(1+y2) e u+e 例34.11求椭圆x= a cost,y=bsnt(0≤t≤2x)上曲率最大和最小的 点(0<b≤a)。 解由于 x'=-asint, x"=-acost, y'= cost, y=-bsint, 因此 K=My-xyl labsin2 t+abcos2tl b (+y"pa'sin21+b cos'lrLa2-b)sin21+b] 因此当a>b>0时,椭圆上在t=0,对应的点,即长轴的两个端点,曲率最大; 在t=兀,3对应的点,即短轴的两个端点,曲率最小。 当a=b=R时(这时椭圆成为半径为R的圆),K=1/R。这说明:圆上各点 处的曲率相同,其值为圆半径的倒数,而曲率半径正好是R 注在上例中,曲率的最大值为,,此时曲率半径为一。这有一个有趣的 应用:半径为b的圆是最大的圆,当它沿椭圆内侧滚动一周时,与椭圆的每 点都接触。 九 5;6;7;8;10;11;13;14.(1)、(3)、(5);15.(1)、(3);16.(1)、 (2);17.(1)、(2)、(4)3 2 2 3 2 (1 )            a y a y y y K 2 y a  2 4            a x a x a e e 。 例 3.4.11 求椭圆 x  acost ， y  bsin t （ 0  t   ）上曲率最大和最小的 点（ 0  b  a ）。 解 由于 x   asin t ， x   a cost ， y   bcost ， y   bsin t ， 因此       3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 sin cos ( )sin | sin cos | a b t b ab a t b t ab t ab t x y x y x y K                。 因此当 a  b  0 时，椭圆上在 t  0,  对应的点，即长轴的两个端点，曲率最大； 在 2  t  ， 2 3 对应的点，即短轴的两个端点，曲率最小。 当 a  b  R 时（这时椭圆成为半径为 R 的圆）， K  1/ R 。这说明：圆上各点 处的曲率相同，其值为圆半径的倒数，而曲率半径正好是 R 。 注 在上例中，曲率的最大值为 2 b a ，此时曲率半径为 a b 2 。这有一个有趣的 应用：半径为 a b 2 的圆是最大的圆，当它沿椭圆内侧滚动一周时，与椭圆的每一 点都接触。 九．习 题 1；2；4；5；6；7；8；10；11；13；14．（1）、（3）、（5）；15．（1）、（3）；16．（1）、 （2）；17．（1）、（2）、（4）