八.曲线的曲率 在几何学和许多实际问题中,常常需要考虑曲线的弯曲程度。例如在铁路设 计时,在拐弯处就不能让其弯曲程度太大,否则火车在行进时就会出现危险。现 将借助于前面对弧长及弧长微分的讨论,引入一个刻画曲线弯曲程度的量。 考察如图3.4.10所示的光滑曲线L上的曲线段AB,它的弧长记为△s。当 动点从A点沿曲线段AB运动到B点时,A点的切线r4也随着转动到B点的切线 rB,记这两条切线之间的夹角为△g(它等于rB和x轴的交角与rA和x轴的交角 之差)。显然,当弧的长度相同时,切线间的夹角愈大,曲线的弯曲程度就愈大; 而当切线间的夹角相同时,弧的长度愈小,曲线的弯曲程度就愈大。于是,我们 定义 为曲线段AB的平均曲率,它刻画了曲线段AB的平均弯曲程度。平均曲率只描 写了曲线L在这一段的“平均弯曲程度”。B越接近于A,即As越小,AB弧的 平均曲率就能越能精确刻画曲线L在A处的弯曲程度,因此定义 K=lli 为曲线L在A点的曲率(如果该式中的极限存在的话)。这里取绝对值是为了使 曲率不为负数 L △ +△ 图34.10 设曲线L在A点处的曲率K≠0,若过A点作一个半径为的圆,使它在A点 处与曲线L有相同的切线,并在A点附近与该曲线位于切线的同侧(图 3.4.11).我们把这个圆称为曲线L在A点处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径 R=k和圆心4分别称为曲线L在A点处的曲率半径和曲率中心。由曲率圆的 定义可以知道,曲线L在点A处与曲率圆既有相同的切线,又有相同的曲率和凸 性。因此在实际应用中,常用曲线在一点处的曲率圆上的小弧段来近似代替该点 附近的曲线段,以使问题简化。八．曲线的曲率 在几何学和许多实际问题中，常常需要考虑曲线的弯曲程度。例如在铁路设 计时，在拐弯处就不能让其弯曲程度太大，否则火车在行进时就会出现危险。现 将借助于前面对弧长及弧长微分的讨论，引入一个刻画曲线弯曲程度的量。 考察如图 3.4.10 所示的光滑曲线 L 上的曲线段  AB ，它的弧长记为 s 。当 动点从 A 点沿曲线段  AB 运动到 B 点时， A 点的切线 A  也随着转动到 B 点的切线 B  ，记这两条切线之间的夹角为  （它等于 B  和 x 轴的交角与 A  和 x 轴的交角 之差）。显然，当弧的长度相同时，切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大； 而当切线间的夹角相同时，弧的长度愈小，曲线的弯曲程度就愈大。于是，我们 定义 s K     为曲线段  AB 的平均曲率，它刻画了曲线段  AB 的平均弯曲程度。平均曲率只描 写了曲线 L 在这一段的“平均弯曲程度”。 B 越接近于 A ，即 s 越小，  AB 弧的 平均曲率就能越能精确刻画曲线 L 在 A 处的弯曲程度，因此定义 ds d s K s        0 lim 为曲线 L 在 A 点的曲率（如果该式中的极限存在的话）。这里取绝对值是为了使 曲率不为负数。 设曲线 L 在 A 点处的曲率 K  0 ，若过 A 点作一个半径为 K 1 的圆，使它在 A 点 处与曲线 L 有相同的切线，并在 A 点附近与该曲线位于切线的同侧(图 3.4.11)．我们把这个圆称为曲线 L 在 A 点处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径 K R 1  和圆心 A0 分别称为曲线 L 在 A 点处的曲率半径和曲率中心。由曲率圆的 定义可以知道，曲线 L 在点 A 处与曲率圆既有相同的切线，又有相同的曲率和凸 性。因此在实际应用中，常用曲线在一点处的曲率圆上的小弧段来近似代替该点 附近的曲线段，以使问题简化