取 2 1  0 = ，对任何正整数 N，只要 m  N 和 p = m 就有 0 1 0 2 0 0 0 + + +   um + um +  um + p ， 故调和级数发散