下面来推导曲率的计算公式 设光滑曲线L由参数方程 a≤t≤B 确定,且x(1),y()有二阶导数。对 于每个t∈[a,,曲线在对应点的 图3411 切线斜率为 dy y(o) 其中q是该切线与x轴的夹角,由g= arctan J(t),即可得到 x() dqx'(1)y"(1)-x"(1)y() x"2()+y2(r) 另外,由弧长的微分公式知=x2()+y2(),于是 K=dgl=di_x'()y(-x(y(oN dt 这就是曲率的计算公式。 特别地,如果曲线L由y=y(x)表示,且y(x)有二阶导数,那么相应的计算 公式为 K (1 容易知道,直线上曲率处处为零 例3.4.10求悬链线 的曲率(a>0) 解易知 2(…2 由于y>0及 所以下面来推导曲率的计算公式。 设光滑曲线 L 由参数方程          t y y t x x t ( ), ( ), 确定，且 x(t), y(t) 有二阶导数。对 于每个 t [,] ，曲线在对应点的 切线斜率为 tan ( ) ( )     x t y t dx dy ， 其中  是该切线与 x 轴的夹角，由 ( ) ( ) arctan x t y t     ，即可得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x t y t x t y t x t y t dt d           。 另外，由弧长的微分公式知 ( ) ( ) 2 2 x t y t dt ds     ，于是  2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t x t y t x t y t dt d s dt d d s d K              。 这就是曲率的计算公式。 特别地，如果曲线 L 由 y  y(x) 表示，且 y(x) 有二阶导数，那么相应的计算 公式为 2 3 2 (1 y ) y K     。 容易知道，直线上曲率处处为零。 例 3.4.10 求悬链线            a x a x e e a y 2 的曲率（ a  0 ）。 解 易知 y             a x a x e e 2 1 ， y   2 2 1 a y e e a a x a x            。 由于 y  0 及 a y y e e a x a x                2 2 4 1 1 1 ， 所以 图 3.4.11