(3)A(x)=(2x1-3x3,-x2x1+x2+2x3) 7.提示:用反证法。从a(x)=o(0)=0推出x=0。 8.提示:按定义写出线性组合表达式,再作用a。 9.提示:设a=x1a1+x2a2+…+x,an,则x=(x1x2…,xn)是齐次线性方程 Ax=0的非零解 10.(1)A2=0;(2)A(x)=Ax;(3)按定义直接验证 11.提示:按定义直接验证。 12.提示:说明σ在基B1,B12,B21,B2下的表示矩阵可逆 b d c d 13.提示:a的表示矩阵A满足A"+a14"+…+an14+an=0 14.(1)提示:从定义出发,在线性组合为零的表达式上作用的适当次幂 (2),o(2)…,an(k)就是所求的基 特征值与特征向量练习题 §1特征值与特征向量 1.(1)特征值为1(二重)和2。对应于特征值1的特征向量为c(1,0,0),对 应于特征值2的特征向量为c(1,2,1),其中c是不为零的任意常数 (2)特征值为1(二重)和-2。对应于特征值1的特征向量为 c1(-1,1,0)y+c2(-1,0,1)2,其中c,c2是不全为零的任意常数。对应于特征值2 的特征向量为c(1,1,1),其中c是不为零的任意常数 2.1+(n-1)a,1-a(n-1重) 4.(1)|A|=-6 (2)A-的特征值为1 A的特征值为-6,3,-2 (3)A2+2A+I的特征值为4,1,16 5.(-1)。 6.提示:证明2A+I的特征值不为零 8.a=2,b=4。 9.a+b=0 1010 （3）   T A x x x x x x 1 3 2 1 2 3 1 ( )  2  3 ,  ,   2  x 。 7．提示：用反证法。从 (x) (0)  0 推出 x  0 。 8．提示：按定义写出线性组合表达式，再作用  。 9．提示：设 n n a  x1a1  x2a2  x a ，则 T n (x , x , , x ) x  1 2  是齐次线性方程 Ax  0 的非零解。 10．（1） A  0 2 ；（2） x A x 1 1 ( )   A  ；（3）按定义直接验证。 11．提示：按定义直接验证。 12．提示：说明  在基 B11， B12， B21， B22 下的表示矩阵可逆。 1  ：                    c d c b a a c d a b 。 13．提示：  的表示矩阵 A 满足 A  A    A I  O  n n n n n a a 1 a 1 1  。 14．（1）提示：从定义出发，在线性组合为零的表达式上作用  的适当次幂。 （2） , ( ), , ( ) 1 ξ ξ ξ n    就是所求的基。 特征值与特征向量练习题 §1 特征值与特征向量 1．（1）特征值为 1（二重）和 2。对应于特征值 1 的特征向量为 T c(1, 0, 0) ，对 应于特征值 2 的特征向量为 T c(1, 2,1) ，其中 c 是不为零的任意常数； （ 2 ） 特 征 值 为 1 （ 二 重 ） 和  2 。对应 于特征值 1 的 特 征 向 量 为 T T c ( 1,1, 0) c ( 1, 0,1) 1   2  ，其中 1 c ， 2 c 是不全为零的任意常数。对应于特征值 2 的特征向量为 T c(1, 1, 1) ，其中 c 是不为零的任意常数。 2．1 (n 1)a ，1 a （ n 1 重）。 3． 4。 4．（1） | A| 6 ； （2） 1 A 的特征值为 1， 2 1  ， 3 1 。 * A 的特征值为 6 ，3， 2 。 （3） A  2A I 2 的特征值为 4，1，16。 5． n (1) 。 6．提示：证明 2A I 的特征值不为零。 7．2 2 。 8．a  2，b  4。 9．a  b  0