由此,(1)当团<1时,几何级数收敛。 (2)当≥1时,几何级数发散。 例2 an(n-1)122334 n(n+1) 1.22·33.4 n·(n+ nn+1 于是lmSn=lim 例3证明级数1+1 1.66·1111.16 -467++…收敛,并求其和 证明:通项u,可改写为 5n-4)(5n+1)5L5n-45n+1 S 66·11 (5n 于是 lim S=lm21- n→∞ 5n+1 例4证明:调和级数1÷3+…n 是发散的。 证明:由于n都是正数,所以部分和数列S}是严格增加的,讨论子数列{s-}由此，（1）当 r  1 时，几何级数收敛。 （2）当 r  1 时，几何级数发散。 例 2 ( ) ( )   = +  + + +  +  +  = 1 − 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 1 1 n n n n n   ( ) 1 1 1 1 1 + = − + = n n n n un ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + = − + − + − − = − + − + − + +  + + +  +  +  = n n n n n n n Sn   于是 1 1 1 lim lim 1  =      + = − → → n S n n n 例 3 证明级数 ( ) ( )  + −  + + +  +  +  5 4 5 1 1 11 16 1 6 11 1 1 6 1 n n 收敛，并求其和。 证明： 通项 n u 可改写为 ( ) ( ) ( ) ( )       + − =            + − −  + +       + −       + −      = − −  + + +  +  =       + − − = −  + = 5 1 1 1 5 1 5 1 1 5 4 1 16 1 11 1 11 1 6 1 6 1 1 5 1 5 4 5 1 1 6 11 1 1 6 1 5 1 1 5 4 1 5 1 5 4 5 1 1 n n n n n S n n n n u n n   于是 5 1 5 1 1 1 5 1 lim lim  =      + = − → → n S n n n 例 4 证明：调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 是发散的。 证明：由于 n u 都是正数，所以部分和数列 Sn  是严格增加的，讨论子数列 S m  2 ：