S=1+1+(11.(1、)+…+2m1+12”+2×…+1 2(34)(5678 67888 ￠×J > imS,n≥lim1+ 即mnS-=,Vn22,三唯一的自然数m使2msn<2“,且有S2-≤Sn≤ 当n→>∞时,有m→>∞,则lnSn=∞,即调和级数发散。 二收敛级数的性质 Th1(柯西收敛准则)级数∑n收敛的充要条件是:VE>0,N当n>N时,对任意p,有 1+l2+2+…+l4 数列{Sn}存在极限,是指对E>0,3N,当n>N时,对任给的自然数p 推论1若级数∑un收敛,则mn=0 等价命题是:如果lmun=0,则级数∑un发散 例 100n+1 lim u=lim ≠0,则级数 发散 100n+1100 100n+ 注意:mun=0仅是级数∑n收敛的必要条件,而不是充分条件,即mun=0, n→① 也可以发散。 =        + + +   = + + + +  + = + + +  + + + =       + + + + +  + +       + + + +      = + + + → → − − − − − − m S S S S S S m m m m m m m m m m m m m m 2 lim lim 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 , 2 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 7 1 6 1 5 1 , 2 1 4 1 4 1 4 1 3 1 , 2 1 2 2 1 2 1 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 , , , , , 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 4 8 2 2 1         即 =  → S m m 2 lim ，n  2, 唯一的自然数 m 使 m m 2 n 2 1   − ，且有 S m Sn S m 2 2 −1   当 n → 时，有 m→ ，则 =  → n n lim S ，即调和级数发散。 二 收敛级数的性质 Th 1（柯西收敛准则） 级数 un 收敛的充要条件是：   0,N 当 n  N 时，对任意 p ，有 + + +   un+1 un+2  un+ p 数列 Sn  存在极限，是指对   0,N ，当 n  N 时，对任给的自然数 p −   Sn Sn+ p 推论 1 若级数   n=1 n u 收敛，则 lim = 0 → n n u 等价命题是：如果 lim = 0 → n n u ，则级数   n=1 n u 发散。 例 100n +1 n 0, 100 1 100 1 lim lim =  + = → → n n u n n n 则级数 100n +1 n 发散。 注意： lim = 0 → n n u 仅是级数   n=1 n u 收敛的必要条件，而不是充分条件，即 lim = 0 → n n u ，   n=1 n u 也可以发散。 例 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1